精品解析：广东省大湾区2024-2025学年高二下学期期末统一测试数学试卷

大湾区2024—2025学年高二年级第二学期期末统一测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知随机变量，那么的值为（ ） A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得出，且有，进而根据对称性求得即可. 【详解】已知随机变量，， 则， 根据正态密度曲线的对称性得出 故选：A. 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和三角函数的导数公式及复合函数的求导法则进行求解即可. 【详解】由， 故选：D 3. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解. 【详解】由题意知，，解得， 所以. 故选：D 4. 有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（ ） A. 243 B. 125 C. 60 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】每名学生都有种选择方法， 所以不同的报名方法的种数为. 故选：A 5. 已知变量与变量线性相关，与的样本相关系数为，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点逐项分析判断. 【详解】因为与的样本相关系数为，可知与为负相关，故A，B错误； 又因为经验回归方程过样本中心点， 对于，则，故C错误； 对于，则，故D正确． 故选：D. 6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出，再结合互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，， 所以， 所以， 故选：A. 7. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数及其导函数的图象为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为，则，则的图象为抛物线， 对于A选项，如下图所示： 当或时，，则函数在区间、上均为减函数， 不合乎题意，A错； 对于B选项，由图可知，，，则函数在上为增函数， 不合乎题意，B错； 对于C选项，由图可知，，，则函数在上为增函数， 合乎题意，C对； 对于D选项，如下图所示： 当或时，，则函数在区间、上均为减函数， 不合乎题意，D错. 故选：C. 8. 如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有，，，，五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】分水闸关闭，水闸打开时，同时关闭，水闸打开时，同时关闭，三种情况，去掉重复的情况，得到答案. 【详解】①水闸关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况， ②若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况， ③若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况， 上面②③两种情况有重复的1种情况，就是水闸打开，同时关闭的情况， 故共有种情况. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 两个具有相关关系的变量的一组数据为，，…，，其经验回归方程为，记，，决定系数为；若将数据调整为，，…，，其经验回归方程为，记，决定系数为，则（ ） 附：，， A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由以及的计算公式，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，А错误； 的计算中，数据不变，也不变，所以不变，B正确； ，C正确； 由于，变成了，， ，从而，都不变，所以，D错误. 故选：BC 10. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令求出，即可求出，从而判断A；利用赋值法判断B；写出展开式的通项，即可判断C；令，则，设，求导，再利用赋值法计算即可判断D. 【详解】令，得，解得，故A正确； 所以， 令，得， 令，得， 所以，故B正确； 展开式的第项（且）， 所以，故C错误； 令，则， 设， 则， 令，得， 又， 所以 ，故D正确. 故选：ABD 11. 设函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为． B. 曲线在点处的切线方程为． C. 函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值． D. 若方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程有两个不等实根转化为与有两个交点，再利用数形结合即可求解. 【详解】对A：由题意可知的定义域为， ， 令，即，解得或， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 故A错误； 对B：切线斜率， 曲线在点处的切线方程为， 即，故B正确； 对C：当时，取得极大值为， 当时，取得极小值为， 因为，所以极大值小于极小值，故C正确； 对D：由上分析可作出的图象如图所示 要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点， 由图可知，， 所以实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用求过点处的切线方程的方法及零点的存在性定理判断方程的根，再利用导数法求函数的极值及作出函数的大致图象，将方程有两个不等实根转化为与有两个交点即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，则质点回到原点的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，质点移动次回到原点，其中有次是向左移动，次是向右移动，利用分步乘法计数原理、组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，共有种结果， 若质点移动次回到原点，则其中有次是向左移动，次是向右移动， 因此，所求概率为. 