精品解析：广东省江门市新会区尚雅学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（B卷）

2024-2025学年第一学期 九年级数学期中考试B 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 2. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数可得，，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是， ∴，， ∴， 故选：． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选C． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意可得，，由此计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且， 故选：A． 5. 点；点，点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：A． 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 7. 已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正六边形的性质，正三角形的性质，设出边长去表示正三角形面积和正六边形面积即可． 【详解】解：如图：根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为，故正六边形是由6个正三角形构成的，过点作垂足是， 设正六边形的边长为，即 在正三角形中， ∵， ∴， 在中， 一个正三角形的面积为：， 正六边形的面积为：， ∴， 解得：， 故选：C． 8. 两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 9. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B，， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 如图，是的内接三角形，若，则______． 【答案】##62度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 14. 如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】解： 将方程化为：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 17. 为推进“双减”政策落地落实，某校在校内课后延时服务中开设了丰富多彩的兴趣社团活动，小明同学在手工社团课上制造出一个特殊的小汽车，如图1是这个小汽车的侧面示意图，其中矩形表示该小汽车的后备箱．在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在了的位置（如图2所示，已知，）．求点E在旋转过程中经过的路线长．（结果保留根号和） 【答案】厘米 【解析】 【分析】连接，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离． 【详解】解：连接，，，如图所示． 由题意，得：，， 是等边三角形， ． 四边形是矩形， ． 在中，厘米，厘米， （厘米）， 的长（厘米）． 答：点在旋转过程中经过的路线长厘米． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、求弧长，解题的关键是利用勾股定理求出的长度，掌握弧长公式． 18. 如图，已知在中，． （1）请按下列要求完成尺规作图；（不写作法，保留作图痕迹） ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线与相交于点，与相交于点； ③以点为圆心，以长为半径画出圆； （2）在（1）的条件下，求证：是的切线． 【答案】（1） 解：由题意，作图如下： （2） 证明：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，垂线，作圆，切线的判定，熟练掌握切线的判定方法，是解题的关键： （1）根据要求，作图即可； （2）角平分线得到，中垂线的性质，进而推出，得到，得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 20. 如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 【答案】如图， 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可. 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点． ①当时，求点的坐标； ②存在以为底边的等腰三角形吗？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）①；②存在，． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰三角形的性质，解一元二次方程． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，则，，根据，得到，解得，据此求出点F的纵坐标，进而求出点F的坐标即可； ②先求出，设直线表达式为，分别求出，，根据等腰三角形的性质求出点C横坐标为，列一元二次方程计算即可． 【小问1详解】 解：把点代入得，，解得， 反比例函数的表达式为， 把点，点代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①设， 平行于轴， ， ， ， ，解得， ， 点的纵坐标为， 把代入得，解得， 点的坐标为； ②存在，．理由如下： 在中，当时，， ∴， 设直线表达式为， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∵以为底边的等腰三角形， ∴点C横坐标为， ∵点坐标为， ∴， 整理得：， ， ∴， 解得（舍去），， 此时． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使． （1）求证：； （2）如图2，若过圆心，平分，，． ①求证：； ②求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） ①如图，连接并延长交圆与点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∵过圆心，过圆心 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② 【解析】 【分析】（1）由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答； （2）①连接并延长交圆与点G，证明得出即可证明结论成立； ②作于点M，作于点N，根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②作于点M，作于点N ∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 23. 如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点，以为边作正方形，点E在第四象限． （1）线段的长为_______（用m的代数式表示）． （2）试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）设正方形的对称中心为M，直线交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1） （2） ． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）不变， 【解析】 【分析】（1）利用坐标、坐标与图形的性质即可求解； （2）证明可得结论． （3）过点F作交的延长线于点H，过点M作轴．证明，推出，，求得，进而可得，即可证明是等腰直角三角形即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点G的位置保持不变， 理由：过点F作交的延长线于点H，过点M作轴，垂足为N， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又，M是的中点， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了中心对称，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确构造辅助线证明三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期 九年级数学期中考试B 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 点；点，点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 8. 两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 12. 如图，是的内接三角形，若，则______． 13. 若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 14. 如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 15. 二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 为推进“双减”政策落地落实，某校在校内课后延时服务中开设了丰富多彩的兴趣社团活动，小明同学在手工社团课上制造出一个特殊的小汽车，如图1是这个小汽车的侧面示意图，其中矩形表示该小汽车的后备箱．在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在了的位置（如图2所示，已知，）．求点E在旋转过程中经过的路线长．（结果保留根号和） 18. 如图，已知在中，． （1）请按下列要求完成尺规作图；（不写作法，保留作图痕迹） ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线与相交于点，与相交于点； ③以点为圆心，以长为半径画出圆； （2）在（1）的条件下，求证：是的切线． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 20. 如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点． ①当时，求点的坐标； ②存在以为底边的等腰三角形吗？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使． （1）求证：； （2）如图2，若过圆心，平分，，． ①求证：； ②求的长． 23. 如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点，以为边作正方形，点E在第四象限． （1）线段的长为_______（用m的代数式表示）． （2）试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）设正方形的对称中心为M，直线交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $