专题04 一元一次方程压轴题（压轴题专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题04 一元一次方程压轴题 目录 1 类型一、绝对值方程 1 类型二、换元法求解一元一次方程 4 类型三、一元一次方程中含参数问题 6 类型四、一元一次方程的新定义型问题 9 类型五、一元一次方程的应用 16 20 类型一、绝对值方程 核心步骤： 定义转化：根据|a|=b⇒a=b或a=-b（b≥0），去掉绝对值符号 分段讨论：对|x-a|型表达式，按零点分区间讨论 几何意义：利用数轴距离理解解的范围（如|x-2|=3表示与2距离为3的点） 典型解法： 基本型：直接拆解（例|2x+1|=5→x=2或x=-3） 嵌套型：从外向内逐层拆解 含参型：分类讨论参数取值范围 易错警示： 必须验证解的合法性（右边非负） 多重绝对值需画数轴辅助分析 特别注意无解情况（如|x|=-2） 示例： 解|x-3|+|x+1|=6 ① 找关键点x=-1,3 ② 分x<-1,-1≤x≤3,x>3三段讨论 ③ 得解x=-2或x=4 例1．已知关于x的方程有三个解，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程．根据题意得：，根据绝对值的定义，结合已知条件列出关于a的一元一次方程，求解之后判断答案即可； 【详解】解；根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∵关于x的方程有三个解，则有两个相等， 显然，不成立， 若，得到（舍去）； 若，得到，，（舍去）； 若，得到，，，（符合题意）； 若，得到，，（舍去）； 故答案为：． 变式1-1．记，则方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查化简绝对值，解一元一次方程．根据新定义，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：当时，，此时， 当时，， 当时，，此时， ∴当时：，解得：； 当时：，不符合题意； 当时：，解得：． 故答案为：或． 变式1-2．已知、为有理数，方程仅有三个不相等的解，则 ． 【答案】2.7// 【分析】含有绝对值的方程，先去掉外边绝对值得或，由于仅有3个不相等的解，则，解方程求得n的值． 【详解】解：， ∴或， 当时，或， 当时，或， 方程仅有三个不相等的解， 时，或时，， 当时，，不成立， ， 综上所述：的值为2.7， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查绝对值方程，分类讨论是解题的关键． 变式1-3 设，，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，即，由绝对值的代数意义分情况讨论去掉绝对值，解方程即可得到答案． 【详解】解： ，，当时， ，即， 当时，，则，即，解得； 当时，，则恒成立，即； 当时，，则，即，解得； 综上所述，当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查含绝对值方程的解法，熟记绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键． 类型二、换元法求解一元一次方程 换元法求解一元一次方程，首先识别方程中可替换的复杂表达式，设为新变量。将原方程中的表达式替换为新变量，简化方程。解简化后的一元一次方程，求出新变量的值。将新变量的值代回原表达式，求出原变量的值。检查解是否满足原方程，确保正确。注意换元过程中的等价替换，保持方程的平衡。最后，将解以适当形式呈现。 例2．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 变式2-1．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，换元法解方程．理解把关于y的方程中的比作关于x的方程中的x是解题关键．关于y的方程可变形为，结合题意可得出，解出y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴，即关于y的方程的解为． 故答案为：． 变式2-2．已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】7 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键．两个方程形式相似，第一个方程的解为，则第二个方程中与x对应，可得，可得结果． 【详解】解：关于的方程的解为， 则 ， ∴， ． 故答案为7 变式2-3．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程解为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将一元一次方程变形可得是方程的解，即可得出答案，解题的关键是得出是方程的解． 【详解】解：将一元一次方程变形得：， 关于的一元一次方程的解为， 是方程的解， 解得：， 故答案为：． 类型三、一元一次方程中含参数问题 解一元一次方程含参数问题，首先将方程整理为标准形式，明确参数与变量的关系。根据方程的解的情况，如唯一解、无解或无穷多解，分析参数的取值范围。解方程时，将参数视为常数，求出变量的表达式。根据题目要求，讨论参数的不同取值对解的影响。注意参数对运算过程和解的性质的影响。最后，将解以适当形式呈现，确保答案准确。 例3．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】C 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式3-1．如方程有一个解是，则这个方程的另一个实数解为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解含参数的一元一次方程，。熟练掌握一元一次方程的解和正负数的偶次幂都为正数是解题的关键，由于是方程的解，将其代入即可得到的值，从而得到，进而可求得的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴这个方程的另一个实数解为， 故答案为：． 