精品解析：广东省江门市新会区李文达中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中检测卷 九年级数学（时间120分钟，满分120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. 3. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 将方程配方后所得的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 9. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 10. 三角形两边的长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题．（每小题3分，共18分） 11. 方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是________． 12. 如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 ______________． 13. 方程的根是________． 14. 函数，当________时，函数值随的增大而增大． 15. 抛物线的对称轴是直线，则的值为________． 16. 关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为_____． 三、解答题（每题7分，共21分） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2． (1)求出y与x的函数关系式．（不写自变量的取值范围） （2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 19. 已知关于的方程．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 四、解答题（每题9分，共27分） 20. 已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， （1）求此二次函数的解析式； （2）求、点坐标， （3）根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 21. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 22. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 五、解答题（每题12分，共24分） 23. 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数，设公司获得的总利润为元．（提示：总利润=每件利润×销售量） （1）求与之间的函数关系式； （2）根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？ （3）若总利润为元时，销售单价是多少？ 24. 如图，已知抛物线与直线AB交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABD的面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中检测卷 九年级数学（时间120分钟，满分120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2．根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A 、，是含有一个未知数的一元一次方程，最高次数为1，不符合条件③，不是一元二次方程； B 、，含有两个未知数和，属于二元二次方程，不符合条件②，不是一元二次方程； C 、，仅含有一个未知数，且的最高次数为2，符合所有条件，是一元二次方程； D 、，含有两个未知数和，且未明确，可能退化为一次方程，不符合条件②和③，不是一元二次方程． 故选：C． 2. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解方程，当两个因式的乘积为0时，每个因式分别等于0，可得到方程的解，据此进行分析计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， 故选：A． 3. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的的识别，根据二次函数的定义（形如，），逐一判断各选项是否为二次函数即可． 【详解】A．，符合的形式（），是二次函数； B．，展开后为，最高次项为，系数为2，是二次函数； C．，符合的形式（），是二次函数． D．，展开后为，化简后为一次函数，不是二次函数． 故选D． 4. 将方程配方后所得的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需通过配方将原方程转化为完全平方形式． 【详解】解：原方程为 ， 移项：将常数项移到等式右边，得， 配方：等式两边加上一次项系数一半的平方（即 ，平方为 ），得 ， ∴方程配方后所得的方程：， 故选：A． 5. 一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，的一个根是，那么就可以把代入方程，从而可直接求k． 【详解】解：已知一元二次方程 的一个根是 ，将其代入方程得：， 化简得： 合并常数项： 解得： 故选： B． 6. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”即可得出答案． 【详解】解：，向上平移2个单位得到，向右平移3个单位，得到， 故选：D． 7. 某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，每两队比赛一场，则每支队伍需与别的支队伍各赛一场．此时每场比赛会被计算两次（如甲队与乙队的比赛既算作甲队的比赛，也算作乙队的比赛），因此总比赛场数为场，据此列方程即可． 【详解】解：设有支队伍参赛， 由题意得，， 故选：C． 8. 一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴． 故选：B 9. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式方程，可以直接确定其对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 10. 三角形两边的长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由于第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，那么求出方程的根就可以求出三角形的周长． 【详解】∵x2﹣16x+60=0，∴（x﹣6）（x﹣10）=0，∴x=6或x=10． 当x=6时，三角形的三边分别为6、4和6，∴该三角形的周长是16； 当x=10时，三角形的三边分别为10、4和6，而4+6=10，∴不能构成三角形． 故三角形的周长为16． 故选C． 【点睛】主要考查了利用因式分解的方法解一元二次方程及等腰三角形的性质、周长，解题的关键是利用因式分解求出三角形的第三边，然后求出三角形的周长． 二、填空题．（每小题3分，共18分） 11. 方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，先移项，得到其一般式，由此得到答案． 【详解】解：， 移项，得， 它的一次项系数是， 故答案为：． 12. 如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 ______________． 【答案】x＜1或x＞3 【解析】 【分析】利用函数图象与不等式的关系可以求得不等式的解集. 【详解】数形结合知，二次函数比一次函数高的部分是x＜1或x＞3. 【点睛】利用一次函数图象和二次函数图象性质数形结合解不等式： 形如式不等式，构造函数=，，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值. 13. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将方程移项后因式分解，利用零乘积性质即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 由零乘积性质，得或， ∴或． 故答案为：或． 14. 函数，当________时，函数值随的增大而增大． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知：函数图象的对称轴是直线， ， 函数图象开口向下， 当时，函数值随的增大而增大， 故答案为：． 15. 抛物线的对称轴是直线，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键．根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：的对称轴是直线， ， 解得． 故答案为：． 16. 关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】由题意常数项为0，可得m2－4=0，解出即可． 【详解】由题意得：m2－4=0 解得：m=±2 ∵为一元二次方程 ∴m－2≠0即m≠2 ∴m =﹣2 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，需要注意二次项系数a≠0． 三、解答题（每题7分，共21分） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 18. 用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2． (1)求出y与x的函数关系式．（不写自变量的取值范围） （2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）y=10x-x2；（2）25cm2． 【解析】 【详解】（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（20-2x），根据面积公式即可解答；（2）把函数解析式用配方法化简，得出y的最大值． 解：（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（10-x）． 则y=x（10-x）化简可得y=10x-x2； （2）y=10x-x2 = -（x2-10x）= -（x-5）2+25， 所以当x=5时，矩形的面积最大，最大为25cm2． 19. 已知关于的方程．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 【答案】，另一个根是 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，将代入方程得出关于的一元一次方程，解方程求得，设另一个根为，根据根与系数的关系，即可求出答案． 【详解】解：∵关于的方程．方程的一个根是， ∴ 解得： 设另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述，，另一个根是． 四、解答题（每题9分，共27分） 20. 已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， （1）求此二次函数的解析式； （2）求、点坐标， （3）根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解； （2）令，解方程即可求得、点坐标； （3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点， ∴设抛物线解析式为 代入，得 解得： ∴ 【小问2详解】 解：当时， 解得： ∴， 【小问3详解】 解：∵， 根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为． 21. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 【答案】（1） （2），（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴　　＞0． 　　　　即　，解得，．　　　　　　　　　　 （2）若k是负整数，k只能为－1或－2．　　　　　　　　　　　　　 　　如果k＝－1，原方程为　． 　　解得，，．　　　　　　　　　　　　　 　　（如果k＝－2，原方程为 ，解得，，．） 22. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 （2）万人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设这两个月的平均增加率为x，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据（1）的结论，结合月游客人数，即可求解． 【小问1详解】 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，可得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：按照以上增长速度，预计月该景区游客人数为万人． 五、解答题（每题12分，共24分） 23. 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数，设公司获得的总利润为元．（提示：总利润=每件利润×销售量） （1）求与之间的函数关系式； （2）根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？ （3）若总利润为元时，销售单价是多少？ 【答案】（1） （2）时，的值最大，最大值为 （3）总利润为元时，销售单价是或元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据总利润每件利润销售量即可列出与之间的函数关系式； （2）根据（1）的函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解； （3）令，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意， 【小问2详解】 解：由（1）可得 当时，取得最大值为：， 答：时，的值最大，最大值为 【小问3详解】 解：依题意， 方程整理得： 解得： 答：总利润为元时，销售单价是或元． 24. 如图，已知抛物线与直线AB交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABD的面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）3；（3）存在，P点的坐标为（1，1）或（1，2）或或. 【解析】 【分析】（1）把、两点代入解析式，用待定系数法即可求解析式； （2）求D点坐标，设直线AB与抛物线对称轴交于点E，求出E点坐标，用三角形ABD的面积=三角形ADE的面积+三角形BDE的面积即可； （3）设点，对哪个角是直角分类讨论，然后勾股定理列方程即可． 【详解】解：（1）把、两点代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵， ∴D点坐标为：， 设直线AB的解析式为：，代入A、B两点可得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为：， 设直线AB与抛物线对称轴交于点E，则， ∴； （3）假设存在，设点，由解析式可知C点坐标为（0,3） ∴，，， △ACP是直角三角形需分三种情况讨论： ①当时，，即， 解得：，， 此时点P的坐标为（1，1）或（1，2）； ②当时，，即， 解得：， 此时点P的坐标为； ③当时，，即， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，满足条件的P点的坐标为（1，1）或（1，2）或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解题关键是熟练掌握待定系数法，铅锤法求三角形面积，树立分类讨论思想，设点的坐标，勾股定理列方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $