第1章 一元二次方程（复习讲义）数学苏科版九年级上册

第1章 一元二次方程（复习讲义） 1．了解一元二次方程的意义，体会其概念与解法之间的整体联系。 ①了解一元二次方程的定义及其一般形式；②理解一元二次方程的解（根）的意义，知道一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解；③体会一元二次方程的概念与解法之间的整体联系，理解不同解法的适用条件和步骤。 2．能用多种方法解一元二次方程。 ①掌握直接开平方法解一元二次方程；②熟练运用配方法解一元二次方程；③理解并应用公式法解一元二次方程；④学会因式分解法解一元二次方程；⑤能根据方程的具体形式选择合适的解法。 3．理解并利用一元二次方程解决实际问题。 ①理解列一元二次方程解决实际问题的一般步骤；②能够识别和列出一元二次方程解决应用题中常见问题；③通过实际问题的解决，加深对一元二次方程及其解法的理解和应用能力。 通过以上目标的复习，学生能够全面掌握一元二次方程的相关知识，提升解题能力和应用能力。 一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 二、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 三、一元二次方程的解法 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 四、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 题型一 判断是否是一元二次方程 【例1】（24-25八年级下·重庆·期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·重庆江北·期末）下列方程，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 题型二 一元二次方程的一般形式 【例2】（24-25九年级上·广西钦州·期末）将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东潮州·期末）把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1，6 D．3，6， 【变式2-2】（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-3】（24-25九年级上·四川泸州·期末）将方程改写成为的形式，则，，的值分别为（    ） A．3，，2 B．3，， C．3，， D．2，，8 题型三 解一元二次方程 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式3-1】（24-25九年级上·广东云浮·期末）按要求解下列方程． (1)．（因式分解法） (2)．（公式法） 【变式3-2】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【变式3-3】（24-25九年级上·四川达州·期末）解方程： (1) (2) 题型四 解一元二次方程错解复原问题 【例4】（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 (1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习一元二次方程解法时，解方程的过程如下： 解：     …第一步     …第二步    …第三步 ．   …第四步 ∴原方程没有实数根． 根据小明的解题过程，解答下列问题： (1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误． (2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法）， 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东清远·期末）下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例5】（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【变式5-1】（24-25九年级上·广东韶关·期末）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式5-2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式5-3】（24-25九年级上·云南昆明·期末）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 题型六 一元二次方程根与系数的关系 【例6】（24-25八年级下·江苏南京·期末）一元二次方程的两个根分别为、，则 ． 【变式6-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【变式6-2】（24-25八年级下·福建福州·期末）设是方程的两个实数根，则的值为 【变式6-3】已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为 ． 题型七 用一元二次方程解决实际问题 【例7】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）安徽黄山“徽州非遗文化节”文创产品展销，2025年文化节前夕，徽州生态保护区采购歙砚礼盒与黄山毛峰礼盒两类非遗产品．歙砚礼盒进货价28元/盒，毛峰礼盒进货价22元/盒．（注：利润=销售价－进货价） (1)首单用5400元采购，经统计，毛峰礼盒数量是歙砚礼盒的2倍，求两类礼盒分别购进的数量； (2)展销中发现毛峰礼盒滞销，原售价34元/盒时日售10盒，市场部调研显示：每降价1元，日均销量增5盒．为落实“文化惠民”政策，尽快减少库存，需设定新售价使毛峰礼盒日均销售利润达240元，求此时每盒售价． 【变式7-1】有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 【变式7-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．3， B．3，1 C．3， D．3，0 3．用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 5．矩形的周长为，其中一边长为，面积为，则列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 8．原来商场将进价为每件80元的某商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经调查发现，每件该商品降价1元，销量可增加10件，商场想获利2250元．设将该商品每件降价x元，根据题意，可列方程为 ． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 10．（24-25九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况： ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程： (1)； (2) 12．解下列方程： (1)． (2)（用配方法）． (3)（用公式法）． 13．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 14．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留宽的门（门不用木栏）．已知建成后所用木栏总长为，当的长是多少时，矩形苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B．2 C． D．不能确定 2．（2025年北京市中考数学真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 3．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A．6 B．2或 C．