变式3-2 若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将方程移项，合并同类项后根据题意求得，的值，将其代入中计算即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵该方程有无数个解， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式3-3已知关于的方程． (1)若该方程与方程同解，试求的值； (2)当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？ 【答案】(1) (2) 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】（1）解方程，得，然后把代入方程求解即可； （2）分别求出两个方程的解（都是关于m的代数式），再根据两个方程解的关系得到关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解方程，得， 把代入方程，得， 解得：； （2）解方程，得， 解方程，得， ∵方程的解比关于的方程的解大2， ∴， 解这个方程，得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解题意、熟练掌握解一元一次方程的方法是关键． 类型四、一元一次方程的新定义型问题 核心思路 紧扣题目定义的新运算或规则，将其转化为标准一元一次方程求解。 解题步骤 理解定义：明确新运算（如⊕、⊗等）的运算规则及优先级。 示例验证：用简单数值代入定义，确保理解正确（如2⊕3=2×3+2+3=11）。 代数转化：将含新运算的方程转化为常规方程（如解x⊕5=17→2x+5+x=17）。 求解检验：解方程并验证结果是否符合定义域（如分母不为零）。 例4 对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．则下列结论正确的有（   ）． ①当，时，则； ②已知，，且的值与的取值无关，则； ③已知关于的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数记为，最大的整数记为，则； ④若，则关于的方程无解． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，整式的加减无关型问题，化简绝对值等知识，正确理解新定义规定的运算是解答本题的关键． 对于①，直接根据新定义计算；对于②，利用整式的加减法表示，根据其值与的取值无关得到，求出，继续利用新定义计算；对于③，先解方程得到，根据要求得到或2或3或1，则 ，继续利用新定义计算；对于④，当为偶数时，则为奇数，，当为奇数时，则m为偶数，，分类讨论化简绝对值，化简计算，验证即可． 【详解】解：①当，时，为奇数， ∴，故①正确； ②∵，， ∴， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴为偶数， ∴，故②错误； ③， 解得：， ∵方程的解是正整数 ∴或2或3或1， ∴或6或7或5， ∴， ∴为奇数， ，故③正确； ④当为偶数时，则为奇数，， 当时，，解得：（舍） 当时，，解得：（舍）， 当时，，解得：（舍）； 当为奇数时，则m为偶数，， 当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴当时，方程为，此方程无解， 当，方程为，此方程有解，故④错误， ∴正确的有2个， 故选：C． 变式4-1 规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“阳光方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“阳光方程”．请根据上述规定解答下列问题． (1)一元一次方程______（填“是”或“不是”）“阳光方程”． (2)若关于的一元一次方程是“阳光方程”，求的值． (3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“阳光方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义——“阳光方程”．熟练掌握方程的解的定义，新定义，整体代入（或加减）法求代数式的值，解含参数的一元一次方程，是解题的关键． （1），由“阳光方程”的定义得，即可得解； （2）解得，由“阳光方程”的定义得，即可求解； （3）由“阳光方程”得，，即得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴不是“阳光方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于的一元一次方程是“阳光方程”， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于的一元一次方程是“阳光方程”， ∴， ∴， ∴①， ∵关于的一元一次方程是“阳光方程”， ∴， ∴， ∴②， ∴． 变式4-2 若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 【答案】(1)①②，①③ (2)或 (3)的值为或． 【分析】（1）先求出各个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出含有k，m，n的方程，然后根据无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，列出关于m的方程，求出m，再求出n，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ， ， ， ； ③， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴组合满足为“值1方程”的是①②，组合满足“值6方程”的是①③， 故答案为：①②，①③； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴， ∴，，， 解得：或18； （3）解：，，， ， ， ， ， ∵x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， ， ∴或5， 或15，即或15， ∵无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， 解得， ∴或15， 把代入得： ， ， ； 把代入得： ， ， ； 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和新定义，解题关键是理解已知条件新定义的含义． 