第53讲 抛物线 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第53讲　抛物线 基础热身 1.抛物线x2=4y的准线方程为 (　 ) A.x=1 B.x=-1 C.y=1 D.y=-1 2.已知M为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,点M到C的焦点的距离为7,到x轴的距离为5,则p= (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知抛物线y2=2px上的点M(2,y0)到抛物线焦点的距离为3,则该抛物线的方程是 (　 ) A.y2=2x B.y2=4x C.y2=-2x D.y2=-4x 4.如图是一只杯盏的轴截面,其中光滑的曲线是抛物线的一部分,已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3 cm,则该杯盏的高度为 (　 ) A. cm B. cm C. cm D. cm 5.(多选题) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E:+=1的一个焦点重合,则下列说法正确的是 (　 ) A.椭圆E的焦距是2 B.椭圆E的离心率是 C.抛物线C的准线方程是x=-1 D.抛物线C的焦点到其准线的距离是4 6.顶点在原点,焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程为　　　　　　　　.  综合提升 7.设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点,过P作l的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为,则|PF|= (　 ) A.3 B.6 C.9 D.12 8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,R为线段AB的中点,若|FA|+|FB|=5,则直线l的斜率为 (　 ) A. B.1 C.2 D.4 9.已知抛物线C:y2=2px(p>0),点M在C上,直线l:2x-y+6=0与x轴、y轴分别交于点A,B,若△AMB面积的最小值为,则p= (　 ) A.44 B.4 C.4或44 D.1或4 10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交,交点从左到右依次为A,B,C.若=,则线段BC的中点到准线的距离为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,则 (　 ) A.C的准线方程为x=-2 B.若|AF|=4,则|OA|= C.若|AF|·|BF|=4p2,则l的斜率为± D.过点A作准线的垂线,垂足为H,若x轴平分∠HFB,则|AF|=5 12.(多选题)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则 (　 ) A.直线AB的斜率为2 B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180° 13. 已知P为抛物线C:y2=4x上的一个动点,直线l:x=-1,Q为圆M:(x+3)2+(y-3)2=1上的动点,则点P到直线l的距离与|PQ|之和的最小值为　　　　.  14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(x0,6)是C上一点,其中x0>6,且|MF|=10. (1)求抛物线C的方程; (2)过点N(a,0)(a>0)的直线l与C相交于P,Q两点,若|NP|·|NQ|=|PQ|,求a的值. 15.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上的点的距离的最小值为4. (1)求p; (2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值. 能力拓展 16.(多选题)已知A(x0,y0),B,C为抛物线y2=4x上的三个点,焦点F是△ABC的重心.记直线AB,AC,BC的斜率分别为kAB,kAC,kBC,则 (　 ) A.线段BC的中点坐标为 B.直线BC的方程为4x+y0y+-6=0 C.y0∈[-2,2] D.+-= 17. 抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线l1从点P(x0,2)(点P在抛物线C内)射入,经过C上的点A反射后,再经过C上的另一点B反射,沿l2射出,且l2经过点Q,若直线OA与抛物线C的准线交于点D,则直线BD的斜率为　　　　;若|PA|=2|BD|,且PB平分∠ABQ,则p= 　　　　 参考答案 1.D　[解析] 由x2=4y可得p=2,所以焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,故选D. 2.B　[解析] 抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-,因为点M到C的焦点的距离为7,到x轴的距离为5,所以=2,所以p=4.故选B. 3.B　[解析] 由题意知p>0,则准线方程为x=-,∵点M(2,y0)到抛物线焦点的距离等于其到准线的距离,∴+2=3,∴p=2,则该抛物线的方程是y2=4x.故选B. 4.C　[解析] 以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.依题意可得A,设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),则=6p,解得p=,所以抛物线的标准方程为x2=y,可设B,代入抛物线的方程得=t,可得t=,所以该杯盏的高度为3-+1=(cm).故选C. 5.ABC　[解析] 根据椭圆E:+=1,可得a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,所以椭圆E的焦距是2c=2,故A正确;椭圆E的离心率为=,故B正确;因为椭圆E:+=1的焦点为(±1,0),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E:+=1的一个焦点重合,所以=1,即p=2,所以抛物线C的准线方程是x=-=-1,故C正确;抛物线C的焦点到其准线的距离为p=2,故D不正确.故选ABC. 6.y2=16x或x2=-8y　[解析] 直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为(4,0)和(0,-2),则所求抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).若其焦点为(4,0),则其标准方程为y2=16x;若其焦点为(0,-2),则其标准方程为x2=-8y.∴抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-8y. 7.B　[解析] 设准线l与x轴交于点H,依题意得∠QFH=,|HF|=3,则|QF|=6,又|PF|=|QP|,∠PQF=∠QFH=,所以△PQF为等边三角形,故|PF|=|QF|=6,故选B. 8.B　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2).抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-.因为R(2,1)为线段AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.由|FA|+|FB|=x1++x2+=4+p=5,解得p=1,则抛物线C的方程为y2=2x,则x1=,x2=,所以直线l的斜率k====1.故选B. 9.B　[解析] ∵直线l:2x-y+6=0与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-3,0),B(0,6),则|AB|==3.设M到直线AB的最小距离为d,∵△AMB面积的最小值为,∴×d×|AB|=,解得d=.∵点M在抛物线C上,∴可设M,则点M到直线AB的距离为=,由题意,点M到直线AB的距离存在最小值,且最小值为正数,故6->0,∴d==,解得p=4.故选B. 10.B　[解析] 由抛物线的方程可得焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,由=,可得=.由抛物线的对称性,不妨设直线和抛物线的位置关系如图所示,作BE垂直于准线,与准线交于点E,准线交x轴于点N,则|BF|=|BE|,故==,故∠ABE=.又BE∥x轴,所以∠AFN=,所以直线AB的倾斜角为,所以直线AB的方程为y=x-1.设B(x1,y1),C(x2,y2),由整理可得x2-6x+1=0,可得x1+x2=6,所以线段BC的中点的横坐标为3,则线段BC的中点到准线的距离为3-(-1)=4.故选B. 11.BC　[解析] 因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x,则其焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故A错误;若|AF|=4,则xA=3,所以=4xA=12,所以|OA|==,故B正确;设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+1,与抛物线方程y2=4x联立,消去x可得y2-4my-4=0,可得y1+y2=4m,y1y2=-4,由抛物线的定义可得|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=(my1+2)(my2+2)=16,即m2y1y2+2m(y1+y2)+4=16,即-4m2+8m2+4=16,解得m=±,则直线l的斜率为±,故C正确;若x轴平分∠HFB,则∠OFH=∠OFB,又AH∥x轴,所以∠AHF=∠OFH=∠OFB=∠HAF,所以|HF|=|AF|,所以=xF,即xA=3,所以|AF|=xA+1=4,故D错误.故选BC. 12.ACD　[解析] 由题意,易得A,所以kAB=kAF==2,故选项A正确.由题意知,点B在第四象限,设B(x0,-),则kAB=kBF==2,即2x0+-p=0,解得=(负值舍去),所以x0=,则B,所以|OB|==≠|OF|,故选项B错误.|AB|=xA+xB+p=++p=p>2p=4|OF|,故选项C正确.因为·=·=>0且∠OAM≠0°,所以0°<∠OAM<90°,因为·=·=>0且∠OBM≠0°,所以0°<∠OBM<90°,所以∠OAM+∠OBM<180°,故选项D正确.故选ACD. 13.4　[解析] 如图,因为圆M:(x+3)2+(y-3)2=1,所以M(-3,3),半径r=1,抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线为直线l:x=-1,则点P到直线l的距离d=|PF|,所以点P到直线l的距离与|PQ|之和为|PF|+|PQ|,所以当M,Q,P,F四点共线且P,Q在线段MF上时,|PF|+|PQ|取得最小值,其最小值为|FM|-1=-1=4. 14.解:(1)由抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(x0,6)是C上一点,且|MF|=10, 可得解得或因为x0>6,所以则抛物线C的方程为y2=4x. (2)由过点N(a,0)(a>0)的直线l与C相交于P,Q两点, 知直线l的斜率不为0, 不妨设l的方程为x=my+a,P(x1,y1),Q(x2,y2). 由消去x并整理得y2-4my-4a=0, 由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4a,故|PQ|==4, |NP|=|y1|,|NQ|=|y2|, 可得|NP|·|NQ|=(1+m2)|y1y2|=4a(1+m2). 因为|NP|·|NQ|=|PQ|, 所以4a(1+m2)=4, 整理得(a-1)(am2+m2+a)=0. 因为am2+m2+a>0,所以a-1=0,故a=1. 15.解:(1)由题知点F与圆M:x2+(y+4)2=1上的点的距离的最小值为+3=4,所以p=2. (2)由(1)知抛物线C的方程为y=x2.设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由y=x2,得y'=x, 则切线PA的方程为y=x1(x-x1)+y1=x1x-=x1x-y1,同理得切线PB的方程为y=x2x-y2,且++8y0+15=0. 因为切线PA,PB都过点P(x0,y0), 所以故直线AB的方程为y0=x0x-y,即y=x0x-y0.由得x2-2x0x+4y0=0,则Δ=4-16y0>0,所以x1+x2=2x0,x1x2=4y0,则|AB|=·=·,点P到直线AB的距离d=, 所以S△PAB=|AB|·d=|-4y0|·=(-4y0=(--12y0-15. 因为y0∈[-5,-3],所以当y0=-5时,S△PAB取得最大值,最大值为20. 16.ABD　[解析] 由题意知A(x0,y0),F(1,0),设B(x1,y1),C(x2,y2).因为F为△ABC的重心,所以 设线段BC的中点为M(xM,yM),则=(xM-x0,yM-y0),=(1-x0,-y0),由=,可得即又因为A在抛物线上,所以=4x0,所以xM=-=,即M,故A正确.kBC====,故直线BC的方程为y+=,即y0y+=-4x+,即4x+y0y+-6=0,故B正确.因为xM=->0,所以<12,所以y0∈(-2,2),故C错误.====,同理=,=,所以+-=+-=,故D正确.故选ABD. 17.0　2　[解析] 如图,依题意,直线AB过抛物线C的焦点F.设直线AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),由 得y2-2pmy-p2=0,则y1y2=-p2,x1x2=.因为y1=2,所以A,B,则直线OA的方程为y=px,所以直线OA与抛物线C的准线l的交点为D,所以直线BD的斜率为0.因为PB平分∠ABQ,所以∠ABP=∠PBQ=∠APB,所以|AB|=|PA|.因为|PA|=2|BD|,所以|AB|=2|DB|,即x1+x2+p=2|x2-xD|,所以++p=2,可得p=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$