专题05 二元一次组方程压轴题（压轴题专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题05 二元一次组方程压轴题 目录 1 类型一、二元一次方程组的特殊解 1 类型二、已知二元一次方程组的解的情况求参数 5 类型三、二元一次方程组的新定义问题 8 类型四、二元一次方程组的应用 14 21 类型一、二元一次方程组的特殊解 消元法：通过加减或代入消元，化为单一方程求解，再回代验证解的特殊性。 参数法：若方程组有无穷多解，设其中一个变量为参数（如t），表示另一变量，再根据条件（如整数性）确定参数范围。 整除分析：对于整数解，整理方程后利用系数的整除关系缩小变量范围，结合枚举法。 不等式约束：若求非负解，通过消元后表达式建立不等式，确定变量取值范围。 观察法：对系数较小的方程组，直接尝试小整数代入，快速锁定解。 关键：结合方程特性和解的限制条件，灵活选择方法简化计算。 例1．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-1．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-2．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 变式1-3 若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 类型二、已知二元一次方程组的解的情况求参数 唯一解：确保系数比例不等），解出参数范围。 无解：系数比例相等但常数项不等。 无穷多解：系数与常数项比例均相等。 特殊解限制（如整数解）：先消元表示变量，结合整除性分析参数的可能取值。 关键步骤：整理方程后分类讨论系数关系，结合解的条件反推参数。 例2．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 变式2-1．若是方程组的解，则的值为 ． 变式2-2．若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 变式2-3．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 类型三、二元一次方程组的新定义问题 理解定义：仔细阅读题目中的新定义，明确运算规则或关系式，将其转化为数学表达式。 变量转换：根据定义，将新运算转化为常规二元一次方程，如定义新运算“a⊗b=2a+b”，则方程化为标准形式。 建立方程组：利用题目条件列出两个独立方程，确保符合新定义的规则。 常规解法：用代入法或加减法解方程组，注意运算过程中的符号和系数变化。 验证结果：将解代入原定义验证是否满足题意，确保答案合理。 关键点：紧扣新定义，灵活转化，避免混淆常规运算。 例3．在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这个数的和与积相加正好等于这个数的和，则称这样的提取为完美提取． 例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字可以是 （写一种情况即可），共有 种完美提取（注：提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）． 变式3-1．一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且百位数字与十位数字形成的两位数是千位数字与个位数字和的两倍，那么把这个四位数叫做“中二倍数”，例如：四位数3165，因为，所以3165是“中二倍数”．若两个四位自然数，是“中二倍数”，则 ；若一个“中二倍数”能被19整除，记，则当最大值时m的值是 ． 变式3-2 规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 变式3-3对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数，已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y 的方程组中，y 是等腰三角形腰的长度，x是底的长度，求 m 的取值范围以及等腰三角形周长C 的取值范围； (3)若 关 于 x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为______． 类型四、二元一次方程组的应用 审题设元：明确两个未知量，用x、y表示，注意单位统一。 找等量关系：从题目中提取两个独立条件，转化为方程（如和差、倍数、总量关系）。 选择解法： 代入法：当某个系数为1时，直接表示代入； 加减法：通过系数调整消去一个变量。 检验答案：将解代入原题验证合理性，尤其注意实际问题的取值限制（如正数、整数等）。 规范作答：写出"设→列→解→答"完整步骤，避免跳步。多结合图表、列表梳理数量关系。 例4 有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤ 两数的和 则写有最大数卡片的编号是(    ) A．② B．③ C．④ D．⑤ 变式4-1 随着农历牛年脚步的临近，江北区街道两旁已挂满了各色灯饰，主要有随风舞动的“水母”、亭亭玉立的“麦穗”和绚烂夺目的“星球”三类主题灯饰，他们的数量比为3：4：2．每个灯饰均由A、B、C三种灯管组成，每个灯饰的成本是组成灯饰中各种灯管的成本之和．已知1个“水母”灯饰由1个A灯管、4个B灯管、2个C灯管组成；1个“麦穗”灯饰由2个A灯管、2个B灯管、1个C灯管组成．1个“水母”灯饰的成本是1个A灯管成本的5倍，1个“星球”灯饰的成本比1个“水母”灯饰的成本高出40%．三类主题灯饰安装后需一次性支付不同的安装费，各类主题灯饰的总费用由灯饰的成本费和安装费组成，其中“麦穗”灯饰的安装费占到了三种灯饰总安装费的，而“麦穗”灯饰总费用是三类主题灯饰总费用的，且“麦穗”灯饰、“星球”灯饰的总费用之比为8：7，则“星球”灯饰的安装费与三类主题灯饰总费用之比是 ． 变式4-2 某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 变式4-3 数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 一、单选题 1．．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 2．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 4．已知关于x，y的方程组的解为，则关于m、n的方程组的解为 ； 5．已知关于x，y的方程组的解是，则与方程组 有关的的值为 ． 6．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为 ；（II）图③中的为 （用含的式子表示） 7．现有1角、5角、1元硬币各25枚，从中取出36枚，共值24元，则1元硬币取 枚． 8．元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是 元． 三、解答题 9．已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于，的方程称为点的“照耀方程”．若是方程的解，则称点“照耀”了点 例如，点的“照耀方程”是，且是该方程的解，则点“照耀”了点． (1)下列点中被点“照耀”的点为____________． ，， (2)若点同时被点和点“照耀”，请求出， (3)若个不同的点，，…，，每个点都“照耀”了其后所有的点， 如“照耀”了，，…，， “照耀”了，，…，，…… “照耀”了， 请写出的最大值，并说明理由． 11．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 12．一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“友好数”．则： (1)最小的“友好数”为______最大的“友好数”为______； (2)将友好数m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到，令，将友好数m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到，，若被5除余1，求满足条件的m的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次组方程压轴题 目录 1 类型一、二元一次方程组的特殊解 1 类型二、已知二元一次方程组的解的情况求参数 5 类型三、二元一次方程组的新定义问题 8 类型四、二元一次方程组的应用 14 21 类型一、二元一次方程组的特殊解 消元法：通过加减或代入消元，化为单一方程求解，再回代验证解的特殊性。 参数法：若方程组有无穷多解，设其中一个变量为参数（如t），表示另一变量，再根据条件（如整数性）确定参数范围。 整除分析：对于整数解，整理方程后利用系数的整除关系缩小变量范围，结合枚举法。 不等式约束：若求非负解，通过消元后表达式建立不等式，确定变量取值范围。 观察法：对系数较小的方程组，直接尝试小整数代入，快速锁定解。 关键：结合方程特性和解的限制条件，灵活选择方法简化计算。 例1．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 变式1-1．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 变式1-2．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求出最后结果． 【详解】解：方程组可变为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴方程组的解是， 故选：B． 变式1-3 若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键． 根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组的解为，进而可得出结论． 【详解】解：∵关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为，即． 故答案为：． 类型二、已知二元一次方程组的解的情况求参数 唯一解：确保系数比例不等），解出参数范围。 无解：系数比例相等但常数项不等。 无穷多解：系数与常数项比例均相等。 特殊解限制（如整数解）：先消元表示变量，结合整除性分析参数的可能取值。 关键步骤：整理方程后分类讨论系数关系，结合解的条件反推参数。 例2．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法的计算是关键． 运用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组，再根据解均为整数列式判定即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解均为整数， ∴的值可为， ∴符合条件的整数的值有个， 故选：D ． 变式2-1．若是方程组的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的解，以及式子的值，求代数式的值，把代入方程组，由①②得，由①②得，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ 由①②得：， 即， ∴， 由①②得： 即， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2-2．若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2025 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组；根据方程组中两个方程的特点，两个方程相加可得的值，由已知即可求得k的值． 【详解】解：方程两式相加得：， 即； 由于， 即， 解得：； 故答案为：2025． 变式2-3．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法、二元一次方程的解 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ∴， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：，． （2）解：， ∴， ∴当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴是的约数， ∴或， 故或． 类型三、二元一次方程组的新定义问题 理解定义：仔细阅读题目中的新定义，明确运算规则或关系式，将其转化为数学表达式。 变量转换：根据定义，将新运算转化为常规二元一次方程，如定义新运算“a⊗b=2a+b”，则方程化为标准形式。 建立方程组：利用题目条件列出两个独立方程，确保符合新定义的规则。 常规解法：用代入法或加减法解方程组，注意运算过程中的符号和系数变化。 验证结果：将解代入原定义验证是否满足题意，确保答案合理。 关键点：紧扣新定义，灵活转化，避免混淆常规运算。 例3．在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这个数的和与积相加正好等于这个数的和，则称这样的提取为完美提取． 例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字可以是 （写一种情况即可），共有 种完美提取（注：提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）． 【答案】 6、7 3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用．按照定义判断列方程求解即可． 【详解】解：， 当提取2个数和时，不妨设， 则， 时，，则，则（舍去）， 时，，则（舍去）， 时，，则，则（舍去）， 时，，则（舍去）， 时，，则（舍去）， 时，，则，则（符合题意）， 时，，则，则（舍去）， 当提取3个数、和时，不妨设， 则， 时，，则，则（符合题意）， 时，，则（舍去）， 时，，则（舍去）， 当提取4个数时， 因为， 则必定提取1、2， （舍去）， （舍去）， （舍去）， （符合题意）， （舍去）， （舍去）， 综上，提取的数字可以是6、7或1、4、10或1、2、3、7共3种． 故答案为：6、7（答案不唯一）；3． 变式3-1．一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且百位数字与十位数字形成的两位数是千位数字与个位数字和的两倍，那么把这个四位数叫做“中二倍数”，例如：四位数3165，因为，所以3165是“中二倍数”．若两个四位自然数，是“中二倍数”，则 ；若一个“中二倍数”能被19整除，记，则当最大值时m的值是 ． 【答案】 3081 7182 【分析】本题考查新定义下的二元方程组运算以及整式的加减运算．根据题意所给出的“中二倍数”的定义是解题的关键．本题利用数的位值原理得出方程组求解即可得出，然后依据是一个“中二倍数”以及能被19整除，进行整式的运算，过程中涉及不等式限定范围以及不定方程的求解，进而即可分类讨论得出当最大值时m的值． 【详解】解：两个四位自然数，是“中二倍数”， 根据“中二倍数”的定义可得， 解得：， ∴； 是一个“中二倍数”， ， 能被19整除， ， 是正整数， 是正整数， 是整数， ， ， 各数位上的数字互不相等且均不为0， 当，有，（舍去）； 当，有，，此时（舍去）； 当，有，，此时； 当，没有满足条件的； 当，有，，此时； 当，有，，此时； 当，有，，此时； ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 最大值为，此时m的值为． 故答案为：；． 变式3-2 规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为， 由题意，得， 解得， 故答案为：，． （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为． 变式3-3对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数，已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y 的方程组中，y 是等腰三角形腰的长度，x是底的长度，求 m 的取值范围以及等腰三角形周长C 的取值范围； (3)若 关 于 x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为______． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可； （2）先根据题意得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组用m表示出x、y，再根据等腰三角形的三边关系得到，代入即可求出m的取值范围，进而表示出三角形的周长C，即可解答； （3）可令再根据同解题意可知关于m、n的方程组的解为，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵y 是等腰三角形腰的长度，x是底的长度， ∴ ∴， ∴ ∵该等腰三角形的周长， ∴． （3）解：可变形为， ∴令， ∴， ∵关于 x，y的方程组的解为， ∴关于m、n的方程组的解为， ∴， 解得． 故答案为： 类型四、二元一次方程组的应用 审题设元：明确两个未知量，用x、y表示，注意单位统一。 找等量关系：从题目中提取两个独立条件，转化为方程（如和差、倍数、总量关系）。 选择解法： 代入法：当某个系数为1时，直接表示代入； 加减法：通过系数调整消去一个变量。 检验答案：将解代入原题验证合理性，尤其注意实际问题的取值限制（如正数、整数等）。 规范作答：写出"设→列→解→答"完整步骤，避免跳步。多结合图表、列表梳理数量关系。 例4 有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤ 两数的和 则写有最大数卡片的编号是(    ) A．② B．③ C．④ D．⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，由题意得关于①②③④⑤的方程，利用等式的性质求出它们的值，最后根据题意得结论． 【详解】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ， ，得③①，，得⑤③ ． ，得⑤①． ，得⑤，，得①． ⑤，①． 把⑤①的值代入、、、得②，③，④． 故选：A． 变式4-1 随着农历牛年脚步的临近，江北区街道两旁已挂满了各色灯饰，主要有随风舞动的“水母”、亭亭玉立的“麦穗”和绚烂夺目的“星球”三类主题灯饰，他们的数量比为3：4：2．每个灯饰均由A、B、C三种灯管组成，每个灯饰的成本是组成灯饰中各种灯管的成本之和．已知1个“水母”灯饰由1个A灯管、4个B灯管、2个C灯管组成；1个“麦穗”灯饰由2个A灯管、2个B灯管、1个C灯管组成．1个“水母”灯饰的成本是1个A灯管成本的5倍，1个“星球”灯饰的成本比1个“水母”灯饰的成本高出40%．三类主题灯饰安装后需一次性支付不同的安装费，各类主题灯饰的总费用由灯饰的成本费和安装费组成，其中“麦穗”灯饰的安装费占到了三种灯饰总安装费的，而“麦穗”灯饰总费用是三类主题灯饰总费用的，且“麦穗”灯饰、“星球”灯饰的总费用之比为8：7，则“星球”灯饰的安装费与三类主题灯饰总费用之比是 ． 【答案】 【分析】设“水母”灯饰的数量为 “麦穗”灯饰的数量为，“星球”灯饰的数量为；一个A灯管的成本为，一个B灯管的成本为，一个C灯管的成本为， 再分别表示所有“水母”灯饰的总成本为，所有“麦穗”灯饰的总成本为，所有“星球”灯饰的总成本为，设“麦穗”灯饰的安装费用为，则“水母”灯饰和“星球”灯饰的安装费用和为， 设“水母”灯饰的安装费用为，则“星球”灯饰的安装费用为，再求解“麦穗”灯饰的总费用与“水母”灯饰的总费用与“星球”灯饰的总费用之比为，再列方程组：，求解，再表示“星球”灯饰的安装费为，三类主题灯饰总费用为：，从而可得答案． 【详解】解：设“水母”灯饰的数量为 “麦穗”灯饰的数量为，“星球”灯饰的数量为；一个A灯管的成本为，一个B灯管的成本为，一个C灯管的成本为， 则每个“水母”灯饰的成本为， 每个“麦穗”灯饰的成本为, 每个“星球”灯饰的成本为 则所有“水母”灯饰的总成本为, 所有“麦穗”灯饰的总成本为, 所有“星球”灯饰的总成本为, 设“麦穗”灯饰的安装费用为，则“水母”灯饰和“星球”灯饰的安装费用和为， 设“水母”灯饰的安装费用为，则“星球”灯饰的安装费用为， “麦穗”灯饰的总费用是三类主题灯饰总费用的，且“麦穗”灯饰与“星球”灯饰的总费用之比为， “星球”灯饰的总费用是三类主题灯饰总费用的， “水母”灯饰的总费用是三类主题灯饰总费用的， “麦穗”灯饰的总费用与“水母”灯饰的总费用与“星球”灯饰的总费用之比为， ， 整理得， 解得 “星球”灯饰的安装费为， 三类主题灯饰总费用为： ， “星球”灯饰的安装费与三类主题灯饰总费用之比为． 故答案为 【点睛】本题考查的是类二元一次方程组的应用，掌握把某些量看作是已知量，列方程组，解方程组是解题的关键． 变式4-2 某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 【答案】(1)裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块 (2)有三种裁切方案：方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块 (3)需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组． （1）根据“甲乙广告牌的尺寸”和“用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍”，建立等量关系，列出二元一次方程求解即可； （2）设一张该板裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，可得，求出非负整数解即可； （3）根据题意，需裁切甲广告牌500块，乙广告牌块，且板材恰好全部用完，可分三种情况讨论，①单独采用方案3，直接列示求解即可得购买板材数量；②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块，同样的方法求解即可．最后对比即可得出结论． 【详解】（1）解：设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块， 依题意得： 解得 答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块． （2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块， 根据题意得： 可得， ∵，为非负整数， ∴或或 答：有以下三种裁切方案： 方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块； 方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块； 方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块． （3）解：①采用方案3，根据题意，得： （张） （张） （张） 需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块． ②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块， 根据题意，得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块． ③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块 根据题意,得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 变式4-3 数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． 【任务1】若， 求n， x， y的值； 【任务2】求的最大值． 【答案】[任务1]，，；[任务2]35 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则，求其整数解，判断的最大值即可． 【详解】解：任务1：由题意得，， ， 解得：； 任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴， ∴整数解为：或， ∵， ∴的最大值为35． 一、单选题 1．．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可． 【详解】解：①当时，方程组为 ①②得， 解得： 将代入②得， 解得： 方程组的解为：， ∴是方程的一个解，符合题意； ②关于，的方程组 ①②得， 解得： 将代入②得， 方程组的解为：， 当当x与y互为相反数时，， 解得：，故②不符合题意； ③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意； ④当时，方程组的解为：， 则，④不符合题意． 所以以上四种说法中正确的有①③． 故选：B． 2．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确． 【详解】解：将代入原方程组得， 解得， 将代入方程左右两边， 左边，右边， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； 方程组 得， 若，则，解得，故②正确； ∵，， ∴两方程相加得， ∴， ∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确； ∵， ∴x，y都为自然数的解有共5对， 故④正确． 故选：D 【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键． 二、填空题 3．已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程变形为，根据方程组的解为得到，即可求出． 【详解】解：变形为， ∵方程组的解为， ∴， ∴． 故答案为： 4．已知关于x，y的方程组的解为，则关于m、n的方程组的解为 ； 【答案】/ 【分析】由题意可知，将代入计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 解得， ∴关于m，n的方程组的解为 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解与整体思想的应用是解题的关键． 5．已知关于x，y的方程组的解是，则与方程组 有关的的值为 ． 【答案】 【分析】由整体换元思想可得，求出，，然后代入求值即可． 【详解】∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得：， ∴x′-2y′=8-2×12=8-24=-16． 故答案为：-16． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键． 6．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为 ；（II）图③中的为 （用含的式子表示） 【答案】 12 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组应用． 根据每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．可知有公共单元格的横竖斜行的其他两个数和相等，据此求出未知第三格的数值（或用代数式表示），最后列出方程（组）求解即可． 【详解】解：∵每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． 由图②中，， ∴， ∴ 解得： ∴， 由图③中，设每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴， ， ∴ 故答案为：12；． 7．现有1角、5角、1元硬币各25枚，从中取出36枚，共值24元，则1元硬币取 枚． 【答案】12或16或20 【分析】本题主要考查了三元一次方程组、方程组的解等知识点，结合题意判断x的取值范围是解题的关键． 设1角、5角、1元硬币各取x枚，y枚，z枚，然后根据题意列三元一次方程组，并结合题意可判断x必须是5的倍数且，又x为整数，可分类讨论当，5，10时，再将三元一次方程组化为二元一次方程组再进行求解即可． 