精品解析：河南省郑州市惠济区郑州陈中实验学校2024-2025学年七年级下学期期中测评数学试卷

2024－2025学年下学期阶段性评价卷二 七年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列选项中，判断依据是“垂线段最短”的是（ ） A. 跳高运动员的成绩 B. 两个钉子固定木条 C. 跳远运动员的成绩 D. 建筑工人砌墙 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短逐项判断解答即可． 本题考查“垂线段最短”这一几何性质的实际应用，需结合各选项情境判断． 【分析】解：A. 跳高运动员的成绩，属于垂直方向的测量，不符合题意； B. 两个钉子固定木条，利用“两点确定一条直线”，不符合题意； C. 跳远运动员的成绩，属于垂线段最短，符合题意； D. 建筑工人砌墙，属于铅垂线确定垂直方向，不符合题意； 故选：C． 2. 2025年2月，一张不锈钢箔以通体透亮和镜面般的银色光泽吸引了大家的目光，这张钢箔不仅轻盈如纸，更能轻易弯曲、折叠，甚至徒手撕开，这是中国宝武太钢集团研制出的“手撕钢”，其厚度仅为人发丝直径的六分之一——．将数据用科学记数法表示为的形式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了科学记数法，将用科学记数法表示为的形式，需确定和的值．根据科学记数法的规则，需满足，且为整数． 【分析】解：原数的小数点需向右移动5位得到，即． ∴， 故选：D． 3. 如图，下列判断正确的是（ ） A. 和是同位角 B. 和是内错角 C. 和是同旁内角 D. 和是对顶角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；若两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此定义求解即可． 【详解】解：A. 和是内错角，故该选项不正确，不符合题意； B. 和是内错角，故该选项正确，符合题意； C. 和不是同旁内角，故该选项不正确，不符合题意； D. 和是不对顶角，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 下列代数式：①；②；③；④．其中，能直接利用完全平方公式进行变形的是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，判断各代数式是否符合完全平方公式的结构形式，逐一进行分析即可作答． 【详解】解：符合完全平方公式，故①符合题意； 不符合完全平方公式，故②不符合题意； 不符合完全平方公式，故③不符合题意； 符合完全平方公式，故④符合题意； 故选：D 5. 如图，已知直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据邻补角求得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 相等的角是内错角 B. 在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种 C. 如果直线，那么 D. 过直线外一点作该直线的垂线，垂线段的长度就是这个点到这条直线的距离 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何基本概念，包括内错角、平面内直线的位置关系、平行线的传递性及点到直线的距离，根据以上知识逐一分析各选项的正确性，即可求解． 【详解】解：A：相等的角不一定是内错角．例如对顶角相等，但并非内错角，故A错误． B：在同一平面内，两条直线的位置关系仅有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，而非独立分类，故B错误． C：若直线且，根据平行线的传递性，应有，而非垂直，故C错误． D：直线外一点到直线的垂线段的长度即为点到直线的距离，符合定义，故D正确． 故选：D． 7. 一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（ ） A. 对所有人都公平 B. 无法判断是否公平 C. 先摸者获得礼品的可能性大 D. 后摸者获得礼品的可能性大 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 8. 已知正整数满足，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的运算，掌握同底数幂的乘除法的逆运算解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 9. 一块正方形空地，若将其中一组对边的边长增加，另一组对边的边长增加，那么扩建后长方形空地的面积比原来的面积增加了，则原正方形空地的边长是（ ） A. 4m B. 6m C. 8m D. 10m 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程式是解题的关键． 设原正方形边长为米，扩建后长方形的长为米，宽为米，根据面积差为83平方米，建立方程求解即可． 【详解】解：设原正方形边长为米， ． 因此，原正方形边长为4米． 故选：A． 10. 如图，将长方形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，点A落到上方的点处，与边相交于点，点恰好落到上的处．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠可得，即可得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：根据折叠可得， ∴， 又∵四边形是长方形， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个随机事件：___________________________. 【答案】随机掷一枚均匀的硬币，正面向上（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：答案不唯一，如：随机掷一枚均匀的硬币，正面向上． 故答案为：随机掷一枚均匀的硬币，正面向上（答案不唯一）． 12. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在哈尔滨举行，其会徽为“超越”．如图，是一幅印有哈尔滨亚冬会会徽且长为，宽为的长方形宣传画，通过精确测量计算，会徽图案面积约为，如果现在一片雪花飘落在宣传画上，则雪花落在会徽图案上的概率约为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率的计算，由会徽图案的面积除以长方形的面积即可． 【详解】解：由题意可得：长方形的面积为， ∴会徽图案的面积为：， ∴雪花落在会徽图案上的概率约为， 故答案为：． 