变式4-3 已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”； ①（   ）        ②（   ）    ③（   ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)；； (2)或 (3)当时，；当且时，无解；当且时， 【分析】本题考查了新概念的理解，一元一次方程，正确理解题中的新概念，利用分类讨论的思想解题是关键． （1）根据“幸福方程”的概念，逐一判断即可； （2）根据“幸福方程”的概念，分类列方程，逐一解出即可； （3）根据“幸福方程”的概念，列出式子，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①解，可得，，故方程是“幸福方程”； ②解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”； ③解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”， 故答案为：；；； （2）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， 解得或； （3）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， ①当时， 可化简为， 则， ②当， 可化简为， 变形可得， 当时，等式左边等于0，等式右边等于5，故该方程无解； 当时，； 综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，． 类型五、一元一次方程的应用 核心思路 设未知数：明确问题中的未知量，通常设为 x。 找等量关系：根据题意建立方程（如和、差、倍、分、行程、利润等关系）。 解方程：整理方程并求解。 检验合理性：验证解是否符合实际意义（如时间、长度不能为负）。 例5 对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个没有填写完整的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，在图中已经填入了两个数：和，则图中最右上角的数的值是 ． 【答案】 【分析】设第一行第一个方格中的数为，则第三行第三个方格中的数为，第一行第二个方格中的数为，第二行第三个方格中的数为，第三行第一个方格中的数为，根据第一行和第三行的三个数之和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第一行第一个方格中的数为， 则第三行第三个方格中的数为， 第一行第二个方格中的数为， 第二行第三个方格中的数为， 第三行第一个方格中的数为，如图所示： 根据题意得， 即， 解得， 图中最右上角的数的值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是找准等量关系并正确列出方程． 变式5-1 在工业生产中，金属废料的加工与应用是实现资源循环利用的重要环节.某工厂现有一块体积为800立方分米的不规则金属．工厂决定把这块金属熔铸成一个特定规格的空心圆柱（外直径为10分米，内直径为6分米），此次熔铸过程中的损耗率为，熔铸后空心圆柱如图1（取3） (1)空心圆柱的高为多少分米？ (2)空心圆柱制成后，为了防止其生锈，需要将接触空气部分涂上防锈漆.目前市场上每平方分米防锈漆的价格是10元．那么涂这个空心圆柱共需要多少钱？ (3)为测试空心圆柱的防锈效果，工厂采用特定的注水实验方式.现将该空心圆柱（外直径为10分米，内直径为6分米）放置于一个底面平整且足够大的圆柱形测量容器内．实验过程中，先以稳定的水流速度向容器与空心圆柱之间的环形区域注水（如图2）．已知水流速度精准控制为500立方分米每分钟，第一阶段注水时长为2.5分钟，注水后测量得到圆柱形容器内的水位恰好比空心圆柱的上底面低5分米；第二阶段，保持水流速度不变继续注水5.5分钟，注水后水位超过空心圆柱上底面，且距离圆柱形容器顶端2分米，求该测量容器的高为多少分米？ 【答案】(1)15分米 (2)8160元 (3)25.6分米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，混合运算的应用； （1）该容器外直径为10分米，内直径为6分米，设高为分米，利用体积不变建立方程求解即可； （2）先计算圆柱形容器的表面积，再进一步求解即可； （3）设圆柱形测量容器的底面积为平方分米，由题意可得第一阶段注水后水位是10分米，可得，设圆柱形测量容器的高为分米，第二阶段后有：，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：该容器外直径为10分米，内直径为6分米，设高为分米， ∴， ∴（分米）， ∴该圆柱形容器的高为分米； （2）解：该圆柱形容器的表面积为： （平方分米）， 所以涂这个空心圆柱共需要（元）； （3）解：设圆柱形测量容器的底面积为平方分米， 由题意可得第一阶段注水后水位是10分米， 所以， 解得：， 设圆柱形测量容器的高为分米，第二阶段后有： ， 解得：， 答：圆柱形测量容器的高为分米. 变式5-2 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 变式5-3 我校五、六年级春游的人数都是的整数倍．如果五、六年级都租用有个座位的旅游车，则五、六年级需租用这种车辆；如果都租用个座位的旅游车，则五年级要比六年级多租用这种车辆．现在知道五、六年级人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满．问：五、六年级参加这次春游的人数各是多少？ 【答案】五年级参加这次春游的有人，六年级参加这次春游的有人． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是确定租用个座位的旅游车的数量． 先根据题意估算两个年级的总人数，由一元一次方程可得各年级租用个座位的旅游车的数量，可估算各年级的人数，结合租用个座位的旅游车的情况，进而确定各年级参加春游的具体人数． 【详解】解：（人） ∵五、六年级春游的人数都是的整数倍， ∴两个年级共有人或人， 当两个年级共有人时，需租用个座位的旅游车（辆） 当两个年级共有人时，需租用个座位的旅游车（辆） 设六年级租用个座位的旅游车辆，则， 解得，， ∴ ∴五年级租用个座位的旅游车辆，六年级租用个座位的旅游车辆， 五年级（人） 六年级（人） 又∵五、六年级都租用有个座位的旅游车，需要辆， 五年级（辆） 六年级（人） 答：五年级参加这次春游的有人，六年级参加这次春游的有人． 一、单选题 1．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，理解新定义运算规则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 解得， ∵， ∴符合题意； 当时， ， 解得， ∵， ∴不符合题意． ∴方程的解为． 故选：A． 二、填空题 2．规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“奇异方程”．例如：的解为，因为，所以该方程是“奇异方程”． （1）若关于x的一元一次方程是“奇异方程”，则m的值为 ． （2）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，则代数式的值为 ． 【答案】 16 【分析】本题考查了解一元一次方程、代数式求值，解题的关键是：（1）根据“奇异方程”定义列出关于m的一元一次方程；（2）根据“奇异方程”的定义列出关于m、n的方程组，利用整体思想解答． （1）根据“奇异方程”的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“奇异方程”的定义即可得出，，然后代入代数式)中即可算出结论． 【详解】解：（1）解一元一次方程是，得， ∵一元一次方程是“奇异方程”， ∴， ∴， ∴； （2）∵一元一次方程和都是“奇异方程”， ∴， ∴， ∴ 故答案为：，16． 3．已知关于的绝对值方程只有三个解，则 ． 【答案】 【分析】首先根据绝对值的意义得到或，解方程得到或或或，当时，方程只有两个解，不符合题意，则，由方程只有三个解得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴或， ∴或， ∴或或或， ∴或或或， 当时，则，即此时方程只有两个解，不符合题意； ∴， ∴， ∵关于的绝对值方程只有三个解， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，正确理解绝对值的意义是关键． 4．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由方程有解，分和两种情况讨论，列出关于m的不等式进行求解 【详解】分两种情况讨论： ①若，则方程可化为， 移项并合并同类项，得 ∵原方程有解， ∴， 即，或， ∴或； ②若，则方程可化为， 移项并合并同类项，得 ∵原方程有解， ∴， 即，， ∴； 综上所述，m的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是先分类讨论x的取值再求m的取值范围． 5．k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则 ． 【答案】 【分析】先求得一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有整数解的情况确定的取值即可 . 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有整数解， ∴，则， ∴或或或， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，理解一元一次方程整数解的意义是解题的关键． 三、解答题 6．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 【答案】(1)“分” (2)不可能，理由见解析 (3)“整” 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断； （）由“分”方程可得，再把所解方程转化为，代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：不可能，理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； （3）解：∵关于的方程是“分”方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 7．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 8．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4，6，18 【分析】（1）先求出的解，再将方程的解代入，求出的值即可； （2）由得，，利用整体思想，将代入，求出的值即可； （3）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∵的解也是关于的方程的解， ∴，解得：； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∵关于的方程的解也是“立信方程”的解， ∴， ∴，解得：； （3），解得：， ∵是“立信方程”， ∴是整数， ∴或， 解得：或或（不合题意，舍去）或， ∴符合要求的正整数的值为． 【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解题的关键． 9．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起来一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)数轴上表示4和的两点之间的距离是______（写出最后的结果），表示a与b的两点之间的距离为______． (2)①若，则x可以看做数轴上到表示的点的距离为3的点所表示的数，可以得______．再试一试，若，那么______． ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，符合条件的x有______个，符合条件的整数x分别为______． ③的最小值为______． 【拓展】 (3)若，______． 【答案】(1)，； (2)①或；或；②无数，，，，，，；③5； (3)或． 【分析】（1）由数轴上两点之间的距离公式可得答案； （2）①直接利用绝对值的含义解方程即可；②由题意可得，再画好数轴利用数形结合的方法解答即可；③当在线段上时，由②得：，当在的左边时，如图，当在C的右边时，如图，再利用数形结合的方法可得到最小值； （3）由（2）可得数x所对应的点B在A的左边或C的右边，再分两种情况讨论：当数x所对应的点B在A的左边时，如图，当数x所对应的点B在C的右边时，如图，利用数形结合的方法可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示4和的两点之间的距离是， 表示a与b的两点之间的距离为． （2）①当，即， ∴或， 解得：或； 当， ∴或， 解得：或； ②∵x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5， ∴， 如图，表示，表示，表示， ∴，，而， ∴B在线段上都符合题意，即符合条件的有无数个，符合条件的整数有： ，，，，，； ③当在线段上时，由②得：， 当在的左边时，如图， ， 当在C的右边时，如图， ， 综上：的最小值是5． （3）当时，结合（2）可得，数x所对应的点B在A的左边或C的右边， 当数x所对应的点B在A的左边时，如图， ∴此时， 当数x所对应的点B在C的右边时，如图， 此时． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，线段的和差运算，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 10．已知关于的方程． (1)若方程与关于的方程有相同的解，求的值； (2)若方程的解是正整数，直接写出正整数的值是____________． 【答案】(1) (2)3或8 【分析】（1）分别解两个方程，根据方程的解相同，列式计算即可； （2）用含的代数式表示出方程的解，根据方程的解是正整数，确定的值即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得，， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化1，得：； ， 去小括号，得：， 去中括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化1，得：； ∵两个方程的解相同， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， ∵方程的解是正整数， ∴能被整除， 又∵为正整数， ∴或， 解得：或； 故答案为：3或8． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母的时候，不要漏乘，去括号，移项时，注意符号的变换． 11．解方程：． 【答案】时，；时 【分析】令，，得，，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求值. 【详解】 解：①当时，， ，不存在； ②当时，，； ③当时，，， 的解是时，；时． 【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将的值分段去绝对值解方程． 12．已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的解，得到方程的解，代入计算即可． （2）先求的解，根据解的属性，m的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程， 解得， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为， ∴， 解得， 故时，方程与方程的解相同． （2）解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故，且m为非负整数， 故， 解得， 故． 13．小明解方程时粗心大意，去分母时方程左边的1没有乘10，由此得到方程的解是；求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 先根据小明错误的去分母操作，列出错误去分母后的方程；再将已知的错误解代入该错误方程，通过求解关于a的方程，得出a的值。 【详解】根据错误的去分母方法列出方程得 因为方程的解是 所以将代入方程得 所以． 14．A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【答案】(1)甲队：千米/小时，乙队：千米/小时 (2)小时 【分析】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键． （1）设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时．从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和=两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可． （2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作小时，完成了总量的，根据工作效率=工作总量÷工作时间，用求出甲的效率．设乙的效率为，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：（小时），根据工作效率工作时间=工作总量，甲队工作量＋乙队工作量，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间． 【详解】（1）解：设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时， （小时）， 2小时小时=小时， ， （千米/小时）， 答：甲队的行进速度是千米/小时，乙队的行进速度是千米/小时． （2）， 根据题意，设乙的工作效率为， （小时）， 答：乙队单独疏通这条公路的效率是小时． 15．张先生向商店订购了每件定价为元的某种商品件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多元，这种商品的成本是多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查了列方程解决问题的方法，抓住降价前后利润的变化，找到等量关系是解题的关键．根据题意，把商品原来每件的定件元看作单位“1”，若减价5%，即每件商品减少的钱数占原来每件定价的，则每件减少了元；已知每降价1元，就多订购4件，那么减少的5元就多订了件，加上原来订购的件，现在一共订购件；根据“获得的利润反而比原来多元”可得出等量关系：降价后每件商品的利润×降价后订购的件数原来每件商品的利润原来订购的件数降价后比原来多的利润，据此列出方程，并求解；最后用原来每件的定价减去原来每件商品的利润，即是这种商品的成本价． 【详解】解：根据题意得，减价：（元）， 多订购的件数：（件）， 降价后共订购：（件）， 设原来每件商品的利润为元，则这种商品的成本是元， （元）， （元）， 答：这种商品的成本是70元． 16．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则6小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则2小时正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？ 【答案】小时 【分析】本题是牛吃草问题和工程问题的结合，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时泉水流入池中的水量）和草地原有的份数（本题相当于池塘内原有的水量）．设每台A型抽水机每小时抽水量为“1”份，那么每小时泉水流入池中的水量（即水的流入速度）就是份，再计算池塘中原有水的总量为，由于每小时泉水流入池中的水量相当于台的抽水量，所以求出原有水量里面有几个，即可得解． 【详解】解：设1台1小时抽水量为“1”份， 水流入速度：（份）， 原水的总量：（份）， 3台时间： （小时）， 答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要小时恰好把池塘中的水抽完． 14 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次方程压轴题 目录 1 类型一、绝对值方程 1 类型二、换元法求解一元一次方程 4 类型三、一元一次方程中含参数问题 6 类型四、一元一次方程的新定义型问题 9 类型五、一元一次方程的应用 16 20 类型一、绝对值方程 核心步骤： 定义转化：根据|a|=b⇒a=b或a=-b（b≥0），去掉绝对值符号 分段讨论：对|x-a|型表达式，按零点分区间讨论 几何意义：利用数轴距离理解解的范围（如|x-2|=3表示与2距离为3的点） 典型解法： 基本型：直接拆解（例|2x+1|=5→x=2或x=-3） 嵌套型：从外向内逐层拆解 含参型：分类讨论参数取值范围 易错警示： 必须验证解的合法性（右边非负） 多重绝对值需画数轴辅助分析 特别注意无解情况（如|x|=-2） 示例： 解|x-3|+|x+1|=6 ① 找关键点x=-1,3 ② 分x<-1,-1≤x≤3,x>3三段讨论 ③ 得解x=-2或x=4 例1．已知关于x的方程有三个解，则 . 变式1-1．记，则方程的解为 ． 变式1-2．已知、为有理数，方程仅有三个不相等的解，则 ． 变式1-3 设，，当时，的取值范围是 ． 类型二、换元法求解一元一次方程 换元法求解一元一次方程，首先识别方程中可替换的复杂表达式，设为新变量。将原方程中的表达式替换为新变量，简化方程。解简化后的一元一次方程，求出新变量的值。将新变量的值代回原表达式，求出原变量的值。检查解是否满足原方程，确保正确。注意换元过程中的等价替换，保持方程的平衡。最后，将解以适当形式呈现。 例2．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 变式2-1．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 变式2-2．已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 变式2-3．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程解为 ． 类型三、一元一次方程中含参数问题 解一元一次方程含参数问题，首先将方程整理为标准形式，明确参数与变量的关系。根据方程的解的情况，如唯一解、无解或无穷多解，分析参数的取值范围。解方程时，将参数视为常数，求出变量的表达式。根据题目要求，讨论参数的不同取值对解的影响。注意参数对运算过程和解的性质的影响。最后，将解以适当形式呈现，确保答案准确。 例3．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 变式3-1．如方程有一个解是，则这个方程的另一个实数解为 ． 变式3-2 若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 变式3-3已知关于的方程． (1)若该方程与方程同解，试求的值； (2)当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？ 类型四、一元一次方程的新定义型问题 核心思路 紧扣题目定义的新运算或规则，将其转化为标准一元一次方程求解。 解题步骤 理解定义：明确新运算（如⊕、⊗等）的运算规则及优先级。 示例验证：用简单数值代入定义，确保理解正确（如2⊕3=2×3+2+3=11）。 代数转化：将含新运算的方程转化为常规方程（如解x⊕5=17→2x+5+x=17）。 求解检验：解方程并验证结果是否符合定义域（如分母不为零）。 例4 对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．则下列结论正确的有（   ）． ①当，时，则； ②已知，，且的值与的取值无关，则； ③已知关于的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数记为，最大的整数记为，则； ④若，则关于的方程无解． A．0 B．1 C．2 D．3 变式4-1 规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“阳光方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“阳光方程”．请根据上述规定解答下列问题． (1)一元一次方程______（填“是”或“不是”）“阳光方程”． (2)若关于的一元一次方程是“阳光方程”，求的值． (3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“阳光方程”，求代数式的值． 变式4-2 若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 变式4-3 已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”； ①（   ）        ②（   ）    ③（   ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 类型五、一元一次方程的应用 核心思路 设未知数：明确问题中的未知量，通常设为 x。 找等量关系：根据题意建立方程（如和、差、倍、分、行程、利润等关系）。 解方程：整理方程并求解。 检验合理性：验证解是否符合实际意义（如时间、长度不能为负）。 例5 对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个没有填写完整的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，在图中已经填入了两个数：和，则图中最右上角的数的值是 ． 变式5-1 在工业生产中，金属废料的加工与应用是实现资源循环利用的重要环节.某工厂现有一块体积为800立方分米的不规则金属．工厂决定把这块金属熔铸成一个特定规格的空心圆柱（外直径为10分米，内直径为6分米），此次熔铸过程中的损耗率为，熔铸后空心圆柱如图1（取3） (1)空心圆柱的高为多少分米？ (2)空心圆柱制成后，为了防止其生锈，需要将接触空气部分涂上防锈漆.目前市场上每平方分米防锈漆的价格是10元．那么涂这个空心圆柱共需要多少钱？ (3)为测试空心圆柱的防锈效果，工厂采用特定的注水实验方式.现将该空心圆柱（外直径为10分米，内直径为6分米）放置于一个底面平整且足够大的圆柱形测量容器内．实验过程中，先以稳定的水流速度向容器与空心圆柱之间的环形区域注水（如图2）．已知水流速度精准控制为500立方分米每分钟，第一阶段注水时长为2.5分钟，注水后测量得到圆柱形容器内的水位恰好比空心圆柱的上底面低5分米；第二阶段，保持水流速度不变继续注水5.5分钟，注水后水位超过空心圆柱上底面，且距离圆柱形容器顶端2分米，求该测量容器的高为多少分米？ 变式5-2 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 变式5-3 我校五、六年级春游的人数都是的整数倍．如果五、六年级都租用有个座位的旅游车，则五、六年级需租用这种车辆；如果都租用个座位的旅游车，则五年级要比六年级多租用这种车辆．现在知道五、六年级人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满．问：五、六年级参加这次春游的人数各是多少？ 一、单选题 1．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 二、填空题 2．规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“奇异方程”．例如：的解为，因为，所以该方程是“奇异方程”． （1）若关于x的一元一次方程是“奇异方程”，则m的值为 ． （2）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，则代数式的值为 ． 3．已知关于的绝对值方程只有三个解，则 ． 4．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 5．k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则 ． 三、解答题 6．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 7．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 8．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 9．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起来一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)数轴上表示4和的两点之间的距离是______（写出最后的结果），表示a与b的两点之间的距离为______． (2)①若，则x可以看做数轴上到表示的点的距离为3的点所表示的数，可以得______．再试一试，若，那么______． ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，符合条件的x有______个，符合条件的整数x分别为______． ③的最小值为______． 【拓展】 (3)若，______． 10．已知关于的方程． (1)若方程与关于的方程有相同的解，求的值； (2)若方程的解是正整数，直接写出正整数的值是____________． 11．解方程：． 12．已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 13．小明解方程时粗心大意，去分母时方程左边的1没有乘10，由此得到方程的解是；求出的值． 14．A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 15．张先生向商店订购了每件定价为元的某种商品件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多元，这种商品的成本是多少元？ 16．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则6小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则2小时正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$