第一章 有理数（知识清单）数学沪科版2024七年级上册

第一章 有理数 1. 正负数的概念：大于0的数叫做正数，在正数前面加上“-”的数叫做负数. 2. 相反意义的量具备要素：①同一属性，意义相反；②有数量，但数量不一定相同；③具有相反意义的量总是成对出现的. 3. 有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0） 4. 有理数分类： 5. 数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 6. 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 7. 数轴上点与有有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而且是唯一一点，但数轴上的点并不都表示有理数. 8. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为a，b，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：. 9. 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 10. 相反数的性质：1）任何一个数有且只有一个相反数. 2）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数仍是0. 11. 多重符号化简：进行多重符号化简时，首先要注意， 1）一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉， 2）其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”， 当“-”的个数为奇数时，结果取“-”，简称“奇负偶正”. 12. 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 13. 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数. 14. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性. 15. 两个有理数比较大小的“三情况” 1）两数同号: 同正:绝对值大的大;同负:绝对值大的反而小. 2）两数异号: 正数大于负数. 3）一数为0：正数与0: 正数大于0，负数与0: 负数小于0. 16. 有理数加法运算法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0. 4）一个数与0相加，仍得这个数. 17. 有理数加法运算率： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变. 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 18. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 19. 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 20. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 21. 有理数乘法运算率： 1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等. 2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. 3）乘法分配率：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 22. 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 23. 乘方的概念 概念 示例 乘方 求n个相同因式的积的运算，叫做乘方. 如n个a相乘： 幂 乘方的结果叫做幂. 底数 在中，a叫做底数. 指数 在中，n叫做指数. 24. 科学记数法的概念：把一个绝对值大于10的数表示为（其中1≤|a|＜10，n为正整数），这种记数法叫做科学记数法． 25. 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.例如3班共52人，男生29人，女生23人，数字“52”，“29”和“23”就是准确数. 26. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.例如π取3.14，小红体重约45kg，数字 “3.14”和“45”就是近似数. 27. 精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 序号 错误 易错题型 注意 1 混淆有理数分类 1.下列各数中，0，，，，有理数有_____4_____个 2.下列各数，，，，0，，，其中正有理数的个数为_____4_____ 1）类似的含π式子不是有理数. 2）有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数. 2 含“非”有理数的分类 1．在、、0、、2、3、4中，非负整数有_____4_____个 2．在，7中，非负有理数有_____4_____个 遇“非”思0，非后相反，非零除外. 【注意】含非有理数分类时，易忽略0. 3 数轴的画法 2．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中错误的是（   B   ） A．B． C．D． 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 4 数轴上两点之间的距离 1．已知数位于数轴上原点的左边，则数到原点的距离表示正确的是（ B  ） A． B． C． D． 2．数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（ C） A． B．1 C．或 D．0或 由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑所有可能出现的结果． 5 多重符号化简 1. 下列各数：，，，，中一定是正数有_2_个 奇负偶正 6 绝对值的化简 1. 化简： /． 2．当时，代数式的值是 2 ． 3．化简： 2或0 ．（其中） 当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 7 绝对值的代数意义 1．若，则实数的范围为 x≥1 ． 2．如，那么的范围为 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0. 8 有理数减法运算 1．将式子改写成省略括号的形式为(   B  ) A． B． C． D． 将减法转化为加法时，要注意“两变一不变”.（“两变”指：减数变相反数，减法变加号；“一不变”指：被减数不变） 9 有理数乘法运算律 1．下列变形不正确的是（ C  ） A． B． C． D． 2. 下列计算正确的是（　D　） A． B． C． D． 1）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项. 2）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换. 10 精确度的确定 1．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（  B  ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位）D．（精确到） 2．用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到百分位）； (3)（精确到百万位）； (4)亿（精确到百万位）． 【答案】(1)(2)(3)(4) 1.确定近似数的精确度就是看近似数的末位数字所在的数位， 2.对于 的精确度，由还原后的数a的末位数字所在的数位决定. 3.对于含有文字单位的近似数，精确度也是由还原后的数中近似数的末位数字所在的数位决定的. 重难点01 有理数的分类 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 【答案】见解析 【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：如图： 2．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里． ，，，，，， 整数集合：{            } 分数集合：{            } 正数集合：{            } 负数集合：{            } 【答案】整数集合：分数集合： 正数集合：负数集合： 【分析】先将各数据进行化简，然后按照整数、分数、正数、负数进行归纳即可． 【详解】解：由题意得 ，，，， 整数集合：，分数集合：， 正数集合：，负数集合：． 故答案为：整数集合：， 分数集合：， 正数集合：， 负数集合：． 【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键在于对整数，分数，正数以及负数概念的理解情况． 3．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：，0，，3，，， ①正有理数集合：｛ ｝ ②负有理数集合：｛ ｝ ③分  数 集 合：｛ ｝ ④非负 数 集合：｛ ｝ ⑤非正整数集合：｛ ｝ 【答案】，3；，，，；，，；0，，3；0，， 【分析】本题考查有理数的分类，根据正有理数、负有理数、分数、非负数、非正整数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正有理数集合：｛，3， ｝ ②负有理数集合：｛，，，， ｝ ③分数集合：｛，，，｝ ④非负数集合：｛0，，3， ｝ ⑤非正整数集合：｛0，，，｝ 故答案为：，3；，，，；，，；0，，3；0，，． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）把下列各数分别填入相应的横线上： ，0，，，，，， 正有理数：______． 非负整数：______． 分数：______． 并用数轴上的点表示以上非正整数，用“”把这些非正整数连接起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较，根据正有理数、非负整数的概念求解可得，将数轴上的点表示以上非正整数，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：，，，， 正有理数：，，； 非负整数：0，； 分数：，，； 用数轴上的点表示以上非正整数如图所示： ， 由数轴可得：． 重难点02 求一个数的相反数、绝对值、倒数 5．（2025·安徽合肥·三模）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：，则的相反数是， 故选：D． 6．（2025·安徽蚌埠·三模）下列各数中，与互为倒数的是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，解题的关键是掌握倒数的定义． 利用倒数的定义进行求解即可． 【详解】解：的倒数为2025， 故选：A． 7．（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用相反数的定义化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试） ， 【答案】 2 【分析】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可． 【详解】解：； ； ； ， 故答案为：，，，． 重难点03 利用绝对值/乘方的非负性求解 9．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如果是有理数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据可得，当时，的值最小，据此即可求解，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当取最小值时，的值最小， ∵， ∴当，的值最小，最小值为， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和平方数的非负性，即绝对值一定大于等于0，一个数的平方也一定大于等于0． 因为两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此列出方程求解的值． 【详解】解：已知 根据非负数的性质：绝对值，一个数的平方， 当两个非负数的和为0时，只能是且， 对于，解方程可得：，移项得， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·重庆永川·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】与互为相反数， 答案为：． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则，，的值分别是 ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 重难点04 绝对值的化简问题 13．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，化简 ． 【答案】b 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质化简是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：b． 14．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1)________，________，________． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值．熟练掌握数轴，化简绝对值是解题的关键． （1）由数轴可知，，，然后求解作答即可； （2）根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解： ． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：a与b互为相反数，b是最小的正整数，且c满足． (1)直接写出a、b、c的值： ， ， ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，1，5 (2) 【分析】此题考查相反数和绝对值的应用，数轴上两点的距离等知识，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）根据平方具有非负性可得，根据最小的正整数可得，根据相反数可得； （2）根据，得，，，然后再利用绝对值的性质去绝对值合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∵a与b互为相反数， ∴， 故答案为：；1；5． （2）解：由题意可知：， ∴，，， ∴ ． 16．（24-25七年级上·云南文山·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟悉绝对值的化简方法是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （2）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （3）先分同号和异号两种情况求绝对值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴． （2）解：当时， ， ∴． （3）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴的值为2或0或． 重难点05 绝对值的最值问题 17．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的性质进行去绝对值即可； （2）①根据当在和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解；②根据题意得，即可求解； （3）、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为，根据题意可知，当在线段上时，、、、到的距离之和最小，则、、、到的最小距离之和为： ，即可求解． 【详解】（1）解：当点在线段上时，有最小值，最小值是， 故答案为：； （2）①表示到和的距离之和，当在和之间时，有最小值， 的最小值为， 故答案为：； ②代数式的最小值是， ， 解得：或； （3）如图所示，、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为， 由题意得：当在线段上时，、到的距离之和最小，当在线段上时，、到的距离之和最小， 当在线段上时，、、、到的距离之和最小， 、、、到的最小距离之和为： 当在线段上时，、、、到的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 18．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 【答案】(1)3 (2)或5 (3)，或0，或1，或2 (4)6 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离意义的表示，是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （3）分三种情况：，，时分别计算，进而求解； （4）表示数轴上某点到表示2、4、三点的距离之和，即可求解． 【详解】（1）； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴，或； 故答案为：或5； （3）解：∵， 即， 当 时， ， ∴； 当时， ， 此时，，或； 当时， ， ∴， ∴x的整数值为：，或0，或1，或2： 故答案为：，或0，或1，或2： （4）解：∵可看作是数轴上表示x的点到、2、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值． 的最小值为 ． 故答案为：6． 19．（24-25七年级下·广东广州·开学考试）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为米 (4)， 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解； （4）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值； 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 故答案为：9；． 20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 重难点06 比较有理数的大小 21．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． 5，，，，，0，． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较与数轴，需要熟练掌握数轴上的数右边的总比左边的大，把各数据正确标注在数轴上是解题的关键． 先找出各数在数轴上的位置，然后根据数轴上的数，右边的数总比左边的数大即可按照从小到大的顺序进行排列． 【详解】解：，，，， 在数轴上表示各数如图： 由数轴得：． 22．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，计算绝对值和化简多重符号： （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据正数大于0，0大于负数即可得到答案； （2）根据两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴． 23．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）画数轴并在数轴上画出表示下列各数的点，并将下列各数按从小到大的顺序用“”把各数连接起来．，，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数以及比较大小，化简绝对值和多重符号，熟练掌握数轴的定义是解题关键．先化简各数，再在数轴上分别表示出来，然后根据数轴上左边的数小于右边的数，按从小到大的顺序排列即可． 【详解】解：，，， 在数轴上表示如下： ． 24．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)画数轴见解析 (2) 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、利用数轴比较有理数大小，涉及相反数的性质等知识，熟练掌握数轴性质是解决问题的关键． （1）由相反数性质，互为相反数的两个数关于原点对称，直接根据有理数在数轴上的位置即可得到的位置； （2）利用数轴性质：数轴上的有理数，右边的数大于左边的数比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：是有理数的相反数， 根据互为相反数的两个数关于原点对称，在数轴上表示如图所示： （2）解：如图所示： 由数轴性质比较有理数大小得到 重难点07 含乘方的有理数混合运算 25．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，含乘方的有理数混合计算，熟知有理数的相关计算法则是解题的关键． （1）先去绝对值，再根据有理数的加减法计算法则求解即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先计算乘方和括号内的部分，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 27．（22-23七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 28．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了含乘方有理数的混合运算，绝对值，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则． （1）根据有理数加减运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （3）先根据乘法分配律，再进行有理数加减运算即可； （4）先算乘除，再加减混合运算法则进行计算即可． （5）先算绝对值和乘方，再算括号里的，最后先算乘除，再加减混合运算法则进行计算即可； （6）先算绝对值和乘方，再算括号里的先算乘除，再加减去括号后，在算乘法，最后算减法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解： ； （6）解：原式 重难点08 有理数的简便运算 29．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，熟练掌握乘法分配律计算法则是解题的关键， （1）根据乘法分配律计算； （2）先运用乘法分配律计算后边括号，再应用乘法分配律计算 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 30．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用．把转化为，再利用乘法分配律简便计算即可求解． 【详解】解： ． 31．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案； （2）现将化为，再根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 32．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于下面这道计算题：.小明的做法是：先求原式的倒数为： 所以原式，请你仿照以上小明的做法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了乘法运算律，倒数．熟练掌握乘法运算律，倒数是解题的关键． 由题意知，原式的倒数，利用乘法运算律求解，然后求倒数即可． 【详解】解：原式的倒数 ， ∴原式． 33．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 34．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算；把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解：原式 ． 35．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）【规律探究】计算，如果一个个顺次相加显然太繁琐，但如果运用加法的运算律可简化计算、提高计算速度，如： 原式 【实例应用】应用以上的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，解答的关键是灵活运用运算律简便运算． （1）利用加法交换律和结合律简便运用即可； （2）利用加法结合律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．（2024·安徽宿州·三模）观察下列图形与等式的关系： 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 …… 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______； (2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______； (3)运用上述规律计算：． 【答案】(1)11， (2) (3)2025 【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算等知识点， （1）根据题图找出规律即可得解； （2）根据题图找出规律即可得解； （2）根据题图找出的规律计算即可得解； 能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知：第5个空白小正方形的个数为，第6个空白小正方形的个数算式应为：， 故答案为：11，； （2）解：由题图知， 图①空白部分小正方形的个数是； 图②空白部分小正方形的个数是； 图③空白部分小正方形的个数是； …， 所以图n空白部分小正方形的个数是：， 故答案为：； （3）解：由（2）问规律可计算得， ． 37．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：________； (2)类比裂项的方法，计算：； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中材料即可得结果； （2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 【详解】（1）由题意知：； （2） ， ， ， ； （3） ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的加法中的简便计算．关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法进行简便． 重难点09 有理数混合运算的实际应用 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某食品厂生产袋装食品，每袋标准质量为，从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分用正数或负数，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 袋数 3 1 2 1 2 1 (1)如果每袋的质量与标准质量的误差在以内，则为优等品，这10袋中，优等品共有多少袋？ (2)求抽样检测的10袋食品的总质量是多少? 【答案】(1)优等品共有4袋； (2)抽样检测的10袋食品的总质量是． 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正数和负数的意义，有理数的混合运算法则． （1）利用正数和负数的意义，有理数的加法运算法则解答； （2）利用正数和负数的意义，有理数的加减混合运算法则解答． 【详解】（1）解：（袋）， 答：优等品共有4袋； （2）解： ， 答：抽样检测的10袋食品的总质量是． 39．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)2 (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口67厘米 (3)青蛙在第25次跳出了井口 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数加减法的实际应用； （1）以井底为起点0，正数加负数可以计算出青蛙距离井底的距离； （2）用井深减去青蛙第七次跳完以后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离； （3）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口． 【详解】（1）解：井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住，正数表示上跳，负数表示下滑， 第1跳跃以后：，表示青蛙在距离井底7厘米处， 第2跃以后：，表示青蛙在距离井底5厘米处， 第3跳跃以后：，表示青蛙在距离井底2厘米处， 第4跳跃以后：，表示青蛙在距离井底12厘米处， 第5跳跃以后：，表示青蛙在距离井底18厘米处， 第6跳跃以后：，表示青蛙在距离井底17厘米处， 第7跃以后：，表示青蛙在距离井底23厘米处， 当青蛙跳完第三次以后距离井底最近为2厘米； （2）解：第7跃以后：，表示在井底的上方，距离井底23厘米， 此时青蛙距离井口的距离（厘米）， 答：在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口67厘米； （3）解：每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同， 当青蛙跳完3周以后，距离井底的距离（厘米），此时青蛙完成了21次跳跃， 青蛙继续跳跃情况为：，表示距离井底91厘米， ， 青蛙在第25次跳出了井口， 答：青蛙在第25次跳出了井口． 40．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：公里）（规定向南走为正，向北走为负；0表示空载，表示载有乘客，且乘客数不多于4人都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 里程 载客 0 (1)已知出租车每公里耗油约立方米，王师傅开始营运前油箱里有12立方米天然气，若少于5立方米，则需要添加天然气，请通过计算说明王师傅这天上午6次里程中途是否需要添加天然气． (2)已知载客时3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里后每公里收费2元，问王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为多少元？ 【答案】(1)王师傅这天上午中途不需要加油 (2)王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为172元 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的混合运算的应用，掌握绝对值的计算方法是解决问题的关键． （1）先求出总里程，然后求得所耗油量，再根据耗油量和油箱内油量情况进行判断； （2）求出载客超过3公里后的收费然后在加上起步的价格，求和即可． 【详解】（1）解：公里， ， ∴王师傅这天上午中途不需要加油； （2）解： 元， 即王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为172元． 41．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）随着电商的兴起，很多农产品实行了网上售卖，小明把自家种植的山药也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖斤山药，但由于种种原因，实际每天的销量与斤相比有出人，下表是某一周的销售情况（超过斤的部分记为正，不足斤的部分记为负．单位：斤）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量（斤） (1)根据记录的数据，销量最多的一天比销量最少的一天多卖出______斤； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理山； (3)若山药每斤按元出售，每斤山药需要小明支付的平均运费是元，那么小明本周销售山药实际共得多少元？ 【答案】(1) (2)本周实际销量达到了计划数量，理由见解析 (3)小明本周一共收入元 【分析】本题主要考查正负数的应用，有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算发展是解题的关键． （1）根据最大正数和最小负数的差值得出结论即可； （2）根据所有差值的和的正负来判断即可； （3）根据售价运费收入即可求解． 【详解】（1）解：销量最多的一天比销量最少的一天多卖出（斤）， 故答案为：； （2）本周实际销量达到了计划数量． ， 本周实际销量达到了计划数量； （3）（） （元） 答：小明本周一共收入元． 42．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某原料仓库某一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示） 进出数量（单位：吨） 2 5 进出次数（单位：次） 2 4 2 3 3 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由． (2)根据实际情况，现有两种方案：方案1：运进每吨原料费用26元，运出每吨原料费用29元；方案2：运进和运出费用相同，都是每吨27元．从节约运费的角度考虑，请通过计算说明选择哪种方案比较合适． 【答案】(1)减少了．理由见解析 (2)选择方案二比较合适，见解析 【分析】本题考查正数和负数及有理数四则运算的应用，理解正数和负数的意义是解题的关键． （1）求出这几次进出数量的和，根据“和”的符号得出答案； （2）求出两种方案的费用即可． 【详解】（1）解：减少了． 理由：（吨）； （2）解：运进数量：（吨）， 运出数量：（吨）， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴选择方案二比较合适． 重难点10 与有理数混合运算有关的新定义问题 43．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）对于有理数定义运算，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，理解新定义的含义是解本题的关键，根据新定义运算的含义列式：，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 44．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）定义一种新运算，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，准确理解新定义，选择对应的计算方式是解题的关键．根据新定义，选择对应的计算方式，列式，再计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 45．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）对于有理数、定义一种新运算“”，规定：． 例如：． (1)填空：______，______，______； (2)若，则的结果为______； (3)判断“”运算是否满足交换律并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)“”运算满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数和实数的知识，解题的关键是根据题目新定义运算，有理数的加减运算，进行解答，即可． （1）根据有理数、定义一种新运算“”，规定：，进行计算，即可； （2）新运算的规定计算，即可； （3）新运算的规定计算，验证是否满足交换律，即可． 【详解】（1）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴； ； ； 故答案为：，，． （2）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴当时，， ∴． （3）解：“”运算满足交换律，理由如下： 当时，， 此时，； 当，，， 此时：； 当时，，， 此时：； 综上：， ∴“”运算满足交换律． 46．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）对于任意有理数定义新运算“★”，规则如下：，如． (1)求的值； (2)请你判断是否成立？并给出证明． 【答案】(1)4 (2)成立，见解析 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义的算法是解答本题的关键． （1）根据新定义转化为有理数的混合运算求解即可； （2）根据新定义分别计算和即可得出结论． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）成立， 理由：由题意可得，， 所以，所以成立． 重难点11 科学记数法 47．（2025·安徽·中考真题）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据521.7亿用科学记数法表示为； 故选C． 48．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）数据显示，随着访问使用量急速上升，2月1日已经成为目前最快突破3000万日活跃用户量的应用程序．其中数据3000万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3000万， 故选C． 49．（2025·安徽蚌埠·三模）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 50．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【答案】(1)34900双 (2)棵 【分析】（1）根据“消费一次性筷子约900亿双，耗费木材”列式计算即解答； （2）根据“我国每年消费一次性筷子约900亿双耗费木材立方米”，结合一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材列式计算即可解答． 【详解】（1）解：（双）． 答：1立方米的木材约能生产34900双一次性筷子． （2）解：棵． 答：2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐棵生长了20年的大树． 【点睛】本题考查科学记数法的应用、整式除法等知识点．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 重难点12 近似数 51．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）超越数主要有自然常数（）和圆周率（）．自然常数的知名度比圆周率低很多，但实际上自然数是数学中的一个重要常数，它与指数函数、对数函数、复利增长、概率统计、微积分以及物理学和工程学等领域有着广泛的应用．的出现使得我们能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的增长、衰减和变化过程．其数值约为：，下列对自然常数取近似数正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法进行判断即可求解，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：、自然常数精确到十分位是，该选项符合题意； 、自然常数精确到是，该选项不符合题意； 、自然常数精确到千分位是，该选项不符合题意； 、自然常数精确到是，该选项不符合题意， 故选：． 52．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于四舍五入得到的近似数，下列说法正确的是（  ） A．精确到十分位 B．精确到千位 C．精确到万位 D．精确到十万位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数和有效数字的知识，从左边第一个不是 0 的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字，最后一位所在的位置就是精确度． 先将，还原成原数 800000 ，再看一下 8后面的0 在什么位上，即精确到了哪一位． 【详解】，精确到了万位， 故选C． 53．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 【答案】B 【分析】本题主要考查了近似数和有效数字，“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．根据近似数的精确度逐项判断即可． 【详解】解：（精确到），选项A正确，不符合题意； （精确到千分位），选项B错误，符合题意； （精确到百分位），选项C正确，不符合题意； （精确到），选项D正确，不符合题意， 故选：B． 54．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共731017个字，把这个数改写成精确到万位的近似数是 ．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值，也考查了近似数． 【详解】解：数731017改写成精确到万位的近似数是万， 万， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 1. 正负数的概念：________的数叫做正数，在正数前面加上“________”的数叫做负数. 2. 相反意义的量具备要素：①同一________，意义________；②有________，但数量不一定________；③具有相反意义的量总是________出现的. 3. 有理数：________和________统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为________且m________0） 4. 有理数分类： 5. 数轴的定义：在数学中，通常________上的________表示数，这条直线叫做数轴. 6. 数轴有三要素：________、________、________，三者缺一不可. 7. 数轴上点与有有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个________来表示，而且是唯一________，但数轴上的点并不都表示有理数. 8. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为a，b，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：. 9. 相反数的概念：只有________的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 10. 相反数的性质：1）任何一个数有且只有________相反数. 2）正数的相反数是________；负数的相反数是________；0的相反数仍是________. 11. 多重符号化简：进行多重符号化简时，首先要注意， 1）一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“________”去掉， 2）其次要看“-”的个数，当“-”的个数为________时，结果取“________”， 当“-”的个数为________时，结果取“________”，简称“________”. 12. 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到________的距离叫做a的绝对值，记作________． 13. 绝对值的代数意义：正数的绝对值是________；0绝对值是________；负数的绝对值是________. 14. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与________的距离，它具有________. 15. 两个有理数比较大小的“三情况” 1）两数同号: 同正:绝对值大的________;同负:绝对值大的反而________. 2）两数异号: 正数________负数. 3）一数为0：正数与0: 正数________0，负数与0: 负数________0. 16. 有理数加法运算法则：1）同号两数相加，取________的符号，并把________相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值________的加数的符号，并用________的绝对值减去________的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为________. 4）一个数与0相加，仍得________. 17. 有理数加法运算率： 1）加法交换律：两个数相加，交换________的位置，和________. 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数________，或者先把后两个数________，________不变. 18. 有理数的减法法则：减去一个数，等于________这个数的________. 19. 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，________得正，________得负，并把________相乘. 2）0与任何数相乘都得________. 20. 倒数的概念：乘积是________的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 21. 有理数乘法运算率： 1）乘法交换律：两个数相乘，交换________的位置，积________. 2）乘法结合律：三个数相乘，先把前________相乘，或者先把后________相乘，积________. 3）乘法分配率：一个数同两个数的________相乘，等于把这个数________同这两个数相乘，再把积________. 22. 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于________的数，等于乘这个数的________. 2）两数相除，同号得________，异号得________，并把________相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得________. 23. 乘方的概念 概念 示例 乘方 求n个________因式的积的运算，叫做乘方. 如n个a相乘： 幂 乘方的________叫做幂. 底数 在中，________叫做底数. 指数 在中，________叫做指数. 24. 科学记数法的概念：把一个绝对值大于________的数表示为（其中________≤|a|＜________，n为________），这种记数法叫做科学记数法． 25. 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示________的量，成为准确数.例如3班共52人，男生29人，女生23人，数字“52”，“29”和“23”就是准确数. 26. 近似数：接近________而不等于________的数，叫做这个数的近似数.例如π取3.14，小红体重约45kg，数字 “3.14”和“45”就是近似数. 27. 精确度：近似数与精确数的________，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 序号 错误 易错题型 注意 1 混淆有理数分类 1.下列各数中，0，，，，有理数有________个 2.下列各数，，，，0，，，其中正有理数的个数为_________ 1）类似的含π式子不是有理数. 2）有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数. 2 含“非”有理数的分类 1．在、、0、、2、3、4中，非负整数有_________个 2．在，7中，非负有理数有________个 遇“非”思0，非后相反，非零除外. 【注意】含非有理数分类时，易忽略0. 3 数轴的画法 2．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中错误的是（    ） A．B． C．D． 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 4 数轴上两点之间的距离 1．已知数位于数轴上原点的左边，则数到原点的距离表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（ ） A． B．1 C．或 D．0或 由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑所有可能出现的结果． 5 多重符号化简 1. 下列各数：，，，，中一定是正数有__个 奇负偶正 6 绝对值的化简 1. 化简： ． 2．当时，代数式的值是 ． 3．化简： ．（其中） 当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 7 绝对值的代数意义 1．若，则实数的范围为 ． 2．如，那么的范围为 ____ 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0. 8 有理数减法运算 1．将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 将减法转化为加法时，要注意“两变一不变”.（“两变”指：减数变相反数，减法变加号；“一不变”指：被减数不变） 9 有理数乘法运算律 1．下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 2. 下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 1）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项. 2）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换. 10 精确度的确定 1．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位）D．（精确到） 2．用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到百分位）； (3)（精确到百万位）； (4)亿（精确到百万位）． 1.确定近似数的精确度就是看近似数的末位数字所在的数位， 2.对于 的精确度，由还原后的数a的末位数字所在的数位决定. 3.对于含有文字单位的近似数，精确度也是由还原后的数中近似数的末位数字所在的数位决定的. 重难点01 有理数的分类 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 2．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里． ，，，，，， 整数集合：{            } 分数集合：{            } 正数集合：{            } 负数集合：{            } 3．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：，0，，3，，， ①正有理数集合：｛ ｝ ②负有理数集合：｛ ｝ ③分  数 集 合：｛ ｝ ④非负 数 集合：｛ ｝ ⑤非正整数集合：｛ ｝ 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）把下列各数分别填入相应的横线上： ，0，，，，，， 正有理数：______． 非负整数：______． 分数：______． 并用数轴上的点表示以上非正整数，用“”把这些非正整数连接起来． 重难点02 求一个数的相反数、绝对值、倒数 5．（2025·安徽合肥·三模）的相反数是（ ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽蚌埠·三模）下列各数中，与互为倒数的是（   ） A．2025 B． C． D． 7．（24-25七年级上·山东济宁·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试） ， 重难点03 利用绝对值/乘方的非负性求解 9．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如果是有理数，则的最小值是 ． 10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知，则 ． 11．（24-25七年级上·重庆永川·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则，，的值分别是 ． 重难点04 绝对值的化简问题 13．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，化简 ． 14．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1)________，________，________． (2)化简：． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：a与b互为相反数，b是最小的正整数，且c满足． (1)直接写出a、b、c的值： ， ， ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 16．（24-25七年级上·云南文山·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 重难点05 绝对值的最值问题 17．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 18．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 19．（24-25七年级下·广东广州·开学考试）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 重难点06 比较有理数的大小 21．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． 5，，，，，0，． 22．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 23．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）画数轴并在数轴上画出表示下列各数的点，并将下列各数按从小到大的顺序用“”把各数连接起来．，，，，． 24．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 重难点07 含乘方的有理数混合运算 25．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）计算下列各式： (1)； (2)． 26．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）计算： 27．（22-23七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 28．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6) 重难点08 有理数的简便运算 29．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 30．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 31．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 32．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于下面这道计算题：.小明的做法是：先求原式的倒数为： 所以原式，请你仿照以上小明的做法计算：． 33．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 34．（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 35．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）【规律探究】计算，如果一个个顺次相加显然太繁琐，但如果运用加法的运算律可简化计算、提高计算速度，如： 原式 【实例应用】应用以上的方法计算： (1)； (2)． 36．（2024·安徽宿州·三模）观察下列图形与等式的关系： 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 …… 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______； (2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______； (3)运用上述规律计算：． 37．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：________； (2)类比裂项的方法，计算：； (3)探究并计算：． 重难点09 有理数混合运算的实际应用 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某食品厂生产袋装食品，每袋标准质量为，从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分用正数或负数，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 袋数 3 1 2 1 2 1 (1)如果每袋的质量与标准质量的误差在以内，则为优等品，这10袋中，优等品共有多少袋？ (2)求抽样检测的10袋食品的总质量是多少? 39．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 40．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我市出租车司机王师傅2024年9月8日上午从地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：公里）（规定向南走为正，向北走为负；0表示空载，表示载有乘客，且乘客数不多于4人都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 里程 载客 0 (1)已知出租车每公里耗油约立方米，王师傅开始营运前油箱里有12立方米天然气，若少于5立方米，则需要添加天然气，请通过计算说明王师傅这天上午6次里程中途是否需要添加天然气． (2)已知载客时3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里后每公里收费2元，问王师傅这天上午走完6次里程后的营业总额为多少元？ 41．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）随着电商的兴起，很多农产品实行了网上售卖，小明把自家种植的山药也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖斤山药，但由于种种原因，实际每天的销量与斤相比有出人，下表是某一周的销售情况（超过斤的部分记为正，不足斤的部分记为负．单位：斤）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量（斤） (1)根据记录的数据，销量最多的一天比销量最少的一天多卖出______斤； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理山； (3)若山药每斤按元出售，每斤山药需要小明支付的平均运费是元，那么小明本周销售山药实际共得多少元？ 42．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某原料仓库某一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示） 进出数量（单位：吨） 2 5 进出次数（单位：次） 2 4 2 3 3 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由． (2)根据实际情况，现有两种方案：方案1：运进每吨原料费用26元，运出每吨原料费用29元；方案2：运进和运出费用相同，都是每吨27元．从节约运费的角度考虑，请通过计算说明选择哪种方案比较合适． 重难点10 与有理数混合运算有关的新定义问题 43．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）对于有理数定义运算，求的值． 44．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）定义一种新运算，求的值． 45．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）对于有理数、定义一种新运算“”，规定：． 例如：． (1)填空：______，______，______； (2)若，则的结果为______； (3)判断“”运算是否满足交换律并说明理由． 46．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）对于任意有理数定义新运算“★”，规则如下：，如． (1)求的值； (2)请你判断是否成立？并给出证明． 重难点11 科学记数法 47．（2025·安徽·中考真题）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）数据显示，随着访问使用量急速上升，2月1日已经成为目前最快突破3000万日活跃用户量的应用程序．其中数据3000万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 49．（2025·安徽蚌埠·三模）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 50．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 重难点12 近似数 51．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）超越数主要有自然常数（）和圆周率（）．自然常数的知名度比圆周率低很多，但实际上自然数是数学中的一个重要常数，它与指数函数、对数函数、复利增长、概率统计、微积分以及物理学和工程学等领域有着广泛的应用．的出现使得我们能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的增长、衰减和变化过程．其数值约为：，下列对自然常数取近似数正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 52．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于四舍五入得到的近似数，下列说法正确的是（  ） A．精确到十分位 B．精确到千位 C．精确到万位 D．精确到十万位 53．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 54．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共731017个字，把这个数改写成精确到万位的近似数是 ．（用科学记数法表示） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$