13. 如图，是直线上一点，平分，于点，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、垂线的定义，先由角平分线的定义得，再由垂线的定义得，再由可得结论． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的实际应用，设两段铁丝的长分别为，，，根据题意得，即，再根据这两个正方形的面积之差是得，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：设两段铁丝的长分别为，，， 根据题意，得， ∴， ∵这两个正方形的面积之差是， ∴， ∴， ∴， ∴， 即这两个正方形的边长相差， 故答案为：3． 15. 如图，线段与射线交于点，为射线上一动点（不与点重合），连接，过点作直线，过点作直线，交于点（点与不重合）．若，则的度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，分两种情况：当点在点左边时，如图，延长交于点；当点在点右边时，如图， 交交于点．先由已知求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分以下两种情况： 当点在点左边时，如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴； 当点在点右边时，如图， 交交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂并将除法转化为乘法，再根据乘法的运算法则计算乘法即可； （2）先根据多项式乘多项式的运算法则计算多项式乘多项式，再根据多项式除单项式的运算法则计算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知点是线段上一点． （1）如图，请使用尺规过点作直线交于点，作直线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）试判断与的关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图，直线，即为所求． （2） ， 理由如下： 由（1）可知， ∴． 由（1）可知， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图中作平行线的方法（如利用同位角相等作平行线 ），过点作出与、平行的直线． （2）根据平行公理及推论，通过平行线的性质（两直线平行，同位角相等 ），逐步推导与的关系． 本题主要考查了尺规作平行线以及平行线的性质与判定，熟练掌握尺规作图方法和平行线的性质（两直线平行，同位角相等 ）是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，一个由圆柱和圆锥组成的立体组合容器中盛满水，如果将这个容器里面的水全部倒入一种底面直径为，高为的圆柱形水杯中（每个水杯都倒满）、一共需要多少个这样的杯子?（容器厚度忽略不计） 【答案】一共需要55个这样的杯子 【解析】 【分析】本题考查的是圆柱与圆锥的体积的计算，先求解圆锥与圆柱的总体积，再除以杯子的体积即可得到答案. 【详解】解：， ， 所以这个立体组合容器的容积为． 杯子的容积为． ． 答：一共需要55个这样的杯子． 19. 春风送暖，万物复苏，2025年3月12日，在第47个中国植树节来临之际，河南省开展了2025年度春季义务植树活动．林业局对本次植树活动的移植成活率进行统计并绘制了统计图（如图）． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这批树苗成活的频率稳定在_____附近，估计成活概率为_____；（精确到0.1） （2）此次植树活动的树苗主要有油松、侧柏、杨树和云杉，每种树苗的棵数均相同．如果小张随机拿取一棵树苗栽种，拿中侧柏的概率是多少? （3）此次植树活动已经种了2000棵树苗，请你估计，要使此次移植的树苗成活2160棵，还需要移植多少棵树苗？ 【答案】（1）0.9，0.9 （2） （3）还需要移植400棵树苗 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率的简单计算以及概率在实际问题中的应用，熟练掌握频率与概率的关系、概率公式是解题的关键． （1）观察统计图中频率的变化趋势，找到稳定值，依据频率估计概率的思想确定成活概率． （2）根据概率的定义，利用树苗种类数量关系，计算拿到侧柏的概率． （3）先由成活概率算出达到目标成活数所需总树苗数，再减去已种树苗数，得到还需移植数量． 【小问1详解】 解：∵ 观察统计图，成活频率在附近波动 ∴ 这批树苗成活的频率稳定在附近，估计成活概率为 故答案为：0.9，0.9 【小问2详解】 解：∵ 树苗有油松、侧柏、杨树和云杉，共种，每种棵数相同 ∴ 拿中侧柏的概率 【小问3详解】 解：∵ 成活概率为，要成活棵 ∴ 所需总树苗数为（棵） ∵ 已种棵 ∴ 还需移植（棵） 20. 如图是一艘捕鱼船的航行轨迹，该船从点出发，到达点时，发现前方有一块礁石，于是改变方向，沿着南偏西方向继续前进至点，由于点处又有一块礁石，只好重新改变方向，沿着北偏西方向航行．已知，请你判断捕鱼船现在的航行方向与开始的航行方向是否一致，并说明理由． 【答案】 捕鱼船现在的航行方向与开始的航行方向一致，理由如下： 如图，根据题意，得，， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以捕鱼船现在的航行方向与开始的航行方向一致． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质与判定进行求解即可，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 【详解】略 21. 我们规定：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：_____，_____； （2）记，，，试说明． 【答案】（1），； （2） 因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 即． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意得，，，然后通过同底数幂除法进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 22. 所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： （1）已知，则_____； （2）如果是一个完全平方式，求的值； （3）若满足，求的值． 