【详解】解：设1角、5角、1元硬币各取x枚，y枚，z枚， 由题意可列： ∵取出的硬币共值24元， ∴x必须是5的倍数， ∵当时，取出硬币的总价值小于24元， ∴， （1）当时，方程化为，解得：符合题意； ∴1元硬币取12枚； （2）当时，方程化为，解得：符合题意； ∴1元硬币取16枚； （3）当时，方程化为，解得：符合题意； ∴1元硬币取20枚． 综上：1元硬币取12枚，16枚，20枚． 故答案为：12或16或20． 8．元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是 元． 【答案】4000 【分析】本题主要考查了一次方程的应用．设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为，再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，，根据销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，列出方程，求得，得到单包各种口味的汤圆的利润，再根据芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，列出方程，求解即可． 【详解】解：设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为， 再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，， 依题意得， 解得， 则单包花生味的利润为元，芝麻味的利润为元，奥巧味的利润为元， 由题意得， 解得， 所以总利润：（元）， 故答案为：4000． 三、解答题 9．已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)没有，理由见详解 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【详解】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 10．在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于，的方程称为点的“照耀方程”．若是方程的解，则称点“照耀”了点 例如，点的“照耀方程”是，且是该方程的解，则点“照耀”了点． (1)下列点中被点“照耀”的点为____________． ，， (2)若点同时被点和点“照耀”，请求出， (3)若个不同的点，，…，，每个点都“照耀”了其后所有的点， 如“照耀”了，，…，， “照耀”了，，…，，…… “照耀”了， 请写出的最大值，并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)的最大值为3；理由见解析 【分析】（1）根据题目中给出的定义进行解答即可； （2）根据题意列出方程组，求解即可； （3）根据二元一次方程组只有一个解解答即可． 【详解】（1）解：点的照耀方程为：， 把点代入得：， ∴点不是被点“照耀”的点； 把点代入得：， ∴点不是被点“照耀”的点； 把点代入得：， ∴点是被点“照耀”的点； 故答案为：． （2）解：点的照耀方程为：，点的照耀方程为：， 解方程组得：， ∴点C为， 即，． （3）解：的最大值为3；理由如下： 设点，则关于点的照耀方程为， 设点，则关于点的照耀方程为， 设点是被和的“照耀”的点， ∴是方程组， ∵方程组为关于x、y的二元一次方程组， 又∵二元一次方程组只有一个解， ∴被和“照耀”的点只有一个， ∴不可能再写出第4个点， ∴的最大值为3． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握解二元一次方程组的方法，及二元一次方程组解的定义． 11．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 12．一个四位正整数m的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“友好数”．则： (1)最小的“友好数”为______最大的“友好数”为______； (2)将友好数m的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到，令，将友好数m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到，，若被5除余1，求满足条件的m的最大值． 【答案】(1)1243，9867； (2)m最大值为9537 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式的加减的应用，理解新定义，准确进行计算是解题的关键． (1)根据“友好数”定义即可得出最小和最大的“友好数”； (2)设正整数的千位数是，百位数为，千位数与十位数的和与百位数与个位数的和为，则十位数为，个位数为，分别表示出，，，得出，要使最大，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“友好数”， 数位从高到低尽量小时，可得到最小的“友好数”为1243，数位从高到低尽量大时，可得到最大的“友好数”为9867， 故答案为：1243，9867； （2）设正整数的千位数是，百位数为，千位数与十位数的和与百位数与个位数的和为，则十位数为，个位数为， ， ， ， ， ， ， 一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0， ，，，， 要使最大， ， ， 被5除余1， 的取值为6或11或16， 当时，，解得， ，，此时为9537， 当时，，解得， ，，此时为9328， 当时，，解得， ，不符合题意， ， 满足条件的的最大值为9537． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$