广东省中山市杨仙逸中学2023-2024学年高一下学期第2次段考数学试题

2024年广东省中山市杨仙逸中学高一下数第2次段考 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D． 2.已知中，点是线段的中点，，则（    ） A． B． C． D． 3.要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（    ） A． B． C． D． 1 5.在矩形中，，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知向量，，，若，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 8.如图所示，已知正六边形，下列给出的向量的数量积中最大的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9.设复数，其中是虚数单位，下列判断中正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点在第一象限 C．是方程的一个根 D．若复数满足，则最大值为 10.如图，已知正方体的棱长为，则下列四个结论正确的是（    ） A．直线与为异面直线 B．平面 C．正方体的外接球的表面积为 D．三棱锥的体积为 11.以下说法正确的是（    ） A．若的外心为，且，则 B．已知向量，，且与的夹角为锐角，则且 C．若中，，且只有一解，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，且，则得取值范围为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量，，若，则_____________． 13.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为_________． 14.已知函数（，，）的部分图象如图所示． 则_______________． 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17小题各15分，第18、19小题各17分） 15.已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 16.如图，在平面四边形中，，，，． (1)求线段的长度； (2)求的值． 17.如图，是圆柱的一条母线，过底面圆的圆心，是圆上异于点的一点. 已知，．    (1)求该圆柱的体积； (2)求证：平面； (3)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积． 18.如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、Q分别为、、的中点，设平面与平面的交线为．    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，，求四棱锥的体积． 19.如图，在中，，点是线段上一点． (1)若点是线段的中点，试用和表示向量； (2)若，求实数的值； (3)若，，，求的最小值． 参考答案与试题解析 1.C 【解析】复数为纯虚数， 则有， 解得， 实数的值为， 故选：． 2.A 【解析】已知中，点是线段的中点，， 作图，如图所示： 则， ， ， ， ， 故选：． 3.D 【解析】函数， ， 故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象， 故选：． 4.A 【解析】 所以． 故选：A 5.C 【解析】略 6.A 【解析】，，， ， ， ， 又，， ， 解得， ， ，， 故向量在方向上的投影向量为 ， 故选：． 7.C 【解析】底面半径， 底面积， 底面周长， 圆锥母线长， 圆锥侧面积， 故圆锥的表面积为， 故选：． 8.A 【解析】 如图，根据正六边形的几何性质， 可知，， ，， ， ， ， ， 比较得最大， 故选：． 9.B,C,D 【解析】对于： ， ， 故错误； 对于： 在复平面内对应的点为， 在第一象限， 故正确； 对于： ， ， 是方程的一个根， 故正确； 对于： ， 则， ， 故正确； 故选：． 10.A,B,C 【解析】对选项： 平面， 平面， 面， ， 直线与为异面直线， 故选项正确； 对选项： ，， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 所以平面， 故选项正确； 对选项： 正方体外接球半径， 外接球表面积， 故选项正确； 对选项： ， 故选项错误， 故选：． 11.A,B,D 【解析】对于： 如图作交于点点， 则点为的中点，且， 设， ， ， 故正确； 对于： ，，且与的夹角为锐角， 且不可以与同向， ， 解得， 当时， ， 解得， 综上所述且， 故正确； 对于， 若，且， 由正弦定理得， ， 时，三角形才有解， 故错误； 对于： ， ，且为锐角三角形， ， 解得， 所以， 由正弦定理得， ， 故正确； 故选：． 12. 【解析】，，若， ， 解得：． 13. 【解析】，， ， ， ， 又， ，， ， ， 故答案为：． 14. 【解析】根据函数的部分图象， 可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 故答案为：． 15. (1)． 【解析】，，，， ， ， ， ． (2)． 【解析】，， ，， ， ． 16. (1)． 【解析】在中，由余弦定理可得： ， ， 故线段的长度． (2)． 【解析】由（）知，， 在中，由正弦定理可得：， 即， 解得， 又， ， 在中，由正弦定理可得：， 即， ． 17. (1)． 【解析】设圆柱的底面半径为， 过底面圆的圆心，且， 可得， 又由圆柱的母线长为， 即圆柱的高为， 圆柱的体积． (2)答案见解析． 【解析】 是圆的直径，是圆上的一点， 可得， 又平面，且平面， ， ，平面，且， 平面． (3)． 【解析】由线段绕旋转一周所得的几何体为以为底面半径，为高的圆锥， 线段绕旋转一周所得的几何体为以为底面半径，为高的圆锥， ，， ， 所以绕旋转一周而成的封闭几何体的体积为： ， ．   18. (1)答案见解析． 【解析】 因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，，平面， 平面平面． (2)答案见解析． 【解析】 ，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， ． (3)． 【解析】 四棱锥是正四棱锥， 是正方形， 在底面上的投影是底面的中心， ， ， 又， 四棱锥的高为， 正四棱锥的体积． 19. (1)． 【解析】点是线段的中点，且， ， ． (2)． 【解析】设， ，，三点共线， ， 又， ， ， ，， ，． (3)． 【解析】， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 第页(共页) 学科网（北京）股份有限公司 $$