第51讲 椭圆及其性质 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第51讲　椭圆 第1课时　椭圆及其性质 基础热身 1.若椭圆的对称轴是坐标轴,长轴长为10,焦距为6,则椭圆的方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1或+=1 D.以上都不对 2.椭圆+y2=1(a>1)的离心率为,则a= (　 ) A. B. C. D.2 3.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是 (　 ) A.+=1(x≠0) B.+=1(x≠0) C.+=1(x≠0) D.+=1(x≠0) 4.已知椭圆+=1上的点M到左焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为 (　 ) A.8 B.2 C.4 D. 5.著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒发现了行星运动三大定律,其中开普勒第一定律又称为轨道定律,即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C,在地球绕太阳运动的过程中,若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为λ,则C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 6.写出一个焦距为3的椭圆的标准方程:　　　　　　.  综合提升 7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2均在x轴上,C的面积为2π,过点F1的直线交C于A,B两点,且△ABF2的周长为8,则C的标准方程为 (　 ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 8.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F(-,0)为其左焦点,过点F且垂直于x轴的直线与椭圆C的一个交点为A,若tan∠AOF=(O为坐标原点),则椭圆C的长轴长为 (　 ) A.6 B.12 C.4 D.8 9.直线x-2y+2=0经过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若=3,则该椭圆的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 10.设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 11.(多选题)点F1,F2为椭圆C的两个焦点,若椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,则椭圆C的方程可以是 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 12.(多选题)椭圆曲线y2+ay=x3+bx2+cx+d是代数几何中一类重要的研究对象.下列关于椭圆曲线W:y2+2y=x3-4x2+5x-3的结论正确的有 (　 ) A.曲线W关于直线x=-1对称 B.曲线W关于直线y=-1对称 C.曲线W上的点的横坐标的取值范围为[1,+∞) D.曲线W上的点的横坐标的取值范围为{1}∪[2,+∞) 13.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与椭圆的一个交点为M,若MF垂直于x轴,则该椭圆的离心率为　　　　　.  14.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,焦距为2,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若点P为C上的任意一点,则+的最小值为　　　　.  15.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆的离心率的取值范围; (2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 能力拓展 16.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P是C与圆x2+y2=c2的一个交点,∠PF1F2的平分线交PF2于点Q,若|PQ|=|QF2|,则椭圆C的离心率为 (　 ) A. B.-1 C. D.-1 17.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切,设图中球O1,球O2的半径分别为4和2,球心距离|O1O2|=2,截面分别与球O1,球O2相切于点E,F(E,F是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率为　　　　.  参考答案 第1课时　椭圆及其性质 1.C　[解析] 由题得a=5,c=3,则b==4,所以椭圆的方程为+=1或+=1.故选C. 2.A　[解析] ∵椭圆的离心率为,∴=,∴a=,故选A. 3.B　[解析] ∵△ABC的周长为20,且|BC|=8,∴|AB|+|AC|=20-8=12,∵|AB|+|AC|=12>|BC|,∴点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆,a=6,c=4,∴b2=20,∴顶点A的轨迹方程是+=1(x≠0).故选B. 4.C　[解析] 设椭圆的右焦点为F2,连接MF2,由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a=10,又|MF1|=2,所以|MF2|=8,又N为MF1的中点,所以ON为△F1MF2的中位线,所以|ON|= |MF2|=4.故选C. 5.C　[解析] 设椭圆C的焦距为2c,长轴长为2a,根据题意可得地球与太阳的最远距离为a+c,最近距离为a-c,则=λ,解得=,即C的离心率为.故选C. 6.+=1(答案不唯一)　[解析] 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由题得c=,所以a2-b2=,则椭圆的标准方程可以为+=1(答案不唯一). 7.C　[解析] 因为△ABF2的周长为8,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8,解得a=2.由题意可得abπ=2π,解得b=.因为椭圆的焦点在x轴上,所以C的标准方程为+=1.故选C. 8.C　[解析] 因为椭圆C的左焦点为F(-,0),所以c=.因为AF垂直于x轴,点A在椭圆C上,所以可设A(-c,y1),所以+=1,又a2=b2+c2,所以|y1|=.因为tan∠AOF=,所以=,可得a=2,b=3,故2a=4.故选C. 9.C　[解析] 在直线x-2y+2=0中,令y=0,解得x=-2,令x=0,解得y=1, 故F(-2,0),M(0,1), 则 =(2,1),设A(x0,y0),则 =(-x0,1-y0),因为=3,所以 解得 则A.设椭圆的右焦点为F',则F'(2,0),因为点A在椭圆上,所以2a=|AF|+|AF'|=+=,解得a=,故该椭圆的离心率e===.故选C. 10.C　[解析] 设P(x0,y0),易知B(0,b),由+=1,得=a2,则|PB|2=+(y0-b)2=+-2by0+b2=a2+-2by0+b2=--2by0+a2+b2, y0∈[-b,b].由题知,当y0=-b时,|PB|2取得最大值,所以由二次函数图象的对称性知-≤-b,故b2≥c2,即a2-c2≥c2,所以≤,即椭圆C的离心率e∈,故选C. 11.AC　[解析] 结合选项可设椭圆的方程为+=1(a>b>0),椭圆的上顶点为B,连接BF1,BF2,要使椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,则需∠F1BF2≥90°,所以|BF1|2+|BF2|2≤|F1F2|2,即a2+a2≤4c2,又c2=a2-b2,所以2a2≤4a2-4b2,即a2≥2b2,结合选项可知A,C正确,B,D错误.故选AC. 12.BD　[解析] 由y2+2y=x3-4x2+5x-3,得(y+1)2=x3-4x2+5x-2=(x-1)2(x-2).对于A,因为(x-2-1)2(x-2-2)≠(-x-1)2(-x-2),所以曲线W不关于直线x=-1对称,故A不正确.对于B,设点(x0,y0)在曲线W上,则+2y0=-4+5x0-3,因为(-2-y0)2+2(-2-y0)-(-4+5x0-3)=4++4y0-4-2y0--2y0=0,所以点(x0,-2-y0)在曲线W上,所以曲线W关于直线y=-1对称,故B正确.对于C,D,由(y+1)2≥0,得(x-1)2(x-2)≥0,解得x=1或x≥2,故C不正确,D正确.故选BD. 13.-1+　[解析] 由题得MF⊥x轴,不妨设点M在第一象限,因为M在抛物线上,所以M,又M在椭圆上,所以M,所以=c且p=,所以2ac=b2=a2-c2,所以e2+2e-1=0,解得e=-1+或e=-1-(舍去),所以e=-1+. 14.1　[解析] 根据题意得b=1,c=,故a=2,则|PF1|+|PF2|=2a=4. 方法一:+=(|PF1|+|PF2|)=≥1,当且仅当|PF1|=|PF2|,即P为椭圆的短轴端点时取等号,∴+的最小值为1. 方法二:设|PF1|=t,则|PF2|=4-t,∴+===.令f(t)=,∵a-c≤|PF1|≤a+c,∴2-≤|PF1|≤2+,即2-≤t≤2+, ∴1≤-(t-2)2+4≤4,∴1≤≤4, ∴+的最小值为1. 15.解:(1)不妨设椭圆的方程为+=1(a>b>0),焦距为2c. 在△F1PF2中,由余弦定理得cos 60°= = , 即=, 所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2, 所以3|PF1|·|PF2|=4b2,所以|PF1|·|PF2|=. 因为|PF1|·|PF2|≤=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,所以3a2≥4(a2-c2),所以≥,所以e≥.又因为0<e<1,所以椭圆的离心率的取值范围是. (2)证明:由(1)可知|PF1|·|PF2|=b2, 所以=|PF1|·|PF2|sin 60°=×b2×=b2,所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 16.D　[解析] ∵F1Q 是∠PF1F2 的平分线,∴==,∴|PF1|=|F1F2|=c.∵点P在圆x2+y2=c2上,∴△PF1F2 是直角三角形,又|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF2|=2a-c,∴=+,即(2c)2=c2+(2a-c)2 ,整理得2a2-2ac-c2=0,∴e2+2e-2=0,解得e=-1 或e=--1 (舍).故选D. 17.　[解析] 易知O1O2与EF相交,设O1O2∩EF=D,连接O1E,O2F,由题意得解得|O2D|=,|O1D|=,所以|DE|==,|DF|==,所以2c=+=2,即c=1.设直线EF与圆锥侧面的一个交点为A(靠近点E),点A所在的母线与球O1,O2分别相切于B,C两点,其截面图如图所示,则|AB|=|AE|,|AC|=|AF|,两式相加得|AB|+|AC|=|AE|+|AF|=a-c+a+c=2a,即|BC|=2a,连接O1B,O2C,过O2作O2G⊥O1B,垂足为G,则四边形BGO2C为矩形,所以2a=|BC|==6,即a=3,所以椭圆的离心率为=. 学科网（北京）股份有限公司 $$