第51讲 直线与椭圆的位置关系 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第2课时　直线与椭圆的位置关系 基础热身 1.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线l与椭圆的位置关系是 (　 ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 2.已知椭圆+=1(b>0),过原点O且斜率为的直线与椭圆交于C,D两点,若|CD|=4,则椭圆的方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是 (　 ) A.3 B. C.2 D. 4.(多选题)已知椭圆C:+=1,则 (　 ) A.椭圆C的焦点坐标为(-1,0),(1,0) B.椭圆C的长轴长为4 C.椭圆C的离心率为 D.直线2x-y-3=0与椭圆C无交点 5.椭圆x2+4y2=16与直线y=x+1相交所得的弦长为　　　　.  6.斜率为k的直线l与椭圆+=1相交于A,B两点,点M(1,1)为线段AB的中点,则k=　　　　.  综合提升 7.已知2b=a+c,则直线ax+by+c=0与椭圆+=1的位置关系是 (　 ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情况均有可能 8.已知P(2,-2)是离心率为的椭圆+=1(a>b>0)外一点,经过点P的光线被y轴反射后,所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,则此条切线的斜率是 (　 ) A.- B.- C.1 D. 9.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)(x0>0,y0>0)为椭圆上一点,直线PF1,PF2分别交椭圆于另一点M,N,则当直线MN的斜率为-时,= (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 10.(多选题)已知直线l:y=x+m与椭圆C:+=1,则下列结论正确的是 (　 ) A.若C与l至少有一个公共点,则m≤2 B.若C与l有两个公共点,则|m|<2 C.若m=3,则C上到l的距离为5的点只有一个 D.若m=-,则C上到l的距离为1的点有三个 11.(多选题)已知椭圆的方程为+=1,斜率为k的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是 (　 ) A.直线AB与OM垂直 B.若点M的坐标为(1,1),则直线AB的方程为2x+y-3=0 C.若直线AB的方程为y=x+1,则点M的坐标为 D.若直线AB的方程为y=x+2,则|AB|= 12.已知A,B为椭圆+=1上两个不同的点,F为右焦点,|AF|+|BF|=4,若线段AB的垂直平分线交x轴于点T,则|FT|= 　　　　.  13.已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　.  14.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,C的两个顶点和一个焦点围成等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程; (2)直线y=kx+2(k>0)与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为,求k的值. 15.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF2|=. (1)求椭圆C的方程; (2)过点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,M为线段AB的中点,若椭圆C上存在点N,满足=3(O为坐标原点),求直线l的方程. 能力拓展 16.(多选题)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:+y2=1,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,直线l的方程为x+y-3=0,M为椭圆C的蒙日圆上的动点,MA,MB分别与椭圆相切于A,B两点,O为坐标原点,下列说法正确的是 (　 ) A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3 B.记点A到直线l的距离为d,则d-|AF2|的最小值为 C.椭圆C的蒙日圆的内接矩形的面积的最大值为6 D.△AOB的面积的最小值为,最大值为 17.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,且|A1F|=3,|A2F|=1. (1)求椭圆C的方程及离心率; (2)设点P是椭圆C上一动点(不与顶点重合),直线A2P交y轴于点Q,若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的2倍,求直线A2P的方程 参考答案 1.C　[解析] 由消去y整理得5x2-24x+32=0,因为Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0,所以直线l与椭圆相离.故选C. 2.D　[解析] 设点C的坐标为(m,n),则D(-m,-n),由弦长公式得|CD|=·2|m|=4,∴|m|=1,由两点间的距离公式得|CD|==2=4,∴|n|=,将点C的坐标代入椭圆方程得+=1,解得b2=,∴椭圆的方程为+=1.故选D. 3.D　[解析] 设与直线x+2y-=0平行且与椭圆+=1相切的直线方程为x+2y+m=0,由消去x整理得8y2+4my-16+m2=0,即2y2+my-4+=0,由Δ=m2-8=0,解得m=±4.当m=4时,直线x+2y+m=0与x+2y-=0的距离最大,最大距离为=,则所求最大距离为.故选D. 4.BC　[解析] 易知椭圆C的焦点在y轴上,焦点坐标为(0,-1),(0,1),故A错误;椭圆C的长轴长为4,故B正确;椭圆C的离心率为,故C正确;由消去y整理得16x2-36x+15=0,因为Δ=362-4×16×15=336>0,所以直线2x-y-3=0与椭圆C有两个交点,故D错误.故选BC. 5.　[解析] 由消去y整理得x2+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6,∴|MN|=|x1-x2|===. 6.- 　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减得+=0,由题意知,x1+x2=2,y1+y2=2,则k==-. 7.A　[解析] 因为2b=a+c,所以ax+by+c=0可化为a(2x+y)+(y+2)c=0,所以直线ax+by+c=0过定点(1,-2),又点(1,-2)在椭圆+=1内部,所以直线ax+by+c=0与椭圆+=1的位置关系是相交.故选A. 8.D　[解析] 设过点P的直线的斜率为k,则过点P的直线方程为y+2=k(x-2),即y=kx-2k-2,所以反射光线所在直线的方程为y=-kx-2k-2,由e==,c2=a2-b2,得b2=a2,由消去y整理得(3+4k2)x2+(16k2+16k)x+16k2+16+32k-3a2=0,令Δ=(16k2+16k)2-4(3+4k2)(16k2+16+32k-3a2)=0,整理得(12a2-48)k2-96k-48+9a2=0.当Δ1=0时,经检验不符合题意;当a2=4时,k只有一个解,符合题意,解得k=-.综上,此条切线的斜率是-k=.故选D. 9.D　[解析] 由已知得F1(-2,0),F2(2,0),易知直线PF1的斜率存在,设直线PF1的方程为y=k1(x+2),与椭圆方程联立得(5+1)x2+20x+20-5=0,由根与系数的关系得xM+x0==,所以xM=-x0=-,所以yM=(xM+2)=-,同理得xN=,yN=,所以kMN====-=-,所以=5.故选D. 10.BCD　[解析] 由消去y得4x2+6mx+3m2-6=0,Δ=12(8-m2).令Δ=12(8-m2)≥0,得|m|≤2,故A错误;令Δ=12(8-m2)>0,得|m|<2,故B正确;令直线l与椭圆C相切,则Δ=12(8-m2)=0,即m=±2,直线y=x+3与y=x-2的距离d==5,故C正确;易知直线y=x-与y=x-2,y=x的距离均为1,所以C上到l的距离为1的点有三个,故D正确.故选BCD. 11.BD　[解析] 对于A,根据椭圆的中点弦的性质知,kAB·kOM=-=-2≠-1,故A不正确;对于B,kOM=1,由kAB·kOM=-2,得kAB=-2,所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故B正确;对于C,kAB=1,由kAB·kOM=-2,得kOM=-2,故C不正确;对于D,由整理得3x2+4x=0,解得x=0或x=-,所以|AB|=×=,故D正确.故选BD. 12.　[解析] 因为椭圆方程为+=1,所以a2=9,b2=5,c2=4,所以离心率e=,设A(x1,y1),B(x2,y2),T(x0,0),因为F为右焦点,|AF|+|BF|=4,所以由焦半径公式得+=4,整理得x1+x2=3,即AB的中点坐标为.kAB=,则AB的垂直平分线的斜率为-,由点A,B在椭圆上,得+=1,+=1,两式作差化简得-=(-).线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y=-+,将T(x0,0)的坐标代入,得x0-===-=-,即x0=,则|FT|=2-=. 13.13　[解析] 不妨设F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,E在第一象限,如图,连接AF1,DF2,EF2.因为椭圆的离心率e==,所以a=2c,则b=c,所以|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,可知△AF1F2为等边三角形,所以直线DE为AF2的中垂线,则△ADE的周长等于△F2DE的周长,由椭圆的定义知△F2DE的周长为4a.易知直线DE的方程为y=(x+c),由消去y,整理得13x2+8cx-32c2=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,由|DE|==6,可得c=,所以4a=8c=13. 14.解:(1)由题知2a=4,得a=2,要满足两个顶点和一个焦点围成等边三角形,则两顶点只能在短轴上,则a=2b=2,∴b=1,故椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),将椭圆方程与直线方程联立, 化简得(1+4k2)x2+16kx+12=0,其中Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0,解得k2>, 且x1+x2=-,x1x2=, |AB|=×=×=×. 原点O到直线AB的距离d=,则S△AOB=|AB|·d==.化简得4k4-23k2+19=0,解得k2=或k2=1,又k>0且k2>,所以k=或k=1. 15.解:(1)因为点P在椭圆C上,且|PF2|=, 所以+=1,=,可得c=1,又c2=a2-b2,所以a=,b=1, 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)由(1)可知F2(1,0),设直线l的方程为x=ky+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线l与椭圆C的方程得(k2+2)y2+2ky-1=0,则y1+y2=-,则x1+x2=k(y1+y2)+2=,所以线段AB的中点M的坐标为,所以=3=3, 所以点N的坐标为, 将点N的坐标代入椭圆的方程得+=1,解得k2=7(负值舍去),即k=±, 所以直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0. 16.ACD　[解析] 对于A,当直线MA,MB一条斜率为0,另一条斜率不存在时,M(±,±1);当直线MA,MB的斜率均存在时,设M(x0,y0),过点M的椭圆的切线方程为y=k(x-x0)+y0,由得(1+2k2)x2-4k(kx0-y0)x+2(kx0-y0)2-2=0,由Δ=0,得(-2)k2-2x0y0k+-1=0,∴kMA·kMB=,又MA⊥MB,∴kMA·kMB=-1,即=-1,∴+=3,∴点M的轨迹方程为x2+y2=3.经检验,M(±,±1)满足x2+y2=3,∴椭圆C的蒙日圆的方程为x2+y2=3,故A正确.对于B,连接AF1,∵A为椭圆C上的点,∴|AF1|+|AF2|=2a=2,∴d-|AF2|=d-(2-|AF1|)=d+|AF1|-2,∵d+|AF1|的最小值为点F1到直线l的距离,F1(-1,0),∴(d+|AF1|)min==,∴(d-|AF2|)min=-2,故B错误.对于C,设内接矩形的长为m,宽为n,∵蒙日圆的半径r=,∴m2+n2=(2)2,∴mn≤=6(当且仅当m=n=时取等号),∴此矩形面积的最大值为6,故C正确.对于D,设A(x1,y1),B(x2,y2),当点A位于椭圆的上半部分时,y1=,∴y'1=-,∴在点A处的切线斜率k=-=-,∴切线方程为y-y1=-(x-x1),即x1x+2y1y=+2=2,∴在点A处的切线方程为+y1y=1,同理当点A位于椭圆的下半部分时,切线方程为+y1y=1,∴在点A处的切线方程为+y1y=1,同理可知,在点B处的切线方程为+y2y=1,设M(x0,y0),则故A,B的坐标满足方程+y0y=1,即切点弦AB所在直线方程为+y0y=1.当y0=0时,M(±,0),此时AB所在直线的方程为x=±,∴|AB|=2×=,∴S△AOB=××=;当y0≠0时,由得(2+)x2-4x0x+4-4=0,由A知+=3,∴(6-)x2-4x0x+4-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴|AB|=·=·,又原点O到直线AB的距离d==,∴S△AOB=|AB|·d===2=2,令=t,∵∈[0,3),∴6-∈(3,6],则t∈,∴当t∈时,ymax=-2×+=,ymin=-2×+=, ∴(S△AOB)max=2×=,(S△AOB)min=2×=.综上所述,△AOB的面积的最小值为,最大值为,故D正确.故选ACD. 17.解:(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),则解得故b2=a2-c2=3, 所以椭圆C的方程为+=1,其离心率e==. (2) 由(1)可得|A2F|=|A1A2|,所以=,又=2,所以=,所以|PQ|=|PA2|.设P(x0,y0),则当x0<0时,=,此时点P与A1重合,不合题意;当x0>0时,可得=,故x0=,代入椭圆方程,得P,所以=±,所以直线A2P的方程为y=±(x-2) 学科网（北京）股份有限公司 $$