故答案为：. 13. 函数的单调递减区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数，求导，然后结合函数的定义域为，由求解. 【详解】函数的定义域为 ， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间是， 故答案为：. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球到乙、丙手中的概率为，可得与的关系，然后构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】设第次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球给乙、丙的概率为：， 故，则， 即数列为等比数列，其首项为，公比为， 则，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2． （1）求的值； （2）求展开式中含的项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用展开式的二项式系数，列出方程，即可求解； （2）由（1），求得展开式的通项，确定的值，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 解：因为的展开式中，第4项与第3项的二项式系数的比值为2， 可得，解得. 【小问2详解】 解：由（1）知，二项式， 可得展开式的通项为， 令，解得，所以展开式中的项为. 16. 已知函数在处取得极大值. （1）求的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值是，最小值是 【解析】 【分析】（1）根据得方程组后进行求解，还需检验极值是否确切取到； （2）先求出上的极值，然后和端点值进行比较从而得到最值. 【小问1详解】 ，则， 由题意知，即， 解得，此时， 时是的变号零点. 于是符合题意 【小问2详解】 由（1）知， ，， 令，得到，则递增； 令，得到，则递减， 于是在上只有极小值， 又， 故在区间上的最大值是，最小值是 17. 我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳.上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射。某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有45人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣. （1）请补充完整2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 合计 （2）从兴趣小组100人中任选1人，A表示事件“选到的人是男生”，B表示事件“选到的人对‘夸父一号’探测卫星相关知识不感兴趣”，求； （3）按随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取4名男生和3名女姓，组成一个容量为7的样本，再从抽取的7人中随机抽取3人，随机变量表示3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 45 10 55 女生 20 25 45 合计 65 35 100 ；能认为 （2） （3）的分布列如下表： 0 1 2 3 ；【解析】 【分析】（1）由题设数据填写列联表，并计算卡方，进行独立性检验； （2）由条件概率的计算公式求解即可； （3）求出的可能取值以及相应概率，进而列出分布列，计算期望. 【小问1详解】 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 45 10 55 女生 20 25 45 合计 65 35 100 ， 对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关． 【小问2详解】 由题意可得，，则. 【小问3详解】 由题意可知，的可能取值为 ，； ，. 则的分布列如下表： 0 1 2 3 . 18. 已知函数，函数. （1）若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. ①求的值； ②当两点不重合时，求线段的长； （2）若，使得不等式成立，求的最小值. 【答案】（1）①或1；② （2）1 【解析】 【分析】（1）利用导数求的切线，再由切线与也相切，利用判别式即可求出；根据确定点，即可求； （2）转化为原命题的非命题，利用单调性及恒成立探索时非命题成立，可得当时原命题成立，再验证能取得即可得解. 【小问1详解】 ①，设 ， 切点. 方程，即， 联立， 由，可得或1； ②当时，，此时重合，舍去. 当时，，此时， 此时. 【小问2详解】 令， ，则， 所以在上单调递增， 若对，均有成立，即恒成立， 或， 对，当时，设， 若，即时，， 令，则， 设，则，所以，所以单调递减， 所以，即； 若，即时，， 令，则， 令，则， 所以单调递增，又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以， 均有. 因为，均有的否定为，使得不等式成立， 所以由，使得不等式成立，可得，其中包含情况， 而时，单调递增，注意到 在上递减，在上递增，成立，符合. 综上：的最小值为1. 【点睛】关键点点睛：本题第二问条件为存在性问题，利用命题与命题的否定之间的真假关系，转化为研究恒成立问题是本题关键点之一，其次证明均有时，变换主元，转为关于的二次函数，利用二次函数分类讨论，是解决问题的关键所在. 19. 圆周上有个不同的点，现将这些点两两连线，要求每点只和其它一个点连线，且这些连线在圆内无交点．例如：时，共有4个点，以1，2，3，4表示，共有两种正确连线方式，如图1，2所示，而图3为错误连接方式（连线在圆内有交点，不合要求）． （1）当时，求满足要求的连线方法总数； （2）已知满足要求的每一种连线方法出现的概率都相等，如时，出现图1和图2所示连线方法的概率均为．记一次连线方法中，共有对相邻的两个点连在一起， ①当时，求的分布列和期望； ②已知：对任意随机变量，有．记满足条件的连线方法总数为，的期望为．求（用和表示）． 【答案】（1）5 （2）①分布列为 2 3 4 数学期望为 ② 【解析】 【分析】（1）给6个点合适代号，再分三类讨论即可； （2）①分类讨论出所有合适情况，再按步骤列出其分布列计算其期望即可； ②分和讨论即可. 【小问1详解】 当时，有6个点围绕在一个圆周围. 以1、2、3、4、5、6表示， 由题意可知，满足要求的连线方法，任意一条连线后，其同侧不能剩余奇数个点，故1必不与奇数3、5配对. 按点1的配对情况，分为三类： ①1与2配对：另4点3、4、5、6的配对情况，同时共有4个点的配对方法数相同， 故有2种方法； ②1与6配对：由对称性可知同1与2配对的方法数，故有2种方法； ③1与4配对：2必与3配对，6必与5配对，故只有1种方法. 综上，完成这件事的方法数共有种方法， 列举如下： （12）（34）（56）；（12）（36）（45）；（16）（23）（45）；（16）（25）（34）；（14）（23）（56）. 即满足要求的连线方法总数为5. 【小问2详解】 ①当时，有8个点围绕在一个圆周围. 以1、2、3、4、5、6、7、8表示， 由题意可知，满足要求的连线方法，任意一条连线后，其同侧不能剩余奇数个点，故1不能与3、5、7配对. 故按点1的配对情况，可分为两类： 12或18配对： 若12配对，则另6点3、4、5、6、7、8的配对情况， 同时共有6个点的配对方法数相同，故有5种方法； 若18配对，由对称性可知与12配对方法相同，故也有5种方法； 故有种方法； 14或16配对：由对称性，这两类配对方法也相同. 不妨设14配对，由题意，23必配对.而另外5、6、7、8的配对情况，即同时共有4个点的配对方法数，有2种方法； 故有种方法； 综上，完成这件事的方法数共有种方法. 已知满足要求的每一种连线出现的概率都相等，则每一种方法的概率均为， 记一次连线中，共有Y对相邻的两个点连在一起， 14种方法中的有种方法；的有种；的有种； 则Y的所有可能值为， ； ； . 故Y的分布列为： 2 3 4 ，故Y的期望为. ②当时，显然有，此时， 当时，若第个点与相邻点相连，记随机变量，则 若第个点不与相邻点相连，记随机变量，则 由于有对相邻的两个点，则 则 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大湾区2024—2025学年高二年级第二学期期末统一测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知随机变量，那么的值为（ ） A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（ ） A. 243 B. 125 C. 60 D. 120 5. 已知变量与变量线性相关，与的样本相关系数为，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数及其导函数的图象为（    ） A. B. C. D. 8. 如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有，，，，五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 两个具有相关关系的变量的一组数据为，，…，，其经验回归方程为，记，，决定系数为；若将数据调整为，，…，，其经验回归方程为，记，决定系数为，则（ ） 附：，， A. B. C. D. 10. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为． B. 曲线在点处的切线方程为． C. 函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值． D. 若方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，则质点回到原点的概率为__________． 13. 函数的单调递减区间是__________. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2． （1）求的值； （2）求展开式中含的项． 16. 已知函数在处取得极大值. （1）求的值； （2）求函数在区间上的最值. 17. 我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳.上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射。某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有45人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣. （1）请补充完整2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 合计 （2）从兴趣小组100人中任选1人，A表示事件“选到的人是男生”，B表示事件“选到的人对‘夸父一号’探测卫星相关知识不感兴趣”，求； （3）按随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取4名男生和3名女姓，组成一个容量为7的样本，再从抽取的7人中随机抽取3人，随机变量表示3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 已知函数，函数. （1）若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. ①求的值； ②当两点不重合时，求线段的长； （2）若，使得不等式成立，求的最小值. 19. 圆周上有个不同的点，现将这些点两两连线，要求每点只和其它一个点连线，且这些连线在圆内无交点．例如：时，共有4个点，以1，2，3，4表示，共有两种正确连线方式，如图1，2所示，而图3为错误连接方式（连线在圆内有交点，不合要求）． （1）当时，求满足要求的连线方法总数； （2）已知满足要求的每一种连线方法出现的概率都相等，如时，出现图1和图2所示连线方法的概率均为．记一次连线方法中，共有对相邻的两个点连在一起， ①当时，求的分布列和期望； ②已知：对任意随机变量，有．记满足条件的连线方法总数为，的期望为．求（用和表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $