专题1.4 用一元二次方程解决问题（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题1.4 用一元二次方程解决问题 教学目标 1.能根据增长率、传染问题、比赛问题、销售问题及面积与几何问题等中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型; 2.根据具体问题实际意义,检验方程的解的合理性. 教学重难点 1.重点：分析和解决问题. 2.难点：根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程 知识点01 列一元二次方程解应用题的具体步骤 （1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的________． （2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以________设未知数． （3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． （4）解：准确求出方程的解． （5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和________． （6）答：写出答案． 【即学即练】 某校6月份每天需要两名志愿者参与校园卫生巡查，八6班学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有78种组队可能．如果设八6班参加的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式： ． 知识点02 一元二次方程解应用题的几种类型 1.变化率问题 设基准数为，两次增长（或下降）后为；增长率（下降率）为，第一次增长（或下降）后为________ ；第二次增长（或下降）后为．可列方程：________² 2.传染问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了个人： ________ .可列方程： 3.比赛问题 支队伍比赛，每队和其他队伍比赛场， 若进行单循环比赛，则比赛________场；若进行双循环比赛，则比赛场 4.销售问题 ①常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； ②在“每每型”问题中，单价每涨元，则每少买件。若涨价元，则少买的数量为________件 5.面积与几何问题 （1）如图①，设空白部分的宽为,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为,则________ （3）如图③，栏杆总长为，的长为,则 方法技巧： ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，建立等量关系列一元二次方程． 【即学即练】 如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 题型01 变化率问题 【例1】某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 【变式1-1】某企业2024年1月份产值1千万，2024年第一季度总产值5千万，若该企业2024年第一季度月产值的平均增长率为x，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】某制药厂将一种药剂价格逐年降低，若2023年这种药剂的价格为240元，2025年该药剂的价格为194.4元，则2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了1600元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ． 【变式1-4】交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 题型02 传染问题 【例2】化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【变式2-1】某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【变式2-2】为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程 ． 【变式2-3】某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【变式2-4】有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 题型03 握手、单、双循环比赛问题 【例3】某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（   ） A．8支 B．10支 C．7支 D．9支 【变式3-1】一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2场比赛）．若要比赛56场，则共有 支队伍参加比赛． 【变式3-2】第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家． 【变式3-3】有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程： ． 【变式3-4】2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 题型04 数字问题 【例4】一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（   ） A．不存在 B．25 C．36 D．25或36 【变式4-1】若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（   ） A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或 【变式4-2】淇淇同学在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则正数的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 【变式4-4】如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为 ． 【变式4-5】第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 题型05 销售问题 【例5】商店购进某种商品的价格为60元/件，在试销期间发现，当每件商品售价为70元时，每天可销售30件；当每件商品售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．每件商品的售价定为多少时，商店每天的盈利会达到400元？ 【变式5-1】在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (2)能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由． 【变式5-3】某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元． (1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？ 【变式5-4】学校举行课外研学活动，需要实验器材A和B共50套，已知实验器材A的售价为180元/套，实验器材B的售价为100元/套，现商家优惠销售，器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元；器材B每套按九折销售，设学校购买x套器材A (1)当时，根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x ______ B ______ ______ (2)若学校订购这批实验器材总价为5300元，则实验器材A和B各多少套？ 【变式5-5】2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． (1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； (2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 题型06 图形问题 【例6】为迎接即将到来的暑假旅游高峰，长沙文旅计划在五一广场打造一个“湖南特色食品展”，如图，若使用34米长的挡板，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米）围成展示区矩形，与墙平行的边上预留一个2米宽的入口方便游客出入． (1)如果要围成面积为144平方米的展示区，那么的长为多少米？ (2)为尽可能容纳更多的游客，展示区面积能否拓展为180平方米？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【变式6-1】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 【变式6-2】傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长，宽的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 【变式6-4】如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 题型07 分式方程的实际问题（可转成一元二次方程） 【例7】星期天早上小明从家出发到离家5千米的博物馆参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了10分钟，求小明原计划每小时走多少千米 【变式7-1】学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】某工程队接到一道路改建任务，需为盲人修建一条长3000米的盲道．根据要求，该工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原来计划多250米，结果提前2天完成工程．问实际每天修建盲道多少米． 【变式7-3】学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【变式7-4】列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 题型08 动态几何问题（三角形） 【例8】如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【变式8-2】如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 【变式8-3】如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 s后，的面积恰为． 【变式8-4】如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 解答一元二次方程中的动态几何问题，需结合几何图形的性质与运动特点，利用勾股定理、面积公式等建立与边长、面积等相关的等量关系，设出时间或线段长度等变量，将几何问题转化为一元二次方程，求解方程时注意根的取值要符合实际几何意义，对所得结果进行检验和取舍。 题型09 动态几何问题（四边形） 【例9】如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为 ． 【变式9-1】如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（    ）              图1          　　　　          图2 ①N点的运动速度是； ②的面积的最大面积为； ③当时，t的值为3或17． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式9-2】如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 【变式9-3】如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 【变式9-4】如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 一、单选题 1．近年来电商发展迅速，某服装店营业额逐年下降，2022年营业额为36万元，2024年营业额为23.04万元，设该服装店2022年到2024年营业额平均每年的下降率是x，根据题意，下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D．36（1－2x）＝23.04 4．期图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至元，且两次降价的百分率一致．则每次降价的百分率是 ． 6．如图，要利用一面墙（墙长为）建猪圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形猪圈，则猪圈的边长为 m． 7．乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为，则挤奶棚的边长为 ． 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步．意思是矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．矩形的宽为 步，长为 步． 9．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿向点B以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是 ． 三、解答题 10．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 11．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留宽的门（门不用木栏）．已知建成后所用木栏总长为，当的长是多少时，矩形苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 12．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系． 售价x（元/千克） … 24 26 … 销售量y（千克） … 32 28 … (1)某天这种水果的售价为元/千克，求当天该水果的销售量． (2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 13．某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每人每月资助200元，高中学生每人每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2023年每月资助学生共支出17500元． (1)问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？ (2)2023年受资助的初、高中学生中，分别有和的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬（资助金额未变化）同时，为了激发更多受资助学生，决定对2024年被评为优秀学生的初中学生每人每月增加的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加的资助．在此奖励政策的鼓励下，2024年被评为优秀学生的初、高中学生分别比2023年的人数增加了、．这样，2024年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元． ①2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为______元，优秀高中学生每人每月的资助金额为______元；（用含a的代数式表示，不用化简） ②求a的值． 14．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，线段的长为？ (2)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 用一元二次方程解决问题 教学目标 1.能根据增长率、传染问题、比赛问题、销售问题及面积与几何问题等中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型; 2.根据具体问题实际意义,检验方程的解的合理性. 教学重难点 1.重点：分析和解决问题. 2.难点：根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程 知识点01 列一元二次方程解应用题的具体步骤 （1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． （2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． （3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． （4）解：准确求出方程的解． （5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． （6）答：写出答案． 【即学即练】 某校6月份每天需要两名志愿者参与校园卫生巡查，八6班学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有78种组队可能．如果设八6班参加的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式： ． 【答案】 【详解】解：设八6班参加的学生有人 可列方程：， 化为一般形式：． 故答案为： 知识点02 一元二次方程解应用题的几种类型 1.变化率问题 设基准数为，两次增长（或下降）后为；增长率（下降率）为，第一次增长（或下降）后为 ；第二次增长（或下降）后为．可列方程：² 2.传染问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了个人： .可列方程： 3.比赛问题 支队伍比赛，每队和其他队伍比赛场， 若进行单循环比赛，则比赛场；若进行双循环比赛，则比赛场 4.销售问题 ①常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； ②在“每每型”问题中，单价每涨元，则每少买件。若涨价元，则少买的数量为件 5.面积与几何问题 （1）如图①，设空白部分的宽为,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为,则 （3）如图③，栏杆总长为，的长为,则 方法技巧： ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，建立等量关系列一元二次方程． 【即学即练】 如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 【答案】 【详解】解：设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为： 题型01 变化率问题 【例1】某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 【答案】单台服务器运行成本的月平均降低率为 【详解】解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意得， 解得：（舍去） 答：单台服务器运行成本的月平均降低率为． 【变式1-1】某企业2024年1月份产值1千万，2024年第一季度总产值5千万，若该企业2024年第一季度月产值的平均增长率为x，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵1月份产值为1千万，第一季度月产值的平均增长率为x， ∴2月份产值为千万，3月份产值为千万； 由题意得：； 故选：C 【变式1-2】某制药厂将一种药剂价格逐年降低，若2023年这种药剂的价格为240元，2025年该药剂的价格为194.4元，则2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为． ∵2023年药剂价格为元，经过两年下降到2025年的元，第一年下降后的价格为元，第二年在第一年下降后的价格基础上再下降，价格为元． ∴可列方程． 方程两边同时除以可得：． ∴． 当时，； 当时，(舍去)， 故选：A． 【变式1-3】某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了1600元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式1-4】交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是个． 题型02 传染问题 【例2】化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 【变式2-1】某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【答案】12 【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 【变式2-2】为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程 ． 【答案】 【详解】解：依题意，得：， 故答案为：． 【变式2-3】某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 【变式2-4】有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 【答案】(1) (2)医院至少需要设置167个重症病房 【详解】（1）解：由题意可知，第一轮被传染的人数为x，第二轮被传染的人数是， 两轮传染后，患上流感的人数为． （2）由题意，得， 解得（舍去），， 经过第三轮传染后，患上流感的人数为． 设医院需要设置y个重症病房，则设置个普通病房． 由题意，得， 解得， 为正整数， ， ∴医院至少需要设置167个重症病房． 题型03 握手、单、双循环比赛问题 【例3】某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1场），单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（   ） A．8支 B．10支 C．7支 D．9支 【答案】B 【详解】解：设参加比赛的队伍有支，根据题意得， 解得：，（舍去） 故选：B． 【变式3-1】一次足球比赛采取双循环比赛（每两支队伍之间都进行2场比赛）．若要比赛56场，则共有 支队伍参加比赛． 【答案】8 【详解】解：设共有支队伍参加比赛 解得：（舍去） ∴共有8支队伍参加比赛 【点睛】本题考查了一元二次方程循环赛问题，注意双循环表示每支队伍都与除自己外的所有队伍比赛2场 【变式3-2】第33届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家． 【答案】 【详解】解：设有家公司参加“哈洽会”，依题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴参加此次“哈洽会”的公司有家， 故答案为：． 【变式3-3】有人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，则可以列出关于的方程： ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【变式3-4】2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 题型04 数字问题 【例4】一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（   ） A．不存在 B．25 C．36 D．25或36 【答案】D 【详解】解：设十位数字为a，则个位数字．两位数的值为，根据题意，得： 解得：，． 当时，个位数字为，两位数为25， 当时，个位数字为，两位数为36． 综上，这个两位数是25或36， 故选：D． 【变式4-1】若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（   ） A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或 【答案】D 【详解】解：设较小的连续奇数为，则较大的为， 根据题意得：， 展开得：， ∴， ∴ 解得：或， ∴当时，较大的奇数为，即和， 当时，较大的奇数为，即和． 故选：D． 【变式4-2】淇淇同学在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则正数的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】解：根据题意，得：，即， 解得：， 或， ， ， ∵a为正数， ． 故选：A． 【变式4-3】如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：由题意，设这个数为， ∴， ， ， ∴， 故选：． 【变式4-4】如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为 ． 【答案】100 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 故最小的数为：9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18， 最大的数为：25， 故这6个数的和为：． 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 【变式4-5】第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 题型05 销售问题 【例5】商店购进某种商品的价格为60元/件，在试销期间发现，当每件商品售价为70元时，每天可销售30件；当每件商品售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．每件商品的售价定为多少时，商店每天的盈利会达到400元？ 【答案】每件定价为80元时，商店每天的盈利会达到400元． 【详解】解：设售价定为x元，由题意得 ． 解得，． 答：每件定价为80元时，商店每天的盈利会达到400元． 【变式5-1】在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设定价为元，则单台利润为元． 售价降低元，对应降价次数为次，销量增加台，总销量为． 总利润方程为： 故选：B． 【变式5-2】交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (2)能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)50元 (2)不能达到15000元 【详解】（1）解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， ∴， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为x元， 整理得， ∵， ∴方程无解， ∴不能达到15000元． 【变式5-3】某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元． (1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)175或185元 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设售价应定为y元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：售价应定为175或185元． 【变式5-4】学校举行课外研学活动，需要实验器材A和B共50套，已知实验器材A的售价为180元/套，实验器材B的售价为100元/套，现商家优惠销售，器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元；器材B每套按九折销售，设学校购买x套器材A (1)当时，根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x ______ B ______ ______ (2)若学校订购这批实验器材总价为5300元，则实验器材A和B各多少套？ 【答案】(1)见解析 (2)实验器材A为10套，实验器材B为40套 【详解】（1）解：∵器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元， ∴实验器材A的数量为x套，当时，实验器材A的销售单价为： （元/套）， 则实验器材B的数量为套，实验器材B的销售单价为： （元/套）， 填表如下： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x B 90 （2）解：设实验器材A为x套，则实验器材B为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴，， 答：实验器材A为10套，实验器材B为40套． 【变式5-5】2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． (1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； (2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1400元； (2)不能，理由见解析； (3)存在，（）． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以书店每套书涨价5元，估计每天获得总销售额是1400元； （2）不能，由题意可得：， 解得或， 因为x为整数且，所以都不满足题意，都舍去， 所以每套书降价x元（x为整数，）时，每天获得的销售额不能与题（1）中的总额相等； （3）存在，由题意可得：， 整理得， 解得使两种方案的销售额相等，此时． 题型06 图形问题 【例6】为迎接即将到来的暑假旅游高峰，长沙文旅计划在五一广场打造一个“湖南特色食品展”，如图，若使用34米长的挡板，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米）围成展示区矩形，与墙平行的边上预留一个2米宽的入口方便游客出入． (1)如果要围成面积为144平方米的展示区，那么的长为多少米？ (2)为尽可能容纳更多的游客，展示区面积能否拓展为180平方米？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为米 (2)不能，见解析 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则由题意得， ∴， 解得：或 当时，，故不符合题意； 当时，符合题意， ∴的长为米； （2）解：不能，理由如下： 假设展示区面积拓展为180平方米， 则 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴展示区面积不能拓展为180平方米． 【变式6-1】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选A. 【变式6-2】傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长，宽的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为， 由长方形的面积公式可得：． 故选：C． 【变式6-3】如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 【答案】和 【详解】解：设， ∵矩形的面积为， ∴， ∴，， ∵ ∴ 整理得：， 解得：，， 故答案为：和． 【变式6-4】如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)米； (3)长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由见解析． 【详解】（1）解：根据题意得：米． 故答案为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为米； （3）长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由如下： 假设长方形栅栏的面积能达到平方米， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立， 即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 题型07 分式方程的实际问题（可转成一元二次方程） 【例7】星期天早上小明从家出发到离家5千米的博物馆参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了10分钟，求小明原计划每小时走多少千米 【答案】小明原计划每小时走5千米 【详解】解：设小明原计划每小时行x千米，依题意得： 解得：或（舍） 经检验是原方程的根，且符合题意． 答：小明原计划每小时走5千米． 【变式7-1】学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设这个班级共有名同学，根据题意可得方程， 故选：B． 【变式7-2】某工程队接到一道路改建任务，需为盲人修建一条长3000米的盲道．根据要求，该工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原来计划多250米，结果提前2天完成工程．问实际每天修建盲道多少米． 【答案】750米 【详解】解：设实际每天修建盲道x米，根据题意，得 ， 解得，， 经检验，，都是该分式方程的解， 不合题意，舍去，符合题意． 答：实际每天修建盲道750米． 【变式7-3】学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1)奖品的单价8元，则奖品的单价是17元 (2)购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【详解】（1）解：设奖品的单价x元，则奖品的单价是元， 根据题意，得， 去分母，并化简得， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合实际意义， ∴，， 答：奖品的单价8元，则奖品的单价是17元； （2）解：设购买奖品a个，则购买奖品个， ∵种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍， ∴， 解得， 设总费用为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为，此时， 即购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【变式7-4】列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】材料一：共有30支队伍参赛；材料二： 【详解】材料一：解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 材料二：解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得：， 整理得：， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：松延动力机器人的平均速度是． 题型08 动态几何问题（三角形） 【例8】如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 【变式8-1】如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴， 在中，，，，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， 故选：C． 【变式8-2】如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为 ． 【答案】10 【详解】解：当运动时间为时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： 不符合题意，舍去，， 的值为． 故答案为：． 【变式8-3】如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 s后，的面积恰为． 【答案】4或6 【详解】解：设经过时间为，过点F作于点D， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 即经过或后，的面积恰为． 故答案为：4或6． 【变式8-4】如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)说法错误，见解析 (2)说法正确，见解析 【详解】（1）解：可以平分的周长说法错误．理由如下： ∵，，， ∴； ∵动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ， ∴，，，， 根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动， 根据题意，平分的周长， ∴， ∴， 解得， 大于了3秒． 故平分的周长的说法是错误的． （2）解：平分的面积说法正确．理由如下： 根据题意，得，， 若平分的面积，得， 解得（舍去）． 故当时，平分的面积． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练解方程是解题的关键． 解答一元二次方程中的动态几何问题，需结合几何图形的性质与运动特点，利用勾股定理、面积公式等建立与边长、面积等相关的等量关系，设出时间或线段长度等变量，将几何问题转化为一元二次方程，求解方程时注意根的取值要符合实际几何意义，对所得结果进行检验和取舍。 题型09 动态几何问题（四边形） 【例9】如图，在矩形中，，是的中点，连接，点从点出发，沿向点运动，到点停止，点在上，，连接，当的面积是10时，的长为 ． 【答案】2或 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在矩形中，，是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， 当在点的左侧时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 如图，当在点的右侧时， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当的面积是10时， 解得：（负值舍去） 当点在的右侧时，不合题意； 综上所述，或, 故答案为：2或． 【变式9-1】如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（    ）              图1          　　　　          图2 ①N点的运动速度是； ②的面积的最大面积为； ③当时，t的值为3或17． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动， ∴点M运动的时间为秒， 由图象可得点运动秒到达点， 故点的运动速度为，故①说法正确； 当点在上运动时，的面积最大，最大为，故②正确； 当点在上时，， 解得或（不符合题意，舍去）； 当点在上时，的面积始终保持不变，为； 当点在上运动时，， 解得：， 综上所述，当时，t的值为或17，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：A． 【变式9-2】如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 【答案】0.5或5 【详解】解：平行四边形的长宽之比为， 当时，， ∴， ∵点的速度为， ∴秒， 设Q的速度为， ∴，解得， 当， ∴， ∴秒， ∴， ∴， ∴Q点运动的速度或5cm/秒． 【变式9-3】如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 【答案】(1)经过2秒或秒； (2)经过1秒或2秒． 【详解】（1）解：设经过x秒，长为， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，， 答：经过2秒或秒，长为； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点M到达点B时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． 【变式9-4】如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或秒 (3)或或或秒时 【详解】（1）证明：设点移动的时间是， 则， ， 四边形的面积是， 即四边形的面积为定值， 在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）解：过点作于点，如图所示： ，， 则， 在中，，，若点和点间的距离是，即时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即两点从出发开始到或秒时，点和点间的距离是； （3）解：连接，如图所示： 当点组成的三角形是等腰三角形时，分三种情况： ；；； 当时，过点作于点，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质得到， ， ，即， 解得，即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ，， 在中，，，时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即当两点从出发开始到或秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ， 在中，，时，由勾股定理可得， ， 即，解得， 即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 综上所述，当两点从出发开始到或或或秒时，点组成的三角形是等腰三角形． 一、单选题 1．近年来电商发展迅速，某服装店营业额逐年下降，2022年营业额为36万元，2024年营业额为23.04万元，设该服装店2022年到2024年营业额平均每年的下降率是x，根据题意，下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D．36（1－2x）＝23.04 【答案】C 【详解】解：设年平均下降率为，根据题意得： 故选：C． 2．（24-25八年级下·广西南宁·期末）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之”．“衰分”就是指按照一定比例递减或递增的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．南宁二中图书馆为响应学校“读书节”活动，向学生全天开放．据统计，第一周进馆128人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆392人次，若进馆人次的周平均增长率相同，设进馆人次的周平均增长率为，则根据题意，可列方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为．则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小路的宽度为， 则草坪的总长度和总宽度应该为， 根据题意，得， 故选：B 4．期图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故选：B． 二、填空题 5．某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至元，且两次降价的百分率一致．则每次降价的百分率是 ． 【答案】10% 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意可得：， 解得：（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 故答案为：． 6．如图，要利用一面墙（墙长为）建猪圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形猪圈，则猪圈的边长为 m． 【答案】20 【详解】解：设的长度为，则的长度为． 根据题意，得， 解得， 则或． ， 舍去， ． 所以，猪圈的边长为是． 故答案为：20． 7．乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为，则挤奶棚的边长为 ． 【答案】60 【详解】解：设挤奶棚的边长为，则仓库的边长为． 挤奶棚和仓库均为正方形， ∴可列方程为． 整理，得， 解得． 挤奶棚的面积大于仓库的面积， 挤奶棚的边长为． 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步．意思是矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．矩形的宽为 步，长为 步． 【答案】 24 36 【详解】解：设矩形的长为x步，则矩形的宽为步． 由题意，得． 整理，得， 解得（不合题意，舍去）， ， 矩形的宽为24步，长为36步． 故答案为：24；36． 9．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿向点B以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是 ． 【答案】/10秒 【详解】设经过秒时，的面积等于． 点的速度是，移动时间为秒，，则； 点的速度是，移动时间为秒，则． ∵， ∴ 的面积． ∵， ∴， 化简得， 即， 整理为， 解得． 所以经过的时间是． 故答案为：． 三、解答题 10．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价2元 【详解】（1）解：设日平均增长率为，由题意得： 解得：（舍） 答：日平均增长率为 （2）解：设每个玩偶降价元，由题意得： 解得：（舍） 答：每个玩偶降价2元 11．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留宽的门（门不用木栏）．已知建成后所用木栏总长为，当的长是多少时，矩形苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当的长为时，矩形苗圃的面积最大，最大面积为 【详解】解：设矩形苗圃的面积为，它的一边的长为，则的长为， ． ， 当时，S随x的增大而减小， ， ． ， 当时，S有最大值，． 答：当AB的长为时，矩形苗圃ABCD的面积最大，最大面积为． 12．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系． 售价x（元/千克） … 24 26 … 销售量y（千克） … 32 28 … (1)某天这种水果的售价为元/千克，求当天该水果的销售量． (2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 【答案】(1)这种水果的售价为元/千克是，当天该水果的销售量为千克 (2)该天水果的售价为25元 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式为， 当时，， ∴这种水果的售价为元/千克是，当天该水果的销售量为千克； （2）解：由题意得，， ∴， 解得或， ∵售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克， ∴不符合题意舍去， ∴该天水果的售价为25元． 13．某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每人每月资助200元，高中学生每人每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2023年每月资助学生共支出17500元． (1)问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？ (2)2023年受资助的初、高中学生中，分别有和的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬（资助金额未变化）同时，为了激发更多受资助学生，决定对2024年被评为优秀学生的初中学生每人每月增加的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加的资助．在此奖励政策的鼓励下，2024年被评为优秀学生的初、高中学生分别比2023年的人数增加了、．这样，2024年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元． ①2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为______元，优秀高中学生每人每月的资助金额为______元；（用含a的代数式表示，不用化简） ②求a的值． 【答案】(1)该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助． (2)①，；②20． 【详解】（1）解：设该乡镇有x名高中学生获得了资助，则该乡镇有名初中学生受到资助， 由题意得： ， 解得：， 所以． 答：该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助． （2）解：①2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为； 优秀高中学生每人每月的资助金额为元． 故答案为：，． ②由题意可得： ∴， 设，则方程化为：， ∴， 解得（舍）或 ∴． 14．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，线段的长为？ (2)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或时，线段的长为 (2)不存在，理由见解析 (3)存在， 【详解】（1）解：由题意，，， ， ， ，， ， 解得或， 故或时，线段的长为； （2）解：不存在． 由题意：， 整理得， ， 方程无解，故不存在； （3）解：存在，建立如图平面直角坐标系． 由题意，，， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 解得或（舍去）． 故时，点在的垂直平分线上． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$