天津市五区县重点校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题

2024～2025学年度第二学期期末重点校联考 高一数学 出题学校：宝坻一中 静海一中 一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分） 1．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设的内角、、的对边分别为，，，已知，，，则等于 A． B． C． D． 3．已知△ABC是等边三角形，边长为4，则 A． B．8 C． D． 4．已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个 平面图形的直观图，则它的原图形面积为 A． B． C． D． 6．分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为 A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则 A． B． C． D． 8．如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的个数为 ①直线BD1⊥平面A1DC1 ②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 ⑤三棱锥A1—BDC1外接球表面积是3π A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 9．已知复数（其中为虚数单位），则_________． 10．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为6∶5∶4，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，则该公司青年员工的人数为_________． 11．已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则_________． 12．已知是边长为2的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为_________． 13．联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对两个问题的概率为_________，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为_________． 14．如图，在中，点D，E在边BC上， 且，点F，M分别在线段AB， AD上，且，直线FM 交AE于点G，且，则______． 若直线MC交AE于点N且是边长为 2的等边三角形，则________． 三、解答题（本题共5小题，共64分） 15．（本题满分12分）已知向量，满足，． （1）若，求向量的坐标； （2）若，求与的夹角． 16．（本题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 满足 （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求c的值； （ⅱ）求的值． 17．（本题满分14分）（请用几何法作答此题） 如图，在正三棱柱中，已知，且D为的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点D到平面的距离． 18．（本题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中实数a的值； （2）若该校高一年级共有学生640名，试估计 该校高一年级期中考试数学成绩不低于80 分的人数； （3）若从成绩来自和两组的学生中 随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 19．（本题满分14分）（请用几何法作答此题） 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正切值. 2024～2025学年度第二学期期末重点校联考 高一数学答案 一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C D A A C 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 9．2 10．120 11．4 12． 13．， 14．， 三、解答题（本题共5小题，共64分） 15．（本小题满分12分） （1）根据题意，，设， 若，则 解得，故或.………………………6分 （2）由题知，则， 若，则， 即， 解得，又， 所以. ………………………12分 16．（本小题满分12分） （1）解：因为，所以 ， ………………………2分 所以， 因为，所以，所以， …………4分 又，所以； …………5分 （2）由（1）知，，且，， （ⅰ）则， 即，解得（舍），. 故. …………8分 （ⅱ）由， 得， 解得，则， 则， ， …………10分 则 . …………12分 17．（本小题满分14分） （1）证明：连接，设，连接， 在正三棱柱中，四边形 为矩形，则为的中点，又为的中 点，所以，平面，平 面，所以平面 …………4分 （2）由（1）得 ∴为异面直线A1B与B1D所成角（或其补角） …………6分 ∵OB＝A1B＝，OB1＝，B1D＝ ∴cos＝ ∴异面直线A1B与B1D所成角的余弦值为 …………9分 （3）取的中点H，连接，∵△A1B1C1为等边三角形 ∴A1B1⊥C1H 又∵正三棱柱 ∴B1B⊥平面A1B1C1 C1H平面A1B1C1 ∴C1H⊥B1B 又∵A1B1B1B＝B1 A1B1，B1B平面A1B1B ∴平面，， …………12分 点D到平面的距离为． …………14分 18．（本小题满分12分） （1）因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 由，解得：.………2分 （2）由频率分布直方图可知成绩不低于60分的频率为： 所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为： 640×0.35=224人. ……4分 （3）成绩来自的学生人数为：40×0.05＝2人，记为； 成绩来自的学生人数为：人，记为. 则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点，…………8分 设“两名学生数学成绩至多有一名及格”， 则M=包含了9个样本点， …………10分 所以.P(M)== …………12分 19．（本小题满分14分） （1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面. …………3分 （2）由（1）知平面. 而平面，所以. 在等边△ABC中，因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. 过点作，垂足为. 连接BH 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. …………6分 因为，，， 所以三角形相似得， ， 在中，， 所以与平面所成角的正弦值为 …………8分 （3）取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. …………11分 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正切值为. …………14分 重点校期末高一数学 第 1 页（共 8 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$