精品解析：陕西省渭南市大荔县冯翊初级中学2024-2025学年上学期第二阶段作业（九年级数学期中考试试卷）

大荔县冯翊初级中学2024~2025学年度第一学期第二阶段 九年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明“若的半径为，点到圆心的距离大于，则点在外”．首先应假设（ ） A. B. 点在外 C. D. 点在上或点在内 4. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一个圆形转盘中，标有黄、红、绿的三个扇形的圆心角度数分别为、、．让转盘自由转动，转盘停止后指针（若指针落在分界线上，则重新转动转盘）落在红扇形的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，点在上，连接、、，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移个单位后，得抛物线，则的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 8 D. 14 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是 ___________． 11. 在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有______个绿球． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为______． 13. 如图，在扇形中，平分交于点C，点D为半径上一动点，连接．若，，则阴影部分图形周长的最小值为______．（结果保留） 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． （1）当时，求与之间的函数关系式； （2）整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 16. 若抛物线的顶点在轴上，求的值． 17. 如图，有一座石拱桥的桥拱是以为圆心，为半径的一段圆弧．请你用个尺规作图画出弧的中点．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数． 19. 庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的㝢意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：A．“福星蛇墩墩”，B．“禄星蛇墩墩”，C．“寿星蛇墩墩”，D．“喜星蛇墩墩”，E．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； （2）小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将绕点C逆时针旋转得到（、分别与A、B对应）． （1）请你在图中画出； （2）求在旋转过程中，线段所扫过的图形面积．（结果保留） 21. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，．求的长．（结果保留）     22. 某商场服装部销售一种羊毛衫，平均每天可售出40件，每件盈利60元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件每降价1元时，平均每天可多卖出2件．若商场要求该服装部销售这种羊毛衫每天盈利3000元，每件羊毛衫应降价多少元？ 23. 如图，正比例函数与反比例函数相交于点，过点作轴于点，，点在线段上，且，连接． （1）求的值； （2）点为点上方该反比例函数图象上的点，当与的面积相等时，请求出点的坐标． 24. 如图，在中，，，点在上，过点和点． （1）求证：是的切线； （2）点是下方圆上一点，，延长交于点，求的长． 25. 多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求此时抛物线的表达式； （2）若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 26. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外）… （1）小华画出了符合要求（，）的一条圆弧（如图1），并提出了下列问题，请你帮助解决： ①所在的圆的半径长是多少？ ②面积的最大值是多少？ （2）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．在图2中画出点的运动路径，并求线段长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大荔县冯翊初级中学2024~2025学年度第一学期第二阶段 九年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】随机事件. 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断： 抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3. 用反证法证明“若的半径为，点到圆心的距离大于，则点在外”．首先应假设（ ） A. B. 点在外 C. D. 点在上或点在内 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，否定命题判断的相反判断，从而肯定原来判断的正确性，这种证明法称为反证法． 用反证法证明，即是假设命题的结论不成立，以命题的否定方面作为条件进行推理，得出和已知条件、公理、定义和定理等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定命题的结论成立． 【详解】原命题结论为“点在外”，其否定应为“点不在外”． 根据圆的基本性质，点与圆的位置关系仅有三种：当时在圆外，时在圆上，时在圆内． 因此，“点不在圆外”等价于“点在圆上或圆内”． 选项中对应此否定的为选项D，故首先应假设D成立． 故选：D． 4. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意； D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意； 故选C． 5. 如图，在一个圆形转盘中，标有黄、红、绿的三个扇形的圆心角度数分别为、、．让转盘自由转动，转盘停止后指针（若指针落在分界线上，则重新转动转盘）落在红扇形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握概率公式． 用红色区域的面积除以圆的面积得到指针落在黄色区域的概率． 【详解】解：指针落在红色区域的概率. 故选：A． 6. 已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的增减性与的关系． 根据反比例函数的性质，当反比例函数中时，在每个象限内随的增大而增大，据此列出关于的不等式求解． 【详解】已知反比例函数，当时，随的增大而增大． 得．解得． 故选：B． 7. 如图，内接于，点在上，连接、、，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要利用垂径定理、圆周角定理和圆内接四边形的性质来求解的度数． 利用垂径定理得出，再利用圆周角定理计算的度数，最后利用圆内接四边形的性质计算的度数． 【详解】解：在上取一点，连接， ∵是的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移个单位后，得抛物线，则的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】将改写成顶点式，然后按照题意将进行平移，写出其平移后的解析式，从而求解． 【详解】解： 由题意可知抛物线先向左平移1个单位，再向上平移个单位 ∴ ∴n=2 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的变化确定函数图象的变化可以使求解更加简便． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点 关于原点的对称点 的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是 ___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长为6． 【详解】解：连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为6， 故答案为：6． 11. 在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有______个绿球． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，概率公式求概率，解题的关键是要计算出红球所占的比例．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．先根据频率求出摸到红球的概率，再设绿球个数为个，根据红球的概率,即可求解． 【详解】解：摸了次，发现有次摸到红球， 估计摸到红球的概率为， 设绿球个数为个， ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 估计箱子中有个绿球． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接，易得，再根据k的几何意义即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在扇形中，平分交于点C，点D为半径上一动点，连接．若，，则阴影部分图形周长的最小值为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，求弧长，等边三角形的判定和性质，在上取，连接，，设与交于点F，连接，证明点C与点E关于对称，得出，得出，求出，得出最小时，即最小，此时阴影部分周长最小，根据两点之间线段最短，得出当B、D、E三点共线时，最小，即阴影部分周长最小，再证明为等边三角形，求出最小值即可． 【详解】解：如图，在上取，连接，，设与交于点F，连接， ∵平分交于点C， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴点C与点E关于对称， ∴， ∴． ∵， ∴当最小时，阴影部分周长最小． ∵， ∴当最小时，最小． ∴当三点共线时，最小，即最小值为长． ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴阴影部分图形周长的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ，， 该方程的解为：． 15. 某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． （1）当时，求与之间的函数关系式； （2）整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 【答案】（1） （2）整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可． 【小问1详解】 解：设， 把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 当时，； 答：整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为． 16. 若抛物线的顶点在轴上，求的值． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答根据抛物线的顶点在x轴上，可知该抛物线顶点的纵坐标为0，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， 解得，或， 故答案为：或． 17. 如图，有一座石拱桥的桥拱是以为圆心，为半径的一段圆弧．请你用个尺规作图画出弧的中点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，尺规作图—作垂线，根据垂径定理，得到弧的中点在线段的中垂线上，故作线段的中垂线，中垂线与圆弧的交点即为所求． 【详解】略 18. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和性质；解题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵绕点A顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 19. 庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的㝢意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：A．“福星蛇墩墩”，B．“禄星蛇墩墩”，C．“寿星蛇墩墩”，D．“喜星蛇墩墩”，E．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； （2）小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片都没有抽到“福星蛇墩墩”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有5张卡片，卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的有12种， 则小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率为． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将绕点C逆时针旋转得到（、分别与A、B对应）． （1）请你在图中画出； （2）求在旋转过程中，线段所扫过的图形面积．（结果保留） 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，扇形面积计算，熟练掌握扇形面积的计算公式，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，先作出点A、B的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据扇形面积计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 答：线段所扫过的图形面积为． 21. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，．求的长．（结果保留）     【答案】 【解析】 【分析】先求得所对的圆周角的度数，再由弧长的公式，求得的长． 【详解】解：连接， ， ， ，， ， ， ， 的长度． 【点睛】本题考查了弧长公式，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，求得是解题的关键． 22. 某商场服装部销售一种羊毛衫，平均每天可售出40件，每件盈利60元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件每降价1元时，平均每天可多卖出2件．若商场要求该服装部销售这种羊毛衫每天盈利3000元，每件羊毛衫应降价多少元？ 【答案】每件羊毛衫应降价30元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，审清题意、找出等量关系、列出方程是解题的关键． 本题的关键语“每件降价1元时，平均每天可多卖出2件”，设每件应降价x元，用x来表示出商场所要求的每件盈利的数额量，然后根据盈利3000元列出方程求解即可． 【详解】解：设每件应降价x元，则每天多卖出， 由题意可列方程为， 解得，， 因为要减少库存，所以应降价30元． 答：每件羊毛衫应降价30元． 23. 如图，正比例函数与反比例函数相交于点，过点作轴于点，，点在线段上，且，连接． （1）求的值； （2）点为点上方该反比例函数图象上的点，当与的面积相等时，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐标，建立方程． （1）根据，求出A点坐标，利用待定系数法即可求出k的值； （2）根据，求出点C的坐标；设P点坐标为，根据面积相等列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴A点纵坐标为4，代入，得，解得， 则A点坐标为，代入，得，解得； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设P点坐标为， ∵与的面积相等， ∴， ∴， 解得：， ∴P点坐标为． 24. 如图，在中，，，点在上，过点和点． （1）求证：是的切线； （2）点是下方圆上一点，，延长交于点，求的长． 【答案】（1） 连接． ， ． ， ， ， 即， 为的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质． （1）连接，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质得到，进而得到，再根据切线判定求解． （2）连接，易证是的直径，设，利用含角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出的半径，由勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∵， ∴， ∴是的直径， 设， ，，， 则， ， 解得，（不符合题意舍去）， ， ， ∴． 25. 多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求此时抛物线的表达式； （2）若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 【答案】（1） （2）该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点E为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得：F的横坐标为4，从而G的纵坐标即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线的顶点E为，， ∴可设抛物线为． 又∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线为． 【小问2详解】 解：如图：过F作轴交抛物线与G， 由题意可知，F的横坐标为，则断G的横坐标为4， ∴点G的纵坐标为 ∴该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过． 26. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外）… （1）小华画出了符合要求（，）的一条圆弧（如图1），并提出了下列问题，请你帮助解决： ①所在的圆的半径长是多少？ ②面积的最大值是多少？ （2）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．在图2中画出点的运动路径，并求线段长的最小值． 【答案】（1）①；②． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、矩形的性质与判定、等边三角形的性质、圆周角定理等知识点，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）①设弦所在圆的圆心为O，连接，由圆周角定理得到，再利用勾股定理求出的长即可；②要使的面积最大，则点A到的距离要最大，故当点A运动到时（运动到图中），此时点到的距离要最大，即此时的面积最大，再运用三角形面积公式求解即可； （2）如图所示，以为边向左作等边三角形，以O为圆心，的长为半径作圆，则点M的轨迹为优弧（不包括端点C、D）；如图所示，过点O作于E，由矩形的性质得到，由等边三角形的性质得到，则，据求出，则；当B、M、O三点共线，且点M在线段上时，线段有最小值，据此由勾股定理得，则线段的最小值为． 【小问1详解】 解：①如图，设弦所在圆的圆心为O，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）． 故答案为：． ②∵要使的面积最大， ∴点A到的距离要最大， ∴当点A运动到时（运动到图中），此时点A到的距离要最大，此时的面积最大， 设直线与交于H，则， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图2，以为边向左作等边三角形，以O为圆心，的长为半径作圆，则点M的轨迹为优弧（不包括端点C、D）； 如图2，过点O作于E， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点M在优弧（不包括端点C、D）上运动， ∴当B、M、O三点共线，且点M在线段上是，线段有最小值， 在中，由勾股定理得， ∴线段MB的最小值为． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $