专题02 方程（组）与不等式（6类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（天津专用）

专题02 方程（组）与不等式 课标要求 考点 考向 1.能解一元一次方程；掌握代入消元法和加减消元 法，能解二元一次方程组； 2. 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 3. 能利用二元一次方程组解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 一次方程（组） 考向一 一元一次方程的应用 考向二 二元一次方程组的应用 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程; 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等; 3.会用一元二次方程根与系数的关系，不解方程得出用两根表示的相关代数式的值。 一元二次方程 考向一 解一元二次方程 考向二 一元二次方程根的判别式 考向三 一元二次方程根与系数关系 1.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集; 2.会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集; 一元一次不等式组 解一元一次不等式组 考点一 一次方程（组） ►考向一 一元一次方程的应用 解题技巧/易错易混 一元一次方程解应用题的类型有： （1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． （2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数． （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间． （5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 1．（2023·天津·中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） ►考向二 二元一次方程组的应用 解题技巧/易错易混 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 2．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 考点二 一元二次方程 ►考向一 解一元二次方程 3．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 ►考向二 一元二次方程根的判别式 5．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ►考向三 一元二次方程根与系数关系 6．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 考点三 一元一次不等式组 ►考向一 解一元一次不等式组 7．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 8．（2023·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 9．（2022·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 1．（2023·天津河西·一模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．如果设鸡x只，兔y只，那么根据题意列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津和平·三模）《孙子算经》中有一道题: “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为（  ） A． B． C． D． 3．（2023·天津河西·三模）方程的两个根的和为（   ） A．6 B． C． D．15 4．（2023·天津河东·二模）方程的根是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津滨海新·二模）方程的两个根是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·天津武清·三模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·天津和平·三模）若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 8．（2024·天津南开·二模）如果，是方程的两根，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 9．（2024·天津红桥·二模）若一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 10．（2023·天津河东·一模）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（2024·天津西青·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，且；，则b，c的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．（2024·天津和平·二模）如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．（2024·天津河西·二模）已知菱形，，，点，，，分别在菱形的四条边上，．连接．有下列结论：①四边形是矩形；②长有两个不同的值，使得四边形的面积都为；③四边形面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2024·天津武清·三模）已知小明的家、书店、快递站依次在同一条直线上，书店距小明的家，小明从家出发用先到达了书店，在书店停留了一会购买学习资料，再匀速前往距家的快递站，到达快递站用取到快递后匀速回家．下面图中x表示时间(单位：)，y表示小明离家的距离(单位：)．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间/ 2 4 8 10 小明离家的距离/ 200 ②填空：小明从书店到快递站的速度为_______； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小明取到快递准备回家时，爸爸从家出发沿同一路线匀速去找他，已知爸爸的速度为，那么小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间是多少？(直接写出结果即可) 15．（2024·天津河西·二模）已知宿舍、街心公园、图书馆依次在同一条直线上，街心公园离宿舍，图书馆离宿舍．李华从宿舍出发，匀速骑行到达街心公园；在街心公园停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍，给出的图象反映了这个过程中李华离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 李华离开宿舍的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 李华离宿舍的距离/km 2 12 (2)填空： ①街心公园到图书馆的距离为______； ②李华从街心公园到图书馆的骑行速度为______； ③当时，请直接写出y关于x的函数解析式； (3)在李华离开图书馆之前，同宿舍的张明也从图书馆直接回宿舍，张明比李华早走了，如果张明匀速跑回宿舍的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到李华时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 16．（2024·天津南开·二模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的C地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶4h到达距离A地的B地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离y（单位：）与它们离开A地的时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：h） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 160 (2)请直接写出乙车行驶的全过程中y与x的函数关系式． (3)填空： ①图中b的值为_______； ②当_______时，甲、乙两车相距． 17．（2023·天津河东·一模）某蔬菜公司要从A市调运两车蔬菜运往B市．已知A市离B市，甲、乙两辆货车同时沿同一路线从A市出发前往B市，且行驶过程中甲车速度保持不变．乙车行驶时发生故障，此时甲车刚好到达B市．乙车在发生故障地原地维修，甲车在B市停留了，卸载蔬菜后原路行驶了到达乙车发生故障地，用了把乙车的蔬菜装上甲车，然后甲车立即沿原路行驶了到达B市，在此过程中乙车一直在发生故障地维修．甲车离A市的距离与行驶所用时间之间的对应关系如图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开A市的时间/ 1 5 离A市的距离/ (2)填空： ①A市到乙车发生故障地的距离为_______； ②当两车之间的距离是时，甲车离开A市的时间为________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 18．（2024·天津南开·三模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式，得__________； (2)解不等式，得__________； (3)把不等式和的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为__________． 19．（2024九年级下·天津一模考前训练）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)解原不等式组． 20．（2024·天津和平·三模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得　　； (2)解不等式②，得　　； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为　　． 21．（2024·天津南开·一模）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得______________， (2)解不等式②，得______________， (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程（组）与不等式 课标要求 考点 考向 1.能解一元一次方程；掌握代入消元法和加减消元 法，能解二元一次方程组； 2. 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 3. 能利用二元一次方程组解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 一次方程（组） 考向一 一元一次方程的应用 考向二 二元一次方程组的应用 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程; 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等; 3.会用一元二次方程根与系数的关系，不解方程得出用两根表示的相关代数式的值。 一元二次方程 考向一 解一元二次方程 考向二 一元二次方程根的判别式 考向三 一元二次方程根与系数关系 1.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集; 2.会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集; 一元一次不等式组 解一元一次不等式组 考点一 一次方程（组） ►考向一 一元一次方程的应用 解题技巧/易错易混 一元一次方程解应用题的类型有： （1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． （2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数． （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间． （5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 1．（2023·天津·中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③； (2) 【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为，求解即可． 【详解】（1）①， 由图填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6 故答案为：0.12，1.2，0.6； ②张强从体育场到文具店的速度为， 故答案为：0.06； 当时， ； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍， 当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的， ∴ 解得， 当时，， 所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． ►考向二 二元一次方程组的应用 解题技巧/易错易混 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 2．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 考点二 一元二次方程 ►考向一 解一元二次方程 3．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将进行因式分解，，计算出答案． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 4．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． ►考向二 一元二次方程根的判别式 5．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意可知：，，， ， ，即，得出，故①正确； ， 对称轴， ， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确； ， 关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解． ►考向三 一元二次方程根与系数关系 6．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 考点三 一元一次不等式组 ►考向一 解一元一次不等式组 7．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 8．（2023·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解：解不等式②，得， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    （4）解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 9．（2022·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）通过移项、合并同类项直接求出结果； （2）通过移项直接求出结果； （3）根据在数轴上表示解集的方法求解即可； （4）根据数轴得出原不等式组的解集． 【详解】（1）解：移项得： 解得： 故答案为：； （2）移项得：， 解得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）所以原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 1．（2023·天津河西·一模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．如果设鸡x只，兔y只，那么根据题意列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只 根据上有三十五头，可得； 下有九十四足，可得； 即． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 2．（2023·天津和平·三模）《孙子算经》中有一道题: “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子－木条=4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：木条－绳子=1，据此列出方程组即可． 【详解】由题意可得，． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 3．（2023·天津河西·三模）方程的两个根的和为（   ） A．6 B． C． D．15 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得出方程的两根之和为，即可得出答案． 【详解】解：方程的两个根之和为， 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 4．（2023·天津河东·二模）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法求解即可选出正确选项． 【详解】解： 移项得： 配方得： 即：， 开平方得：， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解题的关键． 5．（2023·天津滨海新·二模）方程的两个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，利用方程的特点选择简便的方法是解题的关键． 6．（2024·天津武清·三模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接利用根与系数的关系对各选项进行判断即可，若，是方程的两个根， 则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：D． 7．（2024·天津和平·三模）若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】题考查了一元二次方程根与系数的关系，． 由一元二次方程根与系数的关系直接求出的值，再将问题中代数式展开代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故选A． 8．（2024·天津南开·二模）如果，是方程的两根，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：，是方程的两根， ，， ． 故选：C． 9．（2024·天津红桥·二模）若一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的加减运算，根据一元二次方程根与系数的关系可得，将代数式化简，代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为， ∴， ∴， 故选：B． 10．（2023·天津河东·一模）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案． 【详解】解：， 或 解得： 故选B 【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键． 11．（2024·天津西青·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，且；，则b，c的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，根据根与系数关系列式计算求解即可． 【详解】 故选：B． 12．（2024·天津和平·二模）如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解一元二次方程，二次函数的性质等知识点，利用三角形的三边关系可判定①，先表示出，再利用二次函数的性质可判定③，解的方程，可判定②，进而可得答案，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵ 在中，， ∴， ∴， 当时，， 此时是直角三角形且点C在线段上，不符合题目是四边形， ∴或， 故①错误，不符合题意； ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值为， 故③正确，符合题意； 当时， 解方程得：或， ∵当时，不符合题目是四边形， ∴的长有1个值满足四边形的面积为12， 故②错误，不符合题意； 故选：B． 13．（2024·天津河西·二模）已知菱形，，，点，，，分别在菱形的四条边上，．连接．有下列结论：①四边形是矩形；②长有两个不同的值，使得四边形的面积都为；③四边形面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，一元二次方程根的判别，二次函数最值等知识点，灵活运用菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质进行角的等量代换即可证出为矩形，判断①；过点作于点，设，则，用含的式子表达出和的长后，利用矩形的面积公式列式判断②和③即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 同理可证：， ∴四边形是矩形，故①正确； 过点作于点，如图所示：    设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时 整理得： ∵ ∴长有两个不同的值，故②正确； ∵ ∴当时，面积最大值为，故③正确； 综上①②③正确； 故选：D． 14．（2024·天津武清·三模）已知小明的家、书店、快递站依次在同一条直线上，书店距小明的家，小明从家出发用先到达了书店，在书店停留了一会购买学习资料，再匀速前往距家的快递站，到达快递站用取到快递后匀速回家．下面图中x表示时间(单位：)，y表示小明离家的距离(单位：)．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间/ 2 4 8 10 小明离家的距离/ 200 ②填空：小明从书店到快递站的速度为_______； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小明取到快递准备回家时，爸爸从家出发沿同一路线匀速去找他，已知爸爸的速度为，那么小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间是多少？(直接写出结果即可) 【答案】(1)①，，；②；③； (2)小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间为． 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，掌握速度、时间、 路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）①由“速度路程时间”和“路程速度时间”计算出时小明离家的距离；根据图象，直接写出当和时对应的值即可； ②根据“速度路程时间”计算即可； ③ 利用待定系数法求解即可； （2）小明准备回家时到与爸爸相遇经历了，依题意得：，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：小明从家到书店的速度为： ， 时小明离家的距离为： ， ∴时小明离家的距离为， 由图象可知，当时，， ∴时小明离家的距离为， 当时，， ∴时小明离家的距离为， 故答案为：，，； 小明从书店到快递站的速度为： ， 故答案为：； 当时，， 当时，设y关于时间x的函数解析式为（为常数，且）， 将坐标代入得： ， 解得：， ∴， ∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为： （2）解：小明回家的速度为： ， 设小明准备回家时到与爸爸相遇经历了，依题意得： ， 解得：， ∴小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间为： ． 15．（2024·天津河西·二模）已知宿舍、街心公园、图书馆依次在同一条直线上，街心公园离宿舍，图书馆离宿舍．李华从宿舍出发，匀速骑行到达街心公园；在街心公园停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍，给出的图象反映了这个过程中李华离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 李华离开宿舍的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 李华离宿舍的距离/km 2 12 (2)填空： ①街心公园到图书馆的距离为______； ②李华从街心公园到图书馆的骑行速度为______； ③当时，请直接写出y关于x的函数解析式； (3)在李华离开图书馆之前，同宿舍的张明也从图书馆直接回宿舍，张明比李华早走了，如果张明匀速跑回宿舍的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到李华时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)10，12，20(2)①8，②16，③当时，；当时，；当时，(3) 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）直接根据函数图象即可得出答案； （2）①直接根据函数图象即可得出答案； ②根据速度、路程、时间的关系求解即可； ③分；；三种情况讨论，利用待定系数法求解即可； （3）设张明出发后遇到李华，根据相遇时两人走的路程相等，列方程求解即可． 【详解】（1）解：李华从宿舍到街心公园的速度为， 当时，， 当时，李华停留在街心公园，则； 当时，李华停留在图宿馆，则； 故答案为：10，12，20； （2）解：①街心公园到图书馆的距离为； 故答案为：8； ②李华从街心公园到图书馆的骑行速度为， 故答案为：16； ③当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 当时，； 当时，设， 把，；，，代入得， 解得， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，； （3）解：李华从图书馆到宿舍的速度为， 设张明出发后遇到李华， 则， 解得， ∴相遇时离宿舍的距离为． 16．（2024·天津南开·二模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的C地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶4h到达距离A地的B地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离y（单位：）与它们离开A地的时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：h） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 160 (2)请直接写出乙车行驶的全过程中y与x的函数关系式． (3)填空： ①图中b的值为_______； ②当_______时，甲、乙两车相距． 【答案】(1)40；160；240； (2)当时，； 当时，； 当时，； (3)①144；②3；； 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据图象直接求解即可求解； （2）待定系数法求一次函数解析式； （3）①把代入，即可求解； ②分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵甲车匀速行驶至距离A地的C地， ∴甲车的速度为， 当时，， 由图象可知，当时，；，当时，， 故答案为：40，160，240； （2）解：当时，设y与x的函数关系式为， 把，，代入得， 解得， ∴； 当，即时，； 当时，设y与x的函数关系式为， 把，；，，代入，得， 解得， ∴； 综上：当时，； 当时，； 当时，； （3）解：①把，代入， ∴， 故答案为：144； ②当时， ∵乙车匀速行驶4h到达距离A地的B地， ∴乙车速度为 根据题意，得， 解得； 当时，两车相遇，故不符合题意，舍去； 把代入，得， 解得 当时， 根据题意，得， 解得， 当时， 设甲车行驶中y与x的函数关系式为， 把，；，代入， 得， 解得， ∴， 根据题意，得， 解得， 综上，；；时，甲、乙两车相距， 故答案为：3；；． 17．（2023·天津河东·一模）某蔬菜公司要从A市调运两车蔬菜运往B市．已知A市离B市，甲、乙两辆货车同时沿同一路线从A市出发前往B市，且行驶过程中甲车速度保持不变．乙车行驶时发生故障，此时甲车刚好到达B市．乙车在发生故障地原地维修，甲车在B市停留了，卸载蔬菜后原路行驶了到达乙车发生故障地，用了把乙车的蔬菜装上甲车，然后甲车立即沿原路行驶了到达B市，在此过程中乙车一直在发生故障地维修．甲车离A市的距离与行驶所用时间之间的对应关系如图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开A市的时间/ 1 5 离A市的距离/ (2)填空： ①A市到乙车发生故障地的距离为_______； ②当两车之间的距离是时，甲车离开A市的时间为________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)，，(2)①；②3，或(3) 【分析】（1）先求出甲车的行驶速度，再按照题意分别求解即可； （2）①根据卸载蔬菜后原路行驶了到达乙车发生故障地，用全程减去甲车两小时行驶的路程即可得到答案；②先求出乙车行驶速度，设甲车离开离开A市的时间为t，分三种情况分别求解即可； （3）分，，三段分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，甲车的行驶速度为， 则离开A市1小时离A市的距离为 离开A市小时离A市的距离为 离开A市小时离A市的距离为， 故表格填写如下： 离开A市的时间/ 1 5 10 离A市的距离/ 100 500 500 400 500 （2）①A市到乙车发生故障地的距离为， 故答案为： ②乙车行驶速度为：， 设甲车离开离开A市的时间为t， 在乙车出故障前：， 解得, 甲车返回乙车发生故障地过程中：， 解得， 甲车从乙车发生故障地离开过程中：， 解得， 即当两车之间的距离是时，甲车离开A市的时间为3小时或小时或小时； 故答案为：3，或 （3）解：当时，设y关于x的函数解析式为，把点代入得， ， 解得， ∴， 当时，， 当时，设y关于x的函数解析式为，把点代入得， ， 解得， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用、一元一次方程的应用、从函数图象获取信息等知识，读懂题意并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 18．（2024·天津南开·三模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式，得__________； (2)解不等式，得__________； (3)把不等式和的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为__________． 【答案】(1)； (2)； (3)解集在数轴上表示见解析； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式组的求解方法． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解集在数轴上表示出来如下图， （4）∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 19．（2024九年级下·天津一模考前训练）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)解原不等式组． 【答案】(1)(2)(3)见解析(4)无解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得； 故答案为：； （2）解：解不等式②，得； 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来， ； （4）解：原不等式组无解． 故答案为：无解 20．（2024·天津和平·三模）解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得　　； (2)解不等式②，得　　； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为　　． 【答案】(1)(2)(3)见解析(4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （1）解不等式①求解集即可； （2）解不等式②求解集即可； （3）在数轴上表示解题即可； （4）根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了写出公共部分． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3）在数轴上表示为： （4）原不等式组的解集为， 故答案为：． 21．（2024·天津南开·一模）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得______________， (2)解不等式②，得______________， (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______________． 【答案】(1) (2) (3)图见详解 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： 解得：， 故答案为：． （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）解： 由①得： 由②得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$