【答案】（1）2 （2）7或 （3）80 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键． （1）由得，即可代值求解； （2）由题意得或，即可求解； （3）由，据此即可求解. 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， ∴或． 解得或． 所以的值为7或． 【小问3详解】 解：∵， 而， ， ∴． ∴． 23. （1）【探究感知】如图1，，，，求的度数； （2）【类比应用】如图2，，，，则的度数为_____； （3）【拓展延伸】如图3，，，，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）过点作，则，再根据，得，进而得，即可得，再根据可得答案； （2）过点C作，则，再由，得，进而得，由此可求出，再根据平角的定义可求出的度数； （3）过点F作，先根据角平分线的定义得，，然后根据平行线的性质得，，最后根据即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点C作，如图： ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）过点F作，如图： ∵平分，， ∴， 又∵ 平分，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年下学期阶段性评价卷二 七年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列选项中，判断依据是“垂线段最短”的是（ ） A. 跳高运动员的成绩 B. 两个钉子固定木条 C. 跳远运动员的成绩 D. 建筑工人砌墙 2. 2025年2月，一张不锈钢箔以通体透亮和镜面般的银色光泽吸引了大家的目光，这张钢箔不仅轻盈如纸，更能轻易弯曲、折叠，甚至徒手撕开，这是中国宝武太钢集团研制出的“手撕钢”，其厚度仅为人发丝直径的六分之一——．将数据用科学记数法表示为的形式，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列判断正确的是（ ） A. 和是同位角 B. 和是内错角 C. 和是同旁内角 D. 和是对顶角 4. 下列代数式：①；②；③；④．其中，能直接利用完全平方公式进行变形的是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ①④ 5. 如图，已知直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 相等的角是内错角 B. 在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种 C. 如果直线，那么 D. 过直线外一点作该直线的垂线，垂线段的长度就是这个点到这条直线的距离 7. 一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（ ） A. 对所有人都公平 B. 无法判断是否公平 C. 先摸者获得礼品的可能性大 D. 后摸者获得礼品的可能性大 8. 已知正整数满足，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 9. 一块正方形空地，若将其中一组对边的边长增加，另一组对边的边长增加，那么扩建后长方形空地的面积比原来的面积增加了，则原正方形空地的边长是（ ） A. 4m B. 6m C. 8m D. 10m 10. 如图，将长方形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，点A落到上方的点处，与边相交于点，点恰好落到上的处．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个随机事件：___________________________. 12. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在哈尔滨举行，其会徽为“超越”．如图，是一幅印有哈尔滨亚冬会会徽且长为，宽为的长方形宣传画，通过精确测量计算，会徽图案面积约为，如果现在一片雪花飘落在宣传画上，则雪花落在会徽图案上的概率约为_______． 13. 如图，是直线上一点，平分，于点，若，则的度数为______． 14. 把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差_____． 15. 如图，线段与射线交于点，为射线上一动点（不与点重合），连接，过点作直线，过点作直线，交于点（点与不重合）．若，则的度数为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知点是线段上一点． （1）如图，请使用尺规过点作直线交于点，作直线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）试判断与的关系，并说明理由． 18. 如图，一个由圆柱和圆锥组成的立体组合容器中盛满水，如果将这个容器里面的水全部倒入一种底面直径为，高为的圆柱形水杯中（每个水杯都倒满）、一共需要多少个这样的杯子?（容器厚度忽略不计） 19. 春风送暖，万物复苏，2025年3月12日，在第47个中国植树节来临之际，河南省开展了2025年度春季义务植树活动．林业局对本次植树活动的移植成活率进行统计并绘制了统计图（如图）． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这批树苗成活的频率稳定在_____附近，估计成活概率为_____；（精确到0.1） （2）此次植树活动的树苗主要有油松、侧柏、杨树和云杉，每种树苗的棵数均相同．如果小张随机拿取一棵树苗栽种，拿中侧柏的概率是多少? （3）此次植树活动已经种了2000棵树苗，请你估计，要使此次移植的树苗成活2160棵，还需要移植多少棵树苗？ 20. 如图是一艘捕鱼船的航行轨迹，该船从点出发，到达点时，发现前方有一块礁石，于是改变方向，沿着南偏西方向继续前进至点，由于点处又有一块礁石，只好重新改变方向，沿着北偏西方向航行．已知，请你判断捕鱼船现在的航行方向与开始的航行方向是否一致，并说明理由． 21. 我们规定：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：_____，_____； （2）记，，，试说明． 22. 所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： （1）已知，则_____； （2）如果是一个完全平方式，求的值； （3）若满足，求的值． 23. （1）【探究感知】如图1，，，，求的度数； （2）【类比应用】如图2，，，，则的度数为_____； （3）【拓展延伸】如图3，，，，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $