1.1探索勾股定理同步练习2024-2025学年北师大版（2024）八年级数学 上册

第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理 七年级数学上册北师大版（2024） 原卷版 知识梳理 一、直角三角形 常用符号“RtΔABC”来表示直角三角形ABC. 直角三角形的两个锐角互余 二、勾股定理 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名. 1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 2.表示方法：如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么； 几何语言: 在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理得: 或BC²+AC²=AB² 例1.在Rt△ABC 中,∠C=90°. (1)若a=5,b=12,则c = ； (2)若c=17,b=15,则a= _； (3)若a=9,c=15,则斜边c上的高为 . 三、勾股定理的验证 例2.为了计算图1中大正方形的面积，我们可以对这个大正方形适当割补后得到图2、图3,请分别利用图2、图3进行验证勾股定理. 如图2所示 证明:∵， 又∵， ∴， ∴， ∴ 如图3所示 证明:∵， 又∵， ∴， ∴， ∴ 四、勾股定理应用的常见类型: (1)已知直角三角形的任意两边求第三边; (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系; (3)证明包含平方关系的几何问题; (4)求解几何体表面上的最短路程问题; (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 例3.在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在公路上疾驰,他用红外测距仪测得汽车与他相距400m，过了10s，测得汽车与他相距500m,你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗? 分析:根据题意，可以画出右图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置,由于王叔叔距离公路400m，因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了. 五、数学思想:分类讨论思想、方程思想 1.分类讨论思想 例4.在Rt△ABC中，若a=3,c=5，则b²= . 2.方程思想 例5.已知△ABC 中,∠C=90°,一条直角边为4cm,斜边比另一条直角边大1cm,求△ABC 的周长. 六、勾股数 1.满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数. 2.勾股数都是正整数;勾股数的正整数倍也是勾股数，即如果 a、b、c是一组勾股数，那么 ak，bk，ck(k是正整数)也是勾股数. 3.常见勾股数（3至97之内的勾股数表）: 例6.一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,则斜边为 . 同步练习 1.在 Rt△ABC 中,∠C =90°,AB=10,AC=6,则BC等于( ) A.4 B.6 C.8 D.16 2.下列说法正确的是( ) A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a²+b²=c²; B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a²+b²=c²; C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a²+b²=c²; D.若a、b、c是 Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a²+b²=c²; 3.下列四组数中，是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.0.3，0.4，0.5 C.，， D.3²，4²，5² 4.下面图形能够验证勾股定理的有( )个 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.如图所示，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分)，得到长为c的正方形，则下列等式成立的是( ) A.a+b=c B.a²+b²=c² C.c²=(a+b)(a-b) D. c²=(a+b)²-4ab 6.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm²，则斜边长为( ) A.80cm B.30 cm C.90cm D.120cm 7.直角三角形的两条直角边分别12cm和16cm，斜边为20cm，则斜边上的高为( ) A.8cm B.10cm C.9.1cm D.9.6cm 8.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( ) A.1013 B.2024 C.2025 D.2026 9.勾股定理:对于任意的直角三角形,如果它的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有 ，即直角三角形两直角边的平方和等于 . 10.一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 . 11.在△ABC中，∠C=90°，若c=3，则a²+b²+c²=__. 12.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图。从图中可以看到:大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积，因而c²=__________+___________，化简后即为c²=__________________. 13.已知 Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于_____cm². 14.求出下列直角三角形中未知边的长度. 15.观察以下几组勾股数，并寻找规律: ①3，4，5; ②5，12，13; ③7，24，25; ④9，40，41;... 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: __ 16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A、∠B、∠ACB所对的边分别为a、b、c. (1)若a:b=3:4,c =15，求b; (2)若a=6,b=8,求c的长及斜边上的高. 17.勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法，小丽发现:当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理，请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理 七年级数学上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 知识梳理 一、直角三角形 常用符号“RtΔABC”来表示直角三角形ABC. 直角三角形的两个锐角互余 二、勾股定理 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名. 1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 2.表示方法：如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么； 几何语言: 在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理得: 或BC²+AC²=AB² 例1.在Rt△ABC 中,∠C=90°. (1)若a=5,b=12,则c = ； (2)若c=17,b=15,则a= _； (3)若a=9,c=15,则斜边c上的高为 . 例1.【答案为】：13，8，7.2 三、勾股定理的验证 例2.为了计算图1中大正方形的面积，我们可以对这个大正方形适当割补后得到图2、图3,请分别利用图2、图3进行验证勾股定理. 如图2所示 证明:∵， 又∵， ∴， ∴， ∴ 如图3所示 证明:∵， 又∵， ∴， ∴， ∴ 四、勾股定理应用的常见类型: (1)已知直角三角形的任意两边求第三边; (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系; (3)证明包含平方关系的几何问题; (4)求解几何体表面上的最短路程问题; (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 例3.在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在公路上疾驰,他用红外测距仪测得汽车与他相距400m，过了10s，测得汽车与他相距500m,你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗? 分析:根据题意，可以画出右图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置,由于王叔叔距离公路400m，因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了. 解:由勾股定理，可以得到AB²=BC²+AC², 即:500²=BC²+400², ∵BC>0，∴BC=300. 蓝方汽车10s行驶了300m，那么它1s行驶的距离为300÷10=30(m)， 即蓝方汽车这10s的平均速度为30m/s. 五、数学思想:分类讨论思想、方程思想 1.分类讨论思想 例4.在Rt△ABC中，若a=3,c=5，则b²= . 【解答】:(1)若5是直角边，则第三边b是斜边，由勾股定理得: 3²+5²=b², ∴b²=34; (2)若5是斜边，则第三边b为直角边，由勾股定理得: 3²+b²=5², ∴b²=16; ∴边长b的平方为16或34. 故答案为:16或34. 2.方程思想 例5.已知△ABC 中,∠C=90°,一条直角边为4cm,斜边比另一条直角边大1cm,求△ABC 的周长. 【解答】:设另一条直角边长为xcm,则斜边长为(x+1)cm. 根据勾股定理得x²+4²=(x +1)², 解得x=7.5. ∴△ABC 的周长=7.5 +(7.5 +1)+4=20(cm). 或 设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是(x-1)cm . 根据勾股定理，得(x-)²+16=x²， 解得x=8.5， 则x-1=8.5-1=7.5， 故△ABC的周长为:4+7.5+8.5=20(cm). 六、勾股数 1.满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数. 2.勾股数都是正整数;勾股数的正整数倍也是勾股数，即如果 a、b、c是一组勾股数，那么 ak，bk，ck(k是正整数)也是勾股数. 3.常见勾股数（3至97之内的勾股数表）: 例6.一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,则斜边为 . 例6.【答案为】：斜边长为5 同步练习 1.在 Rt△ABC 中,∠C =90°,AB=10,AC=6,则BC等于( ) A.4 B.6 C.8 D.16 1.【答案为】：C 2.下列说法正确的是( ) A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a²+b²=c²; B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a²+b²=c²; C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a²+b²=c²; D.若a、b、c是 Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a²+b²=c²; 2.【解答】解:A、当△ABC是直角三角形且∠C=90°时，a²+b²=c²，故本选项错误; B、若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠B=90°，则a²+c²=b²，故本选项错误; C、若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则c²+b²=a²，故本选项错误; D、若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a²+b²=c²，故本选项正确; 故选:D. 3.下列四组数中，是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.0.3，0.4，0.5 C.，， D.3²，4²，5² 3.【分析】根据勾股数的定义:满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数解答即可. 【解答】解:A、6²+8²=10²能构成勾股数，故符合题意: B、0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意: C、，， 不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意， D、(3²)² + (4²)²=≠(5²) ²， D、3，4，5²不能构成勾股数，故不符合题意， 故选:A. [总结]此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用. 4.下面图形能够验证勾股定理的有( )个 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.【解答】A、由(a+b)²=4×ab+c²可得a²+b²= c²，故该项的图形能够验证勾股定理; B、由c²=4×ab+(b-a)²可得a² +b² = c²，故该项的图形能够验证勾股定理; C、由(a +b)(a +b) =2×ab+c²可得a² + b² = c²，故该项的图形能够验证勾股定理; D、由ab+·c·c=可得a² +b² =c²，故该项的图形能够验证勾股定理. 故选:A. 5.如图所示，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分)，得到长为c的正方形，则下列等式成立的是( ) A.a+b=c B.a²+b²=c² C.c²=(a+b)(a-b) D. c²=(a+b)²-4ab 5.[分析]根据题意，在正方形ABCD中,将它剪去4个全等的直角三角形,得到长为c的正方形,在△AEH中，AE=a,AH=FC=b，EH=c，即可得出结论, 【解答】根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，∴在△AEH中，AE=a,AH=FC=b,EH=c, ∴a+b>c，A选项不符合题意: 根据勾股定理得:a²+b²=c²，B符合题意: C、 c²=(a+b)(a-b)=a²-b²，不符合题意: D、 c²=(a+b)²-4ab=a²+b²+2ab-4ab=a²+b²-2ab,不符合题意: 故选:B. 6.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm²，则斜边长为( ) A.80cm B.30 cm C.90cm D.120cm 6.【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a cm，b cm，斜边为c cm， 根据勾股定理得:a²+b²=c²， ∵a²+b²+c²=1800， ∴2c²=1800，即c²=900， 则c=30cm.（负值舍去） 故选B. 7.直角三角形的两条直角边分别12cm和16cm，斜边为20cm，则斜边上的高为( ) A.8cm B.10cm C.9.1cm D.9.6cm 7.【解答】直角三角形面积=×一直角边长×另一直角边长=×斜边长×斜边的高， 代入题中条件，即可得: 斜边高=9.6cm. 故选:D. 【总结】本题利用等面积法即从直角三角形面积的两种求法入手，代入公式后计算即可. 8.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( ) A.1013 B.2024 C.2025 D.2026 8.【解答】根据勾股定理以及正方形的面积公式,可以发现:经过n次“生长”后,所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的(n十1)倍, ∴“生长”n次后,变成的图中所有正方形的面积之和=n+1. ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2025+1=2026. 故选D. 9.勾股定理:对于任意的直角三角形,如果它的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有 ，即直角三角形两直角边的平方和等于 . 9.【解答】：a²+b²=c², 斜边的平方. 10.一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 . 10.【解答】:设斜边长为x,则一条直角边长为x-2. 根据勾股定理,得6²+(x-2)²=x², 解得x=10. 所以斜边长为10. 故答案为:10. 11.在△ABC中，∠C=90°，若c=3，则a²+b²+c²=__. 11.[分析]根据勾股定理可得a²+b²= c²，那么a²+b²+c²=2c²，将c=3代入计算即可求解. 【解答】解:在△ABC中，∠C=90°， ∴a²+b²=c², ∴a²+b²+c²=c²+c²=2c², ∵c=3, ∴a²+b²+c²=2×3²=18. 故答案为:18. [总结]本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理，整体代入求值. 12.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图。从图中可以看到:大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积，因而c²=__________+___________，化简后即为c²=__________________. 12.【解答】由图可知: 证明:∵ = 又∵， ∴ 故答案为：， 13.已知 Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于_____cm². 13.[分析]：利用勾股定理，可得:a²+b²=c²=100，即(a+b)²-2ab=100，可得ab=48，即可得出面积. 【解答】解:∵∠C=90°，∴a²+b² = c²=100, ∴ (a+b)²-2ab=100, ∴196-2ab=100， ∴ab=48, ∴=ab=24cm²; 故答案为:24. [总结]本题考查勾股定理、完全平方公式的变形求值、三角形面积计算的运用，熟知勾股定理是解题的关键. 14.求出下列直角三角形中未知边的长度. 14.【解答】解:x²=6²+8²，所以x=10; y²+5²=13²，所以y=12; 故答案为:第一个图中未知边长x=10，第二个图中未知边长y=12 15.观察以下几组勾股数，并寻找规律: ①3，4，5; ②5，12，13; ③7，24，25; ④9，40，41;... 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: __ 15.【解答】：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3， 第②勾股数的第一个数是5，…， 故第⑤组勾股数的第一个数是11， 第⑥组勾股数的第一个数是13, 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1， 故设第二个数为x，第三个数为x+1， 根据勾股定理的逆定理，得: 11² + x² =(x +1)², 解得x =60. 则得第5组数是:11，60，61. 故答案为:11，60，61. 16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A、∠B、∠ACB所对的边分别为a、b、c. (1)若a:b=3:4,c =15，求b; (2)若a=6,b=8,求c的长及斜边上的高. 16.【解答】解:(1)设a =3x,b=4x, 在 Rt△ABC 中,c² =a² +b², ∴(3x)² +(4x)² =15² ,解得x=3. ∴a =9,b=12. (2)在 Rt△ABC 中,c² =a² +b²=36 +64 =100. ∴c =10. ∵=AC·BC=AB·CD; ∴CD= 故答案为：（1）b=12 ；（2）c =10 ；CD=4.8 17.勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法，小丽发现:当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理，请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明， 17.[分析]多边形的面积可以等于边长为c的正方形面积加上两个直角三角形的面积，也可以等于两个直角梯形的面积和，由此得证 【解答】解:若直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则a²+b²=c², 如图，这个多边形的面积为2×ab+c²=b(b+b+a)+a(a+b+a) 整理得 ab+c²=ab+b²+ab+a², 故a²+b²=c². [总结]此题考查了勾股定理的证明，正确掌握多边形的面积的计算方法及勾股定理的内容是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$