专题02 常用逻辑用语（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题02 常用逻辑用语 目录 1 类型一、充分条件、必要条件的判断及参数问题 1 类型二、充要条件的证明 9 类型三、含有量词的命题求参数问题 14 类型四、常用逻辑用语与集合结合的综合问题 16 19 类型一、充分条件、必要条件的判断及参数问题 1.命题 ①定义：可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题． ②分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． ③结构形式：“若p，则q”“p是q”等形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2.充分条件和必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作：pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 3.充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 4.充分、必要与充要条件的判定 ①如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. ②如果pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件. ③如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件. ④如pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 【重要性质】 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， ⑴若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ⑵若A=B，则p是q的充要条件. (3)若，则p是q的必要不充分条件； (4)若A=B，则p是q的充要条件； (5)若且，则p是q的既不充分也不必要条件． 例1．已知集合M，N为R的非空子集，且M≠N，则下列结论中命题p是命题q的充分条件的是（    ） A．p：，q： B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 例2．已知集合 或. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 例3．已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4．已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 变式1-1．已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 变式1-2．已知，，，若是的充分条件，求的取值范围． 变式1-3．已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 变式1-4．给定正整数，集合.若存在集合，，，同时满足下列三个条件： ①，； ②集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）； ③集合，，中各元素之和分别为，，，有； 则称集合为可分集合. (1)已知为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，； (2)当时，是不是可分集合？判断并说明理由； (3)已知为偶数，求证：“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件. 类型二、充要条件的证明 例5．已知，求证：成立的充要条件是．提示： 例6．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 变式2-1．已知，求证：的充要条件是. 变式2-2．已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 变式2-3．已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是为封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 类型三、含有量词的命题求参数问题 1.全称量词与存在童词 ①全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. ②存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 2、含有一个量词的命题的否定 ①全称量词命题的否定为，. ②存在量词命题的否定为. 【重要性质】 ①判断全称命题、存在命题是否为真命题的方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对集合M中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个，使得其不成立即可. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在集合M中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. ②根据含有量词问题的真假求参数范围的方法 ⑴对于全称量词命题“(或)”为真的问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ⑵对于存在量词命题“（或）”为真的问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 例7．已知命题是真命题，则的取值范围是 . 变式3-1．已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 变式3-2．已知命题，命题 ，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 变式3-3．已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 类型四、常用逻辑用语与集合结合的综合问题 例8．已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 变式4-1．已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 变式4-2．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 变式4-3．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 一、单选题 1．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 2．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 4．已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合A的非空真子集的个数是62个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 5．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 6．已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 7．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 8．已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 9．已知集合，. (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. (2)当集合变为时，求的非空真子集的个数； (3)若，求实数的取值范围. 10．已知集合 （1）分别判断、、是否属于集合； （2）写出所有满足集合的不超过的正偶数； （3）已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用逻辑用语 目录 1 类型一、充分条件、必要条件的判断及参数问题 1 类型二、充要条件的证明 9 类型三、含有量词的命题求参数问题 14 类型四、常用逻辑用语与集合结合的综合问题 16 19 类型一、充分条件、必要条件的判断及参数问题 1.命题 ①定义：可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题． ②分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． ③结构形式：“若p，则q”“p是q”等形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2.充分条件和必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作：pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 3.充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 4.充分、必要与充要条件的判定 ①如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. ②如果pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件. ③如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件. ④如pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 【重要性质】 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， ⑴若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； ⑵若A=B，则p是q的充要条件. (3)若，则p是q的必要不充分条件； (4)若A=B，则p是q的充要条件； (5)若且，则p是q的既不充分也不必要条件． 例1．已知集合M，N为R的非空子集，且M≠N，则下列结论中命题p是命题q的充分条件的是（    ） A．p：，q： B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 【答案】AC 【分析】结合集合的运算，根据充分条件的定义判断即可. 【详解】因为由可推出，所以p是q的充分条件，A对． 因为不能推出，所以p不是q的充分条件，B错． 若，则，则，∴p是q的充分条件，C对． 若，则，∴，∴p不是q的充分条件，D错． 故选：AC. 例2．已知集合 或. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）若，则或， 所以或. （2）“” 是 “” 的充分条件 ①当时，，即时，满足题意； ②当时，依题意有或，解得：， 综上，的取值范围是. 例3．已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将p是q的必要不充分条件转化为BA，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为p是q的必要不充分条件，所以BA， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 例4．已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2)4950 (3)充分不必要条件，理由见解析 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）由于，不符合定义，故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以， 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 变式1-1．已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论. （2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论. 【详解】（1）化简得，所以或， 所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意； 故. （2）若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 变式1-2．已知，，，若是的充分条件，求的取值范围． 【答案】 【分析】将命题对应集合，命题对应集合，再根据充分条件，转化为集合与集合的子集关系，根据子集关系求得参数的取值范围即可. 【详解】命题对应的集合为， 命题对应的集合为， 因为是的充分条件，所以， 所以，解不等式组得： 故实数的取值范围是． 变式1-3．已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 变式1-4．给定正整数，集合.若存在集合，，，同时满足下列三个条件： ①，； ②集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）； ③集合，，中各元素之和分别为，，，有； 则称集合为可分集合. (1)已知为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，； (2)当时，是不是可分集合？判断并说明理由； (3)已知为偶数，求证：“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件. 【答案】(1)，，(答案不唯一) (2)不是，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）取，按照定义列举即可； （2）方法一：用反证法即可得结论； 方法二：由题意可得所有元素和为，中元素是偶数，从而得是12的倍数，又因为时，不是12的倍数，即得矛盾； （3）按照必要不充分条件的定义证明即可 【详解】（1）解：依照题意，取时， ， 又，， 则， 所以可以取，，； （2）解：当时，不是可分集合，理由如下： 方法一： 假设存在是3的倍数且是可分集合，设，则依照题意， 故，    而这个数的和为， 故，矛盾， 所以是3的倍数时，一定不是可分集合； 方法二： 注意到所有元素和为，又中元素是偶数， 所以（为正整数）， 所以，即是12的倍数. 容易验证，当时，不是12的倍数，矛盾！ 所以当时，不是可分集合； （3）证明：因为所有元素和为，又中元素是偶数， 所以（为正整数）， 所以，因为，为连续整数， 故这两个数一个为奇数，另一个为偶数， 由（2）知道，不是3的倍数，所以一定有是3的倍数. 当为偶数时，为奇数，而， 所以一定有是3的倍数，是4的倍数， 所以既是3的倍数又是4的倍数， 从而可分的一个必要条件是：是12的倍数. 从而“是整数”是“为可分集合”必要条件. 另一方面，当时，不是可分集合，从而“是整数”不是“为可分集合”充分条件 （可以验证：当，56，时，不可分，其余满足是正整数情形，都可分） 综上可知，“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件. 【点睛】关键点睛：对于新定义题目，理解和利用定义进行解答是关键. 类型二、充要条件的证明 例5．已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 例6．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 【答案】(1)不具有性质 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据给定的定义条件，进行判断； （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）分别证明充分性和必要性. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取，或或， 均有，不满足条件②， 所以不具有性质； （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令， 解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”； （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： （1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 变式2-1．已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 变式2-2．已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 变式2-3．已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是为封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 【答案】(1)集合是封闭集 (2)命题是假命题，命题是真命题 (3)证明见解析 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题. （3）按和分类，结合反证法推理即可. 【详解】（1）对于集合，因为，所以是封闭集； 对于集合， 令， 则，所以集合是封闭集. （2）对于命题令，， 令， 则， 所以集合是封闭集，同理集合是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题若，不妨令， 则有，又因为集合是封闭集， 则，同理， 因此，所以是封闭集， 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. （3）非空集合是封闭集合， 当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合， 同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 类型三、含有量词的命题求参数问题 1.全称量词与存在童词 ①全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. ②存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 2、含有一个量词的命题的否定 ①全称量词命题的否定为，. ②存在量词命题的否定为. 【重要性质】 ①判断全称命题、存在命题是否为真命题的方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对集合M中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个，使得其不成立即可. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在集合M中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. ②根据含有量词问题的真假求参数范围的方法 ⑴对于全称量词命题“(或)”为真的问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ⑵对于存在量词命题“（或）”为真的问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 例7．已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为命题是真命题， 所以不等式在上恒成立， 等价于即可， 因为所以即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式3-1．已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解； （2）求出命题q为真命题时参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围. （2）若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为. 变式3-2．已知命题，命题 ，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】通过均为真命题，求得的取值范围，再取补集即可. 【详解】若命题为真命题， 则，∴. 若命题 ，为真命题，则，∴. ∴均为真命题时，满足，即， 其补集为， ∴命题和命题至多有一个为真命题，实数a的取值范围为． 变式3-3．已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案. 【详解】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 则，可得，解得， 因此，若为真命题，则的取值范围是. （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 真假时，；假真时，； ，都真时，； 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 类型四、常用逻辑用语与集合结合的综合问题 例8．已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的补集和交集运算即可求； （2）由题意可得是的真子集，分和两种情况讨论即可求. 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 变式4-1．已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)答案见解析 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）选①，由题意得到是的真子集，再分集合是否为空集讨论即可；选②，因为，所以，再分集合是否为空集讨论即可；选③，，所以，再分集合是否为空集讨论即可； 【详解】（1）当时，，又， ∴， 又或 ， ∴或； （2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，或，即的取值范围为 选②，因为，所以，下同选①. 选③，，所以，下同选①. 变式4-2．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 变式4-3．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 一、单选题 1．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 2．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 3．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 二、多选题 4．已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合A的非空真子集的个数是62个 C．若“”是“”的充分不必要条件，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据新定义求得，即可判断AB；根据充分条件和必要条件、集合间的包含关系求出m，即可判断CD. 【详解】时，，时，， 时，，时，， 时，，时，， ∴，集合A的非空真子集有：个．故A错误，B正确； 又若“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以，C正确； 若，当时，； 当时，， 综上，∴D正确． 故选：BCD 5．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可. 【详解】先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件. 故选：AC. 三、解答题 6．已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由集合结合一元二次方程根的判别式即可求解. （2）由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解. （3）先由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解. 【详解】（1）因为集合，所以. （2）因为是的充分条件，所以， 所以，所以. （3）因为是的必要条件，所以， 所以，所以. 7．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 8．已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或， 故实数m的取值范围为 9．已知集合，. (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. (2)当集合变为时，求的非空真子集的个数； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据充分不必要条件可知，再根据集合间的关系可得不等式，解不等式可得参数范围； （2）用列举法表示集合，进而可得其真子集的个数； （3）根据交集的结果，分情况讨论，可得参数范围. 【详解】（1）由已知是的充分不必要条件， 则， 即，无解； 或，无解， 综上所述，； （2）由， 用列举法表示可得， 则中共有个元素， 则集合的子集个数为， 所以集合的非空真子集的个数为； （3）当时，，解得，此时； 当时，若，则，即， 或，无解； 综上所述. 10．已知集合 （1）分别判断、、是否属于集合； （2）写出所有满足集合的不超过的正偶数； （3）已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 【答案】(1)、、都属于集合，理由见解析 (2)、、 证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征判断即可； （2）由集合的描述：，讨论、同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合的不超过的正偶数； （3）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立. 【详解】（1）解：因为，，，所以，、、都属于集合. （2）解：集合，， ①若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数； ②当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合的偶数为． 因此，满足集合的不超过的正偶数有、、. （3）证明：集合，则恒有， 所以，，即一切奇数都属于， 又，而， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$