第一章 勾股定理（复习讲义）数学北师大版2024八年级上册

第一章 勾股定理（复习讲义） 1．了解勾股定理的意义，体会勾股定理及其逆定理之间的整体联系。 ①了解勾股定理的基本内容；②了解勾股定理逆定理的内容；③体会勾股定理与勾股定理逆定理之间的相互关系和整体联系。 2．能用勾股定理及其逆定理进行证明和计算。 ①掌握勾股定理的多种证明方法；②能够利用勾股定理求解直角三角形的边长；③能够利用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3．理解并利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 ①理解勾股数的概念，能够识别和应用勾股数解决实际问题；②能够利用勾股定理解决平面展开图中的最短路径问题；③能够在实际问题中灵活运用勾股定理及其逆定理，进行问题分析和求解。 知识点01 勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 知识点03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 题型一 勾股数的判断 【例1】在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6 【变式1-1】下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．7，21，24 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，4，5 【变式1-2】下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（   ） A．25 B．26 C．27 D．28 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（   ） A．3 B．2 C．5 D．4 【变式2-1】如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2-2】如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（   ） A．18 B． C．24 D．48 【变式2-3】如图，中，，分别以的三条边为一条边在的外部作等腰直角三角形，的面积为，的面积为，的面积为，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型三 判断能否构成直角三角形 【例3】（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）满足下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24八年级下·山东济宁·期末）在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（   ） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 题型四 勾股定理与网格问题 【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【变式4-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)线段的长为 ，线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)的面积是 ． 【变式4-2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上， (1)求的度数； (2)求格点四边形的面积． 【变式4-3】（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，完成下列问题： (1)______；______；______； (2)求的面积 (3)求边上的高 题型五 用勾股定理解三角形 【例5】在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 【变式5-1】如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式5-2】如图，点、把线段依次分成、、三段．若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的“勾股分点”． (1)若，，，则点、 线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）． (2)若、是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 【变式5-3】如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 题型六 勾股定理与折叠问题 【例6】如图，有一块直角三角形纸片的两直角边，，现将沿直线AD折叠，使点C落在点E，求CD的长． 【变式6-1】如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： (1)的长； (2)重叠部分的面积． 【变式6-2】如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． (1)求线段长． (2)求线段的长． 【变式6-3】如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． (1)试说明：； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 题型七 勾股定理的应用 【例7】为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【变式7-1】《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 【变式7-2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为 ③该同学身高1.6m (1)求风筝的垂直高度 (2)如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 【变式7-3】每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生在消防日举行了消防演练．如图，云梯长为10米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为6米．（结果保留1位小数，参考数据：，，） (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)假如云梯顶端下方3米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【变式7-4】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______； (2)应用二：解决实际问题． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 题型八 利用勾股定理的逆定理求解 【例8】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【变式8-1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末） 如图， 在四边形中．， ， (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【变式8-2】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【变式8-3】（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列各数中，能与7，25组成一组勾股数的是（   ） A．9 B．24 C．35 D．40 2．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（   ） A．3 B．9 C．16 D．25 3．在中，，，的对边分别为，，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 二、填空题 6．写一组你喜欢的勾股数 ． 7．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是 m 8．在直角三角形中，，，，则 ． 9．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 10．如图，已知，，点为的边上一动点，则当 时，为直角三角形． 三、解答题 11．如图，在中，，于，，，求的长． 12．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 13．如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长． 14．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图    测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． 请计算：如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 15．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为． (1)若，则t的值为_____； (2)当时，求t的值； (3)当是直角三角形时，求t的值． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（  ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，5，6 2．已知的三边分别为a，b，c，当三角形的边，角满足下列关系，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 4．已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 5．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 6．如图，正方形A的面积为 ． 7．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为 ． 8．如图，有一张直角三角形纸片沿直线折叠，使一直角边落在斜边上，且点与点重合，已知，，则的长是 ． 9．如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 10．如图，中，，，，点为线段上一个动点，连接，将沿直线翻折得到，线段交直线于点．若为直角三角形，则的长是 ． 三、解答题 11．某数学小组开展“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本电脑的宽为，当顶部边缘离桌面的高时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高，最后发现当顶部边缘离桌面的高时，用眼舒适度比较理想．已知点，，，在同一条直线上，求调整前后顶部边缘移动的水平距离． 12．如图，在中，，垂足为． (1)若记为，为，直接写出___________； (2)若，，求的长度． 13．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其进行了探究：如图1，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点，，，在同一平面上），过点作于点，测得． (1)求证：； (2)求的长． 14．已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 15．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门和西门之间修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方向上，点在点的正东方向上，，且点到点的距离相等，米，米． (1)求两点之间的距离； (2)嘉淇准备从西门跑步到东门去见小明，因之间的道路整修不能通行，嘉淇决定选择一条较短线路，请通过计算说明嘉淇应选择路线，还是路线？ 16．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理（复习讲义） 1．了解勾股定理的意义，体会勾股定理及其逆定理之间的整体联系。 ①了解勾股定理的基本内容；②了解勾股定理逆定理的内容；③体会勾股定理与勾股定理逆定理之间的相互关系和整体联系。 2．能用勾股定理及其逆定理进行证明和计算。 ①掌握勾股定理的多种证明方法；②能够利用勾股定理求解直角三角形的边长；③能够利用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3．理解并利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 ①理解勾股数的概念，能够识别和应用勾股数解决实际问题；②能够利用勾股定理解决平面展开图中的最短路径问题；③能够在实际问题中灵活运用勾股定理及其逆定理，进行问题分析和求解。 知识点01 勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 知识点03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 题型一 勾股数的判断 【例1】在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，是勾股数，故本选项符合题意； D、，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．7，21，24 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，4，5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A．最大数为24，计算得 = 49 + 441 = 490，而 = 576，不满足勾股定理，故不是勾股数． B．最大数为10，计算得 = 36 + 64 = 100 = ，满足勾股定理，是勾股数． C．最大数为13，计算得 = 25 + 144 = 169 = ，满足勾股定理，是勾股数． D．最大数为5，计算得 = 9 + 16 = 25 = ，满足勾股定理，是勾股数． 综上，只有A不满足勾股数条件， 故选：A． 【变式1-2】下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义，可以进行判断，解题的关键是要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 【详解】解：、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这不是一组勾股数，符合题意； 故选：． 【变式1-3】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（   ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键． 根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论． 【详解】根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ． 则弦为， 故选：B． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（   ） A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 直接利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形A的边长为， 故选：B． 【变式2-1】如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键． 根据已知条件以及勾股定理可得，根据正方形的面积即可得到结果． 【详解】解：5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ， 正方形A、C、D的面积依次为4、5、20， ， 故选：C． 【变式2-2】如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（   ） A．18 B． C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴“希波克拉底月牙”的面积是：． 故选：C 【变式2-3】如图，中，，分别以的三条边为一条边在的外部作等腰直角三角形，的面积为，的面积为，的面积为，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 由勾股定理得，再由等腰直角三角形的性质得，，则，同理，然后由三角形面积得，，，即可解决问题． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 同理： ， ，， 同理：， 是等腰直角三角形，， ， ， 故选项A不符合题意； ， 故选项B不符合题意； ，， ， 故选项C符合题意； ， 故选项D不符合题意； 故选：C． 题型三 判断能否构成直角三角形 【例3】（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．利用三角形内角和定理求得的值，即可判断选项A、C；利用勾股定理的逆定理判断选项B、D即可． 【详解】解：A. ∵， ∴， ∴， 解得，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵， ∴，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，可设， 则有， ∴， ∴该三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D. ∵，可设， 则有，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）满足下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：、，， ∴， 不是直角三角形，符合题意； 、，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴； ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：． 【变式3-2】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、直角三角形的定义、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．利用三角形的内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：、，，故是直角三角形，不符合题意； 、，，，故是直角三角形，不符合题意； 、，，故不是直角三角形，符合题意； 、，，故是直角三角形，不符合题意． 故选：． 【变式3-3】（23-24八年级下·山东济宁·期末）在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（   ） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：A、如果，即，那么是直角三角形且，选项错误，符合题意； B、如果，由，可得，那么是直角三角形，选项正确，不符合题意； C、如果，满足，那么是直角三角形，选项正确，不符合题意； D、如果，由，可得，那么是直角三角形，选项正确，不符合题意； 故选：A． 题型四 勾股定理与网格问题 【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【答案】2 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 的面积， ， ． 故答案为：2． 【变式4-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)线段的长为 ，线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)的面积是 ． 【答案】(1)，，； (2) 【知识点】利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了网格中求三角形面积，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：由网格知识可得： ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上， (1)求的度数； (2)求格点四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用网格求三角形面积、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理、三角形面积的计算等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形． （1）如图：连接，运用勾股定理可得的长，然后根据勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形即可解答； （2）根据以及三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：连接，根据勾股定理，，， ∴，， ∴， 是直角三角形， ． （2）解：． 【变式4-3】（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，完成下列问题： (1)______；______；______； (2)求的面积 (3)求边上的高 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】坐标与图形、与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与网格，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理与网格的联系，列式作答即可； （2）根据网格的特征，利用割补法列式作答； （3）运用等面积法，进行列式作答即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：的面积， （3）解：的面积边上的高， 即边上的高． 题型五 用勾股定理解三角形 【例5】在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 【答案】(1)12 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉定理的内容并灵活运用是关键． （1）已知直角三角形中的斜边与一条直角边，求另一条直角边，利用勾股定理即可求解； （2）由题意设，，由勾股定理建立方程，利用平方根的定义求出x即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：12； （2）解：， 设，． 又，， ， 即， （舍去负值） ，． 【变式5-1】如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由于点，，得，而，，可根据“”证明，得，，推导出，再证明，则； （2）由，，，勾股定理求得，，则，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：于点， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，，， ，， ， ， ， 解得： 【变式5-2】如图，点、把线段依次分成、、三段．若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的“勾股分点”． (1)若，，，则点、 线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）． (2)若、是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 【答案】(1)不是 (2)13或5 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先求出，再根据“勾股分点”的定义判断即可； （2）设，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴点、不是线段的“勾股分点”， 故答案为：不是； （2）解：设，则． ①当是直角三角形的斜边时， 由． 得． 解得：； ①当是直角三角形的斜边时， 由． 得． 解得：； 或5． 【变式5-3】如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识． （1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得； （2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得； ②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 题型六 勾股定理与折叠问题 【例6】如图，有一块直角三角形纸片的两直角边，，现将沿直线AD折叠，使点C落在点E，求CD的长． 【答案】 【分析】本题考查图形的折叠，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理，求出，再由折叠，可得，在中，利用勾股定理，列出方程，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠，得 ， ∴， ∵， ∴， 解答， ∴． 答：CD的长为． 【变式6-1】如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： (1)的长； (2)重叠部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题： （1）先得到，再设，则，据此利用勾股定理得到，解方程即可得到； （2）由（1），得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由折叠和长方形的性质得． 设，则． 在中，由勾股定理，得 ∴， 解得， 的长为． （2）解：由（1），得， ． 【变式6-2】如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． (1)求线段长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的，本题中翻折是解题的关键． （1）设长度为．由题意得，，在中，，根据勾股定理得：，建立方程求解即可； （2）连接，设的长度为，在中，，根据勾股定理得：，在中，，根据勾股定理得；，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设长度为． 由题意得，， 在中，，根据勾股定理得：， 解得： ∴线段的为； （2）解：连接，设的长度为． 由题意得，， ∴在中，，根据勾股定理得：， 在中，，根据勾股定理得；， 解得： 的长为． 【变式6-3】如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． (1)试说明：； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)4 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）先利用勾股定理求出，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型七 勾股定理的应用 【例7】为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车超速了，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【变式7-1】《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 【答案】芦苇的长度为13尺 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇的长度为13尺． 【变式7-2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为 ③该同学身高1.6m (1)求风筝的垂直高度 (2)如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴在中，由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 【变式7-3】每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生在消防日举行了消防演练．如图，云梯长为10米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为6米．（结果保留1位小数，参考数据：，，） (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)假如云梯顶端下方3米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， ∴根据勾股定理，（米）， 答：云梯顶端与墙角的距离的长为米； （2）（米）， 在中，（米）， （米）， 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离约为米． 【变式7-4】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______； (2)应用二：解决实际问题． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2)绳索的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握最短路的计算，勾股定理的计算方法是关键． （1）根据题意可得圆柱底面圆的周长为，由展开图可得即为最短路径，由勾股定理即可求解； （2）根据题意得到四边形是矩形，如图所示，过点作，四边形，是矩形，则，，设，则，在中由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：圆柱的底面半径为， ∴圆柱底面圆的周长为， 如图所示，即为最短路径，，， ∴， ∴最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示，过点作， ∴， ∴四边形，是矩形， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴绳索的长为． 题型八 利用勾股定理的逆定理求解 【例8】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据，，可以得到为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，从而可以求得，进而可求得的度数．本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出和的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∴ 为等边三角形， ∴，， 又∵， ，， ∴，   ，   ， ∴ ∴为直角三角形， ∴ ， ∴． 【变式8-1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末） 如图， 在四边形中．， ， (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】等腰三角形的定义、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由勾股定理得：，由，可得，即是直角三角形，，由， ，可得，根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意知，， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【变式8-2】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)这块空地的面积为 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 【变式8-3】（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）解：过点A作，垂足为E，，    ∵平分，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列各数中，能与7，25组成一组勾股数的是（   ） A．9 B．24 C．35 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意， 故选：B． 2．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（   ） A．3 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，由勾股定理和正方形的面积公式解答． 【详解】解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：B． 3．在中，，，的对边分别为，，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用及代数式的变形，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．通过展开并整理等式，结合直角三角形的性质确定正确选项． 【详解】解：在中，， ， ， 即边为斜边，对应的角， 故选项A说法错误，不符合题意；选项B说法正确，符合题意；选项C说法错误，不符合题意； 又， ， ， 选项D说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：A． 5．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 二、填空题 6．写一组你喜欢的勾股数 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．注意本题答案不唯一． 根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数． 【详解】解：∵，且12，16，20都是正整数， ∴一组勾股数可以是． 故答案为：． 7．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是 m 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，勾股定理求出的长，再根据线段的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意和勾股定理定理，得：， ∴旗杆折断之前的高度是； 故答案为：18． 8．在直角三角形中，，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理解直角三角形成为解题的关键． 直接根据勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：∵在直角三角形中，，，， ∴． 故答案为：3． 9．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为5， 故答案为：5． 10．如图，已知，，点为的边上一动点，则当 时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的动点问题，解题关键是掌握勾股定理． 分为直角边或斜边来讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：若为三角形的直角边，则为该三角形的斜边； ∵， ∴， ∴， 设， ，， ，解得：（负值舍去）， ∴； 若为斜边，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ，解得：（负值舍去）， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题 11．如图，在中，，于，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查考查勾股定理，由勾股定理求出，再根据等积关系求出． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 【答案】的长为3.75尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设的长度为x尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长为尺，在中，尺，， 由勾股定理得，， 即， 解得． 答：的长为3.75尺． 13．如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可知：，，进一步求出，设，则，由勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 根据翻折可得， ， 设，则． 在直角三角形中，由勾股定理得： 解得：， ∴． 14．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图    测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． 请计算：如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】他应该再放出米线 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理得到的长，再根据风筝沿方向再上升米，得到上升后的高度，最后再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 如图所示，风筝沿方向再上升米到点处，连接，    ∴， ∴， ∴， ∴他应该再放出米线． 15．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿着射线以的速度运动，运动时间为． (1)若，则t的值为_____； (2)当时，求t的值； (3)当是直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)2或14 (2) (3)t的值为8或 【分析】本题考查了勾股定理、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，由题意可得，分两种情况：当点P在点C的左侧时，；当点P在点C的右侧时，；分别列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）根据勾股定理计算即可得解； （3）分两种情况：当时，点P与点C重合，当，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中，，，，， ∴， 依题意，， 当点P在点C的左侧时，， 当点P在点C的右侧时，， ∵， ∴或， 解得：或； 故答案为：2或14； （2）解：当时，如图， ，，， 在中，， ∴， 解得； （3）解：∵，，， ∴， 动点P从点A出发，沿射线以的速度运动， ∴， ①当时，如图，点P与点C重合， ， ∴； ②当，如图，，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 综上所述，t的值为8或． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（  ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义. 根据勾股数的定义判断即可. 【详解】A选项：，而，，不满足勾股数条件； B选项：，而，，不满足勾股数条件； C选项：，而，，满足勾股数条件； D选项：，而，，不满足勾股数条件； 故选：C. 2．已知的三边分别为a，b，c，当三角形的边，角满足下列关系，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理与三角形内角和定理是解题的关键． 由勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】A.， ，符合勾股定理的逆定理，故此选项能判断是直角三角形，不符合题意； B.，， ，是直角三角形，故此选项能判断是直角三角形，不符合题意； C.， 设，，， ，， ，不符合勾股定理逆定理，故此选项不能判断是直角三角形，符合题意； D.， ， ，， ，符合勾股定理的逆定理，故此选项能判断是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 4．已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到，再由折叠的性质得到，设，则，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 5．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 二、填空题 6．如图，正方形A的面积为 ． 【答案】100 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据勾股定理即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 根据勾股定理可得：， 故答案为：100． 7．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理可求的长，利用割补法求出的面积，由三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 8．如图，有一张直角三角形纸片沿直线折叠，使一直角边落在斜边上，且点与点重合，已知，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，再由，得出，计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解图示，掌握勾股定理求最短路径的计算是解题的关键． 根据题意，将长方体盒子展开，可得为最短路径，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵长方体盒子的宽为，高为，， ∴， 故答案为：． 10．如图，中，，，，点为线段上一个动点，连接，将沿直线翻折得到，线段交直线于点．若为直角三角形，则的长是 ． 【答案】1或 【分析】根据题意可分三种情况：当时，当时，利用勾股定理来求解． 【详解】解：当时，过点作，交的延长线于点，如图 ， ， 四边形是矩形， ，。 将沿直线翻折得到， ，． 在中 ． 设， 则，， ， 整理得， 解得，（舍去）， 所以． 当时，此时点与点重合， 将沿直线翻折得到， ，， 设， 则，， ， 整理得， 解得， 即． 当时， 因为在中，， 所以，翻折后，不可能为，此种情况不存在． 综上所述，的长是或． 【点晴】本题考查了翻折的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握分类思想是解答关键． 三、解答题 11．某数学小组开展“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本电脑的宽为，当顶部边缘离桌面的高时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高，最后发现当顶部边缘离桌面的高时，用眼舒适度比较理想．已知点，，，在同一条直线上，求调整前后顶部边缘移动的水平距离． 【答案】调整前后顶部边缘移动的水平距离的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，在中求得，根据题意得，在中求得，利用求解即可． 【详解】解：∵，， 在中，， ∴， 解得：， ∵，， 在中，， ∴， 解得： ， ∴． 答：调整前后顶部边缘移动的水平距离为． 12．如图，在中，，垂足为． (1)若记为，为，直接写出___________； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用勾股定理求出，再利用三角形的面积即可求解； （）由已知可得，再分别在、和中利用勾股定理可得，据此即可求解； 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， 在中，，即， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得． 13．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其进行了探究：如图1，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点，，，在同一平面上），过点作于点，测得． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论； （2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）在中，， ， ． 14．已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的特征等；解题的关键是熟悉直角三角形的性质． （1）计算得出，由勾股定理逆定理可判定为直角三角形，即可求解； （2）过点作交的延长线于点，延长交于点，则．结合题意得，进一步求得，在中，求得和，利用等面积法列求得，结合即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ． 为直角三角形， ， ； （2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图， ， ∴． 又， ∴， ． ， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ， ∴ 解得：． ． 购物车把手点到的距离为． 15．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门和西门之间修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方向上，点在点的正东方向上，，且点到点的距离相等，米，米． (1)求两点之间的距离； (2)嘉淇准备从西门跑步到东门去见小明，因之间的道路整修不能通行，嘉淇决定选择一条较短线路，请通过计算说明嘉淇应选择路线，还是路线？ 【答案】(1)两点之间的距离为400米 (2)应选择路线，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方位角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意可知，利用勾股定理即可算答案； （2）由题意可知，，再利用勾股定理计算出和长度，从而得到两种线路的长度，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在点的正南方向上，点在点的正东方向上， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 即两点之间的距离为400米； （2）解：∵点到点的距离相等， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得， ∴． 即路线的长为米． ∵，即路线的长为800米． ∵， ∴应选择路线． 16．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】方法应用：①；；；②见解析；方法迁移：（1）；（2） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 方法应用：①根据题意表示出三个图形的面即可；②根据可证； 方法迁移： （1）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （2）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】解：【方法运用】： ①由题意得，，，； 故答案为：①；；； ②∵， ∴， ∴， ∴； 【方法迁移】： （1）设边上的高为h， ， ， ， ∴， 即边上的高是； 故答案为：； （2）在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$