第52讲 双曲线 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第52讲　双曲线 基础热身 1.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C上有一点P,若|PF1|=5,则|PF2|= (　 ) A.13 B.11 C.1或11 D.11或13 2.双曲线-=1(a≠0)的渐近线方程为 (　 ) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线相互垂直,焦距为12,则该双曲线的虚轴长为(　 ) A.6 B.6 C.9 D.12 4.已知动点M(x,y)满足-=4,则动点M的轨迹是 (　 ) A.一条射线 B.一条直线 C.椭圆 D.双曲线的一支 5.(多选题)若实数x,y满足-y2=1,则 (　 ) A.|x|≥ B.x2+y2≥2 C.< D.|x-y|≤ 6.已知直线l:x-y-2=0过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与C的一条渐近线平行,则C的实轴长为　　　　.  综合提升 7.已知双曲线C:x2-=1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为,直线l与C相交于A,B两点,若线段AB的中点为N(1,2),则直线l的斜率为 (　 ) A.-1 B.1 C. D.2 8.已知双曲线x2-=1(b>0),若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线,则该双曲线的离心率e的取值范围为(　 ) A. B. C.(1,) D.(1,)∪ 9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点重合,过F作与一条渐近线平行的直线l,交另一条渐近线于点A,交抛物线y2=8x的准线于点B,若△AOB(O为坐标原点)的面积为3,则双曲线的方程为 (　 ) A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1 10.(多选题)已知曲线C的方程为-=1,则下列说法正确的是 (　 ) A.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则m>-n>0 B.曲线C可能是圆 C.若mn<0,则曲线C一定是双曲线 D.若C为双曲线,则其渐近线方程为y=±x 11.(多选题)已知点F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线C上位于第一象限内的一点,若·=0,||=2||,则下列结论正确的是 (　 ) A.△PF1F2的面积为a2 B.双曲线C的离心率为 C.双曲线C的渐近线方程为x±2y=0 D.若双曲线C的焦距为2,则双曲线C的方程为x2-=1 12.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,存在过点F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点,且△ABF1为正三角形.试写出一个满足上述条件的双曲线C的方程　　　　　　.  13.已知点P在双曲线-=1的右支上,A(0,2),动点B满足|AB|=2,F是双曲线的右焦点,则|PF|-|PB|的最大值为　　　　.  14.已知双曲线-=1(a>0,b>0),直线l交双曲线的两条渐近线于A,B两点,M为线段AB的中点,设直线l,OM(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,若k1·k2=,则该双曲线的渐近线方程为　　　　.  15.已知双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,实轴长为2. (1)求双曲线C的方程; (2)过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,求该直线的斜率k的取值范围. 能力拓展 16.(多选题)双曲线具有如下光学性质:如图,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点F1.若双曲线的方程为-=1,则下列结论正确的是 (　 ) A.若m⊥n,则|PF1|·|PF2|=16 B.当n过Q(7,5)时,光由F2→P→Q所经过的路程为13 C.若射线n所在直线的斜率为k,则|k|∈ D.若T(1,0),直线PT与双曲线相切,则|PF2|=12 17.双曲线C1:-=1(a>b>0)和椭圆C2:+=1的右焦点分别为F,F',A(-a,0),B(a,0),P,Q分别为C1,C2上第一象限内不同于B的点,若+=λ(+)(λ∈R),=,则四条直线PA,PB,QA,QB的斜率之和为 (　 ) A.1 B.0 C. -1 D.不确 参考答案 1.B　[解析] 由双曲线C的方程知a=3,根据双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=|5-|PF2||=2a=6,解得|PF2|=-1(舍)或|PF2|=11.故选B. 2.C　[解析] 双曲线-=1(a≠0)的渐近线的斜率k=±=±,则渐近线方程为y=±x.故选C. 3.B　[解析] 双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,由题意可知-·=-1,可得b=a,所以c==b=6,则b=3,因此该双曲线的虚轴长为2b=6.故选B. 4.A　[解析] 设F1(-2,0),F2(2,0),由题意知动点M满足|MF1|-|MF2|=4=|F1F2|,故动点M的轨迹是一条射线,故选A. 5.AB　[解析] 方法一:对于选项A,x2=2+2y2≥2,故|x|≥,故A正确;对于选项B,x2+y2=2+3y2≥2,故B正确;对于选项C,取x=2,y=1,满足-y2=1,此时=,故C错误;对于选项D,取x=,y=-,满足-y2=1,此时|x-y|=2>,故D错误.故选AB. 方法二:易知点(x,y)在双曲线-y2=1上,根据双曲线上点的横坐标的范围可知|x|≥,故A正确;x2+y2表示双曲线上一点到原点的距离的平方,双曲线的实半轴长为,故x2+y2≥2,故B正确;表示双曲线上一点与原点所在直线的斜率,双曲线的渐近线的斜率为±=±,故-<<,故C错误;对于D,取x=,y=-,满足-y2=1,此时|x-y|=2>,故D错误.故选AB. 6.2　[解析] 直线l:x-y-2=0与x轴的交点为(2,0),斜率为,由题意知可得所以双曲线C的实轴长为2a=2. 7.B　[解析] 因为双曲线C的标准方程为x2-=1(b>0),所以它的一个焦点为(c,0),一条渐近线的方程为bx-y=0,由题意知=,化简得b2c2=2(b2+1),即b2(b2+1)=2(b2+1),解得b2=2,所以双曲线C的标准方程为x2-=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以-=1①,-=1②,由①-②得(-)-(-)=0,化简得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0③.因为线段AB的中点为N(1,2),所以x1+x2=2,y1+y2=4,代入③,整理得x1-x2=y1-y2,显然x1≠x2,所以直线l的斜率k==1,故选B. 8.D　[解析] 由题意知切钱的斜率存在,设切线方程是y-2=k(x-2),由得(b2-k2)x2+4k(k-1)x-4(k-1)2-b2=0,显然当b2-k2=0时,直线不是双曲线的切线,所以k≠±b.当b2-k2≠0时,由Δ=0得16k2(k-1)2+4(b2-k2)[4(k-1)2+b2]=0,整理得3k2-8k+4+b2=0,此方程有两个不等实根,所以Δ1=64-12(4+b2)>0,得b2<,则c2=1+b2<(c为双曲线的半焦距),所以e==c<,又e>1,所以1<e<.当点(2,2)在双曲线的渐近线上时,b=1,e=,此时过(2,2)不能作双曲线x2-y2=1的两条切线,故e≠.综上,e的取值范围是(1,)∪.故选D. 9.D　[解析] 由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),可得双曲线的右焦点为F(2,0),即c=2,则a2+b2=4①.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,不妨设直线l的方程为y=(x-2),由解得 即A.由解得即B,可得|AB|==3,又O到直线l的距离d=,则△AOB的面积为d·|AB|=··3==3,则b=a②.由①②可得a=1,b=,则双曲线的方程为x2-=1. 10.BD　[解析] 对于A,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则-n>m>0,故A错误;对于B,当m=-n>0时,曲线C是圆,故B正确;对于C,当m=-n=1时,满足mn<0,但曲线C的方程为x2+y2=1,曲线C是圆,故C错误;对于D,若曲线C为双曲线,则mn>0,当时,-=1表示焦点在y轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±x,当时,-=1表示焦点在x轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±x,故D正确.故选BD. 11.BD　[解析] 对于A,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a,由·=0,得∠F1PF2=90°,∴△PF1F2的面积为|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2,故A错误;对于B,在Rt△F1PF2中,由勾股定理得(2a)2+(4a)2=(2c)2,即5a2=c2,∴e===,故B正确;对于C,∵b2=c2-a2=4a2,∴=4,即=2,∴双曲线C的渐近线方程为2x±y=0,故C错误;对于D,由双曲线C的焦距为2,得c=,∴a2=1,b2=4,∴双曲线C的方程为x2-=1,故D正确.故选BD. 12.x2-=1(答案不唯一)　[解析] 设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c,如图.设正三角形ABF1的边长为m,根据双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a,故|AF1|+|BF1|-|AF2|-|BF2|=|AF1|+|BF1|-|AB|=m=4a,则|AF2|=|AF1|-2a=m-2a=2a,|BF2|=|BF1|-2a=m-2a=2a,故F2为AB的中点,所以AB⊥F1F2.在Rt△AF1F2中,|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2,即16a2=4a2+4c2,即c2=3a2,取a=1,则c=,b=,此时双曲线C的方程为x2-=1. 13.-2　[解析] 动点B满足|AB|=2,则点B的轨迹是以A为圆心,2为半径的圆.设双曲线的左焦点为F1,则F1(-3,0).由题知|PF1|-|PF|=4,即|PF|=|PF1|-4,则|PF|-|PA|=|PF1|-|PA|-4≤|AF1|-4=-4,当且仅当A,P,F1三点共线时,等号成立,所以|PF|-|PB|的最大值为-2. 14.y=±x　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,可得M.设A(x1,y1),B(x2,y2)分别为双曲线的渐近线y=-x,y=x上的点,则y1=-x1,y2=x2,即=,=,所以=.又k1=,k2==,所以k1k2=×===,所以=,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x. 15.解:(1)由双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,实轴长为2,可设双曲线C的方程为-=1(a>0),则2a=2,即a=1,则双曲线C的方程为x2-y2=1. (2)由过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,知该直线的斜率一定存在,且该直线不和双曲线的渐近线平行.设该直线的方程为y=kx+1,k≠±1,由整理得(1-k2)x2-2kx-2=0, 需满足Δ=4k2+8(1-k2)>0,<0,解得-1<k<1, 即该直线的斜率k的取值范围为(-1,1). 16.CD　[解析] 对于A,若m⊥n,则∠F1PF2=90°.因为P在双曲线的右支上,所以|F1P|-|F2P|=6.由勾股定理得|F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2,所以|PF1|·|PF2|===32,故A错误.对于B,光由F2→P→Q所经过的路程为|F2P|+|PQ|=|F1P|-2a+|PQ|=|F1P|+|PQ|-2a=|F1Q|-2a=-6=7,故B错误.对于C,双曲线-=1的渐近线的方程为y=±x.设双曲线的右顶点为B.当射线m与同向共线时,射线n的方向与的方向相同,此时k=0,因为P在双曲线的右支上,所以|k|<,故|k|∈,故C正确.对于D,不妨设直线PT的方程为y=k0(x-1)(k0>0).由 消去y整理得(16-9)x2+18x-9-144=0.由Δ=(18)2-4(16-9)(-9-144)=0,可得k0=,代入(16-9)x2+18x-9-144=0,得-2x2+36x-162=0,解得x=9.由P在直线y=(x-1)上,得y=×(9-1)=8,所以P(9,8),所以|PF2|==12,故D正确.故选CD. 17. B　[解析] 设O为坐标原点,则+=2,+=2,由+=λ(+),得=λ,所以O,P,Q三点共线.因为=,所以PF∥QF',且|PF|=|QF'|,则λ====,所以=3,即a2=2b2.设P(x1,y1),Q(x2,y2),分别代入双曲线C1和椭圆C2的方程中,则即所以kPA+kPB=+==,kQA+kQB=+==-.因为O,P,Q三点共线,所以=,故kPA+kPB+kQA+kQB=0.故选B 学科网（北京）股份有限公司 $$