6或 D．6或 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 5．如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 7．（24-25八年级下·山东东营·期中）已知关于的方程有解，则的取值范围是 ． 8．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 9．已知关于的一元二次方程的一个根为，则其另一个根与的乘积为 ． 10．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿向点B以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是 ． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 12．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，，求的长． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 15．小华计划用总长为的木板制作矩形置物架，其简化图如下图所示，已知该置物架上面部分为两个全等的矩形（矩形和矩形），下面左边部分为矩形，右边部分为矩形．已知，设置物架的长为． (1)当时，的长为______． (2)求置物架的高（用含x的代数式表示）． (3)为了方便放置物品，要求的高度不能超过．若置物架的面积为，求置物架的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程（复习讲义） 1．了解一元二次方程的意义，体会其概念与解法之间的整体联系。 ①了解一元二次方程的定义及其一般形式；②理解一元二次方程的解（根）的意义，知道一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解；③体会一元二次方程的概念与解法之间的整体联系，理解不同解法的适用条件和步骤。 2．能用多种方法解一元二次方程。 ①掌握直接开平方法解一元二次方程；②熟练运用配方法解一元二次方程；③理解并应用公式法解一元二次方程；④学会因式分解法解一元二次方程；⑤能根据方程的具体形式选择合适的解法。 3．理解并利用一元二次方程解决实际问题。 ①理解列一元二次方程解决实际问题的一般步骤；②能够识别和列出一元二次方程解决应用题中常见问题；③通过实际问题的解决，加深对一元二次方程及其解法的理解和应用能力。 通过以上目标的复习，学生能够全面掌握一元二次方程的相关知识，提升解题能力和应用能力。 一、一元二次方程的概念 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 二、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 三、一元二次方程的解法 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 四、一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 题型一 判断是否是一元二次方程 【例1】（24-25八年级下·重庆·期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可得出答案，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：．当时，不满足题意，故本选项不符合题意； ．含有两个未知数，故本选项不符合题意； ．含有分式，故本选项不符合题意； ．满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 故选：． 【变式1-1】（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、当时，方程不是一元二次方程，故不符合题意； C、方程化为，不是一元二次方程，故不符合题意； D、方程即是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（23-24八年级下·重庆江北·期末）下列方程，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 题型二 一元二次方程的一般形式 【例2】（24-25九年级上·广西钦州·期末）将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数、常数项即可． 【详解】解：将方程化成一元二次方程的一般形式为， 则二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为0， 故选：D． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东潮州·期末）把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1，6 D．3，6， 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是（是常数，且），它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．通过移项，将方程化成一般形式，由此即可得． 【详解】解：把方程化成一般形式为， 则二次项系数为3、一次项系数为、常数项为1， 故选：A． 【变式2-2】（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式是解题的关键． 一元二次方程一般式为，由此即可求解． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 故选：B ． 【变式2-3】（24-25九年级上·四川泸州·期末）将方程改写成为的形式，则，，的值分别为（    ） A．3，，2 B．3，， C．3，， D．2，，8 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解：将方程改写成为的形式为， 则，，的值分别为3，， 故选：C． 题型三 解一元二次方程 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【变式3-1】（24-25九年级上·广东云浮·期末）按要求解下列方程． (1)．（因式分解法） (2)．（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法． （1）先提公因式x，然后根据或，即可求解． （2）先根据的情况判断根的情况，再根据求根公式求解即可． 【详解】（1）解： 因式分解，得， ∴或， 解得：， （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 【变式3-2】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】（）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， 或， ∴，． 【变式3-3】（24-25九年级上·四川达州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的方法是关键； （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）把方程化为可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 题型四 解一元二次方程错解复原问题 【例4】（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 (1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错 (2)见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的计算的步骤一步步检查即可； （2）根据配方法和因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：甲：原方程可变形为：第一步，故甲从第一步开始出错； 乙：原方程可变形为：第一步， 第二步，故乙从第二步开始出错； ∴甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错． （2）解：（方法不唯一） 配方法： 方程变形为：， ， 配方得， 则或， ，； 因式分解法： 方程变形为：， ， 则或， ，． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习一元二次方程解法时，解方程的过程如下： 解：     …第一步     …第二步    …第三步 ．   …第四步 ∴原方程没有实数根． 根据小明的解题过程，解答下列问题： (1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误． (2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法）， 【答案】(1)一 (2)，，过程见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可； （2）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可． 【详解】（1）解：根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误． 故答案为：一． （2）解：正确解答过程如下： ， ∴， ∴， ∴． ∴，． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东清远·期末）下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质，完全平方公式 (2)二，解题过程见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 对于（1），根据等式的基本性质和完全平方公式解答即可； 对于（2），先移项，再配方，然后求出解即可． 【详解】（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式． 故答案为：等式的基本性质，完全平方公式； （2）解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， 可得， ∴． 故答案为：二． 题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例5】（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：由可得 ∴原方程有两个相等的实数根， 故选：D． 【变式5-1】（24-25九年级上·广东韶关·期末）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】计算出判别式的值即可得出答案． 本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的实数根； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程无实数根． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式5-2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据方程的根的判别式，计算判断解答即可． 本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵的一元二次方程， 即， ∴， ∴， 故此方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式5-3】（24-25九年级上·云南昆明·期末）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式．先根据新定义把方程化为一元二次方程，再根据根的判别式的值得到，所以，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：关于x的方程化为：， 整理得， ∵ ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 题型六 一元二次方程根与系数的关系 【例6】（24-25八年级下·江苏南京·期末）一元二次方程的两个根分别为、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这个关系是关键．当然本题也可直接解方程来求解． 由一元二次方程根与系数的关系带入即可求得． 【详解】解：由根与系数的关系得：；； ∴ 故答案为： ． 【变式6-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， 故答案为：. 【变式6-2】（24-25八年级下·福建福州·期末）设是方程的两个实数根，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据根与系数的关系可得，根据一元二次方程的解的定义可得，即，再根据代值计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为；． 【变式6-3】已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两个关系式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为， ， ， ， ． 故答案为：． 题型七 用一元二次方程解决实际问题 【例7】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）安徽黄山“徽州非遗文化节”文创产品展销，2025年文化节前夕，徽州生态保护区采购歙砚礼盒与黄山毛峰礼盒两类非遗产品．歙砚礼盒进货价28元/盒，毛峰礼盒进货价22元/盒．（注：利润=销售价－进货价） (1)首单用5400元采购，经统计，毛峰礼盒数量是歙砚礼盒的2倍，求两类礼盒分别购进的数量； (2)展销中发现毛峰礼盒滞销，原售价34元/盒时日售10盒，市场部调研显示：每降价1元，日均销量增5盒．为落实“文化惠民”政策，尽快减少库存，需设定新售价使毛峰礼盒日均销售利润达240元，求此时每盒售价． 【答案】(1)歙砚礼盒购进盒，则毛峰礼盒购进盒； (2)此时每盒售价28元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． （1）设歙砚礼盒购进x盒，则毛峰礼盒购进盒，根据题意列方程求解即可； （2）设每盒售价a元，求出日均销量为盒，单盒利润为元，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设歙砚礼盒购进x盒，则毛峰礼盒购进盒， ∵歙砚礼盒进货价28元/盒，毛峰礼盒进货价22元/盒，首单用5400元采购， ∴， 解得：， ∴， 答：歙砚礼盒购进盒，则毛峰礼盒购进盒； （2）解：设每盒售价a元， ∵原售价34元/盒时日售10盒，市场部调研显示：每降价1元，日均销量增5盒， ∴日均销量为盒，单盒利润为元 ∵日均销售利润达240元， ∴， 即 解得：，（舍去）， 答：此时每盒售价28元． 【变式7-1】有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 【答案】(1) (2)医院至少需要设置167个重症病房 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据在每轮传染中平均1个人传染了x个人，列出代数式即可； （2）先根据两轮传染后，有100人患上流感，列出方程求出的值，进而求出三轮传染后的总人数，设医院需要设置y个重症病房，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第一轮被传染的人数为x，第二轮被传染的人数是， 两轮传染后，患上流感的人数为． （2）由题意，得， 解得（舍去），， 经过第三轮传染后，患上流感的人数为． 设医院需要设置y个重症病房，则设置个普通病房． 由题意，得， 解得， 为正整数， ， ∴医院至少需要设置167个重症病房． 【变式7-2】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【答案】(1)该长方体盒子的高为 (2)每个有盖盒子应降价4元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，正确读懂题意，列出方程是解题的关键． （1）设该长方体盒子的高为，根据长方体盒子的底面积是，结合图形得：，求解即可； （2）设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该长方体盒子的高为， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该长方体盒子的高为； （2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每个有盖盒子应降价4元． 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？ 【答案】(1)若月平均增长率相同，月平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设增长率为，根据数量关系列式求解即可； （2）设降价元，则每天销量可增加件，由此得到降价后的售价为元，销量为件，降价后每件的利润为（元），由此列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件， ∴设增长率为， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴若月平均增长率相同，月平均增长率为； （2）解：售价每降低1元，每天销量可增加4件， ∴设降价元，则每天销量可增加件， ∴降价后的售价为元，销量为件， ∴降价后每件的利润为（元）， ∴， 整理得，， 解得，，即，， 当降价为时，每天的销量为件， 当降价为时，每天的销量为件， ∵尽量减少库存， ∴售价应降低元． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. ：是一元一次方程，不符合条件； B. ：只含有一个未知数，且的最高次数为2，是一元二次方程； C. ：含有两个未知数和，是二元一次方程，不符合条件； D. ：含有两个未知数和，且乘积项的次数为2，是二元二次方程，不符合条件； 故选：B． 2．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．3， B．3，1 C．3， D．3，0 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，将方程整理为一般形式，确定各项系数即可求解． 【详解】解：原方程移项得：， ∴方程的一般形式为，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∴二次项系数和一次项系数分别是和， 故选：C． 3．用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方法将方程转化为完全平方形式，进而确定正确选项． 【详解】解：， 配方得：， 整理方程：， 故选：D． 4．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．通过计算各选项对应的一元二次方程根的判别式，判断是否有两个相等实数根即可． 【详解】A．判别式 ，有两个不等实根，不符合题意； B．判别式 ，有两个不等实根，不符合题意； C．判别式 ，此时方程有两个相等实根，符合题意； D．判别式 ，无实根，不符合题意． 故选：C． 5．矩形的周长为，其中一边长为，面积为，则列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键；先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积长宽，出方程． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边为，则长方形的另一边长为， 根据题意得， 故选：C． 二、填空题 6．若关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x代入到方程中求出关于a、b的等式． 根据题意，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ∴ 故答案为：2025． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 8．原来商场将进价为每件80元的某商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经调查发现，每件该商品降价1元，销量可增加10件，商场想获利2250元．设将该商品每件降价x元，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“总利润 = 每件利润×销售量”这一数量关系是解题的关键，涉及知识点有利润问题的基本数量关系、一元二次方程的实际应用 ．先分析降价元后每件商品的利润以及销售量，再根据“总利润 每件利润销售量”的关系来列方程． 【详解】解：原来每件商品利润为元，降价元后，每件商品利润为元；原来一天销售件，降价元销量增件，降价元后，销量为件． ∵总利润 每件利润销售量，且总利润为2250元， 故答案为： ． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算∶．判定关于x的方程的根的情况： ． 【答案】有两个实数根 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及实数的运算，根据新的运算法则列出一元二次方程，再用因式分解法直接求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：可化为， 解得：， ∴关于x的方程有两个实数根． 故答案为：有两个实数根． 三、解答题 11．（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握因式分解法，求根公式解一元二次方程是解题的关键． （1）运用求根公式解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：整理得， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴． 12．解下列方程： (1)． (2)（用配方法）． (3)（用公式法）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法等是解题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：移项，得． 两边同时除以4，得． 开平方，得， ∴． （2）解：次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得， 即． 开平方，得， ∴． （3）解：， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴． 13．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 14．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留宽的门（门不用木栏）．已知建成后所用木栏总长为，当的长是多少时，矩形苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当的长为时，矩形苗圃的面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得S与x的关系成为解题的关键． 设矩形苗圃的面积为，它的一边的长为，则的长为，若它的面积为，然后利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设矩形苗圃的面积为，它的一边的长为，则的长为， ． ， 当时，S随x的增大而减小， ， ． ， 当时，S有最大值，． 答：当AB的长为时，矩形苗圃ABCD的面积最大，最大面积为． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系，得到，再根据相反数的定义得到，即可求出的值． 【详解】（1）证明：， 其中，，， ， 无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根 （2）解：设方程的两个根为和， ， 该方程的两个实数根互为相反数， ， ， ． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线．， 解得，（舍去）， 答：从节省成本的角度看，增加4条生产线． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B．2 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可，注意二次项系数不为0的隐含条件． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴， 故选：C． 2．（2025年北京市中考数学真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 3．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A．6 B．2或 C．6或 D．6或 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，分类讨论，掌握一元二次方程解法及勾股定理是解题的关键；先解方程得到两根，再分两种情况讨论斜边的可能长度． 【详解】解：解方程， 因式分解得 ， 解得 ，； 当6和4均为直角边时，斜边为 ； 当6为斜边，4为直角边时，另一条直角边为 ，此时斜边仍为6； 由于斜边必为最长边，4不可能是斜边， 因此，斜边可能为6或，对应选项C； 故选：C． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把代入3个方程得出，3个方程相加即可得出，即可求出答案． 【详解】解：把代入得： ，，， 相加得：， ， ， ∵， ∴， 故选：A． 5．如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的”，可知扩建后草坪的面积是原来矩形草坪面积的，由此可得方程为．本题考查了列一元二次方程解应用题，读懂题意，找等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该草坪的长和宽各增加，根据题意得 ， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 7．（24-25八年级下·山东东营·期中）已知关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根据方程有解求参数，分两种情况，当时和当时，当时，一元一次方程有解，当当时，根据一元二次方程根的判别式，即可求出k的取值范围． 【详解】解：当时，即时， 则方程变成， 此时方程有解． 当时，即时， 则的方程为且有解， ∴， 解得：，且， 综上：关于的方程有解，则的取值范围是 故答案为： 8．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 9．已知关于的一元二次方程的一个根为，则其另一个根与的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，，求出和，即可求解另一个根与的乘积． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由题意得，，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿向点B以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是 ． 【答案】/10秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，得到关于t的方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据点的运动速度分别表示出和的长度，再利用直角三角形面积公式列出关于的一元二次方程，求解方程得到运动时间． 【详解】设经过秒时，的面积等于． 点的速度是，移动时间为秒，，则； 点的速度是，移动时间为秒，则． ∵， ∴ 的面积． ∵， ∴， 化简得， 即， 整理为， 解得． 所以经过的时间是． 故答案为：． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用提公因式法因式分解，解方程即可； （2）利用公式法，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ，，， ， ，． 12．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法以及整体换元思想是解题的关键． 根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】解：设，则原方程可化为， ，解得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根; （1）先把方程，变形为，得出，即可得出答案； （2）先把方程，变形为，然后计算两根之和以及两根之积，代入求值的代数式计算即可． 【详解】（1）证明：整理原方程得，， ， 无论为何实数，总有，从而， 即． 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程整理得， 方程的两个实数根、， ，，， ， 解得． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，，求的长． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 【答案】(1)的长为． (2)线段的长是方程的一个根，理由见解析； 的值为． 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程的求根公式，解题的关键是正确理解作图过程． （1）用勾股定理解直角三角形即可； （2）根据勾股定理，用和表示线段的长，用求根公式写出一元二次方程的解，对比即可；由作图过程结合已知条件得出线段之间的数量关系，根据勾股定理列方程，化简整理即可得的值． 【详解】（1）解：由作图过程可知， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 答：的长为． （2）解：线段的长是方程的一个根， 理由： ∵，，，， ∴， 由得，， ∴， ∴线段的长是方程的一个根． 由作图过程可知，，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 答：的值为． 15．小华计划用总长为的木板制作矩形置物架，其简化图如下图所示，已知该置物架上面部分为两个全等的矩形（矩形和矩形），下面左边部分为矩形，右边部分为矩形．已知，设置物架的长为． (1)当时，的长为______． (2)求置物架的高（用含x的代数式表示）． (3)为了方便放置物品，要求的高度不能超过．若置物架的面积为，求置物架的长． 【答案】(1)55 (2) (3) 【分析】本题考查列代数式，矩形的性质，一元二次议程的应用，关键是由题意用表示出的长． （1）由题意知，而置物架上面部分是两个全等的矩形，即可求出； （2）由，，即可求出； （3）由题意得，求出，，由的高度不能超过，即可求出的长． 【详解】（1）解：由题意知， ，矩形，矩形， ， ， 置物架上面部分是两个全等的矩形， ， ， ， 故答案为：55． （2）解：，，， ； （3）解：由题意得：， ，， 当时，， ，不超过，符合题意； 当时，， ，超过，不符合题意，舍去， 置物架的长为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$