精品解析：北京市第一零九中学2024～2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

北京市第一零九中学2024～2025学年度第二学期期中检测 八年级数学试卷 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　） A. 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 3. 下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，B（0，3），P为线段AB的中点，则线段OP的长为（　　） A. B. 2 C. D. 5 5. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 6. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 7. 小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系，下表给出y与x的一些对应值： 码数x 26 30 34 42 长度y cm 18 20 22 26 根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（　　） A. 24cm B. 25cm C. 26cm D. 38cm 8. 如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论： ①正方形ABCD的面积等于的一半； ②正方形EFGH的面积等于的一半； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③ D. ①②③ 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 计算：______． 10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 11. 如图，在数轴上点A表示的实数是________ 12. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OBCD是正方形，点B（1，0），请写出一个图象与该正方形有公共点的函数表达式：______． 14. 如图，直线与交于点，则不等式的解集为______． 15. 已知直线及线段，点在直线上，点在直线外．如图． （1）在直线上取一点（不与点重合），连接； （2）以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（与点位于直线异侧）； （3）连接交于点，连接，． 根据以上作图过程及所作图形，在下列结论①；②；③中，一定正确的是__________（填写所有正确的序号）． 16. 如图，在菱形中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则_______，_______. 三、解答题（共52分，17-18题，每题4分，19-24题，每题5分，25-26题，每题7分） 17. 计算：． 18. 如图，在平行四边形中，点E，F分别是，的中点． 求证：． 19. 已知，，求代数式的值． 20. 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，．求CD的长． 21. 已知一次函数与的图象都经过点（2，1）． （1）求k，b的值； （2）在同一直角坐标系中画出这两个一次函数的图象，并结合函数图象，直接写出当x取何值时，． 22. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，求，的长． 23. 学校组织初二年级学生去参加社会实践活动，学生分别乘坐甲车、乙车，从学校同时出发，沿同一路线前往目的地．在行驶过程中，甲车先匀速行驶1小时后，提高速度继续匀速行驶，当甲车超过乙车40千米后停下来等候乙车，两车相遇后，甲车和乙车一起按乙车原来的速度匀速行驶到达目的地．如图是甲、乙两车行驶的全过程中经过的路程y（千米）与出发的时间x（小时）之间函数关系图象．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的路程为______千米； （2）乙车行驶的速度为______千米／时，甲车等候乙车的时间为______小时； （3）甲、乙两车出发________小时，第一次相遇； （4）甲、乙两车出发________小时，相距20千米． 24. 在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）点A关于y轴的对称点为C，将直线、直线BC都沿y轴向上平移t（）个单位，点在直线平移后的图形上，点在直线BC平移后的图形上，试比较m，n的大小，并说明理由． 25. 点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． （1）求证：； （2）过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 26. 对于平面直角坐标系中的直线与矩形给出如下定义：设直线与坐标轴交于点，（，不重合），直线与矩形的两边交于点，（，不重合），称线段，的较小值为直线的关联距离，记作，特别地，当时，． 已知，，． （1）若，则______，______； （2）若，，则的值为______； （3）若，直接写出的最大值及此时以，，，为顶点的四边形的对角线交点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一零九中学2024～2025学年度第二学期期中检测 八年级数学试卷 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，即可一一判定． 【详解】解：A.是最简二次根式，符合题意； B.，该选项含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式，不符合题意； C.，该选项被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D.，该选项含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式． 2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　） A. 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理运算判断． 【详解】解：A、22+22≠32，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； B、42+52≠72，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； C、52+122=132，故该三条线段能组成直角三角形，故该项符合题意； D、102+102≠102，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法：两条较小线段的平方和等于较长线段的平方，则该三角形即为直角三角形是解题的关键． 3. 下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，根据函数定义判断即可． 【详解】解：A、符合函数定义，故该项不符合题意； B、符合函数定义，故该项不符合题意； C、符合函数定义，故该项不符合题意； D、不符合函数定义，故该项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了函数图象的判断，正确理解函数定义是解题的关键． 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，B（0，3），P为线段AB的中点，则线段OP的长为（　　） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边中线的性质得到OP的长． 【详解】解：∵，B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴， ∵P为线段AB的中点， ∴OP==， 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，正确掌握勾股定理求出AB是解题的关键． 5. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，再根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴． 6. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质首先证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现是等边三角形，属于基础题． 7. 小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系，下表给出y与x的一些对应值： 码数x 26 30 34 42 长度y cm 18 20 22 26 根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（　　） A. 24cm B. 25cm C. 26cm D. 38cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据待定系数法先求出函数解析式，然后将x=38代入函数解析式求出相应的y的值，即可解答本题． 【详解】解：设y与x的函数解析式为y=kx+b， ∵点（26，18），（30，20）在该函数图象上， ∴ 解得 即y与x的函数解析式为y=0.5x+5， 当x=38时，y=0.5×38+5=24， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 8. 如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论： ①正方形ABCD的面积等于的一半； ②正方形EFGH的面积等于的一半； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，分别求出，，和，根据S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝即可判断①②，再由正方形ABCD，EFGH的面积相等得出，进而判断③． 【详解】解：设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b， 则，，，， ∴S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝， ∴正方形ABCD的面积大于的一半；正方形EFGH的面积等于的一半； ∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH， ∴， ∴， ∴，即， ∴正确结论的序号是②③， 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解题关键在于设出甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b．本题还可以根据正方形在正方形网格中占面积的比例进行求解． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，利用二次根式的除法运算法则计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由在实数范围内有意义，列不等式再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键． 11. 如图，在数轴上点A表示的实数是________ 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，再由实数与数轴的对应关系即可得到点A表示的实数． 【详解】解：由勾股定理可得， ∴ ∴在数轴上点A表示的实数是． 12. 如图，在中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先证明 再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可． 【详解】解：∵AE⊥BC， ∴ ， ∴ ∴ 补充：或或， ∴四边形AEFD是矩形， 故答案为：或或（任写一个即可） 【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“有三个角是直角的四边形是矩形”是解本题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OBCD是正方形，点B（1，0），请写出一个图象与该正方形有公共点的函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先设出函数解析式，利用待定系数法，在正方形的边上任取一点，写出它的坐标，将坐标代入解析式求解即可． 【详解】解：∵四边形OBCD是正方形，点B（1，0）， ∴ 设过C的正比例函数为． ∴所求的函数解析式为： 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，掌握“待定系数法”是解本题的关键． 14. 如图，直线与交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法解不等式即可． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴不等式的解集为为， 故答案为：． 15. 已知直线及线段，点在直线上，点在直线外．如图． （1）在直线上取一点（不与点重合），连接； （2）以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（与点位于直线异侧）； （3）连接交于点，连接，． 根据以上作图过程及所作图形，在下列结论①；②；③中，一定正确的是__________（填写所有正确的序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】根据作图可得，则四边形是平行四边形，进而即可求解． 【详解】解：根据作图可得，则四边形是平行四边形， ∴，；故①②正确， ∵不一定相等，则不一定成立，即③不一定正确； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握基本作图以及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 16. 如图，在菱形中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则_______，_______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD=4，AB∥CD，由“ASA”可证△AEF≌△DEH，可得AF=HD=1，由三角形面积公式可求△CEF的面积． 【详解】∵四边形是菱形， ∴. ∵点是的中点， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴. ∴. 故答案为：1，. 【点睛】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明AF=HD=1是解题的关键． 三、解答题（共52分，17-18题，每题4分，19-24题，每题5分，25-26题，每题7分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】先分别化简二次根式，同时计算乘法，再计算加减法． 【详解】解： = =2． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算法则及运算顺序是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，点E，F分别是，的中点． 求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， E，F分别是的边，上的中点， ，， ，， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，线段中点的有关计算，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质和线段中点的有关计算，证明四边形是平行四边形，进而即可证明． 【详解】略 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y的值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴x＋y＝4，x−y＝， ∴． 【点睛】本题考查因式分解和二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 20. 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，．求CD的长． 【答案】3 【解析】 【分析】求出∠ABD=30°，得到AD=AB=，利用勾股定理求出BD，再根据2CD2=BD2，得到2CD2=18，即可求出CD． 【详解】解：∵∠ADB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABD=30°， ∴AD=AB=． ∴BD=， ∵BC＝CD，∠C＝90°， ∴CD=CB， ∴2CD2=BD2， ∴2CD2=18， ∴CD=3． 【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形中30°角的性质，正确掌握勾股定理的计算方法是解题的关键． 21. 已知一次函数与的图象都经过点（2，1）． （1）求k，b的值； （2）在同一直角坐标系中画出这两个一次函数的图象，并结合函数图象，直接写出当x取何值时，． 【答案】（1）k=1，b=2 （2）x≤2 【解析】 【分析】（1）将点（2，1）分别代入解析式即可求出k，b； （2）利用描点法画出函数图象，解方程组求出函数图象的交点坐标，根据得到y1图象在y2象的下方，即可得到答案． 【小问1详解】 解：将点（2，1）代入，得2k-1=1，解得k=1； 将点（2，1）代入，得-1+b=1，解得b=2； 【小问2详解】 由（1）得 图象如图： 解方程组，解得， ∴两个函数图象的交点坐标为（2，1）， ∴当x≤2时，． 【点睛】此题考查了求一次函数的解析式，求两个一次函数图象交点坐标，根据图象得到不等式的解集，正确掌握一次函数的知识是解题的关键． 22. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点M，连接，若，，求，的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由三角形中位线的性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 是的中位线， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 23. 学校组织初二年级学生去参加社会实践活动，学生分别乘坐甲车、乙车，从学校同时出发，沿同一路线前往目的地．在行驶过程中，甲车先匀速行驶1小时后，提高速度继续匀速行驶，当甲车超过乙车40千米后停下来等候乙车，两车相遇后，甲车和乙车一起按乙车原来的速度匀速行驶到达目的地．如图是甲、乙两车行驶的全过程中经过的路程y（千米）与出发的时间x（小时）之间函数关系图象．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的路程为______千米； （2）乙车行驶的速度为______千米／时，甲车等候乙车的时间为______小时； （3）甲、乙两车出发________小时，第一次相遇； （4）甲、乙两车出发________小时，相距20千米． 【答案】（1）560；（2）80，0.5；（3）2；（4）1， 3，4.25. 【解析】 【分析】(1)根据函数图象中的数据可以写出甲行驶的路程； (2)根据函数图象中的数据可以求得乙车行驶的速度和甲等候乙车的时间； (3)根据函数图象中的数据可以计算出甲、乙两车第一次相遇的时间； (4)根据题意可以计算出两车相距20千米时行驶的时间. 【详解】(1)由图象可得， 甲行驶的路程为560千米， 故答案为： 560； (2) 乙车行驶的速度为：5607=80千米/时， 甲车等候乙车的时间为：4080=0.5小时， 故答案为：80，0.5； (3) a=32080=4， c=320+40=360， 当时，甲车的速度是: (360-60)  (4-1) =100千米/时， 设甲、乙两车c小时时，两车第一次相遇，80c=60+100 (c-1)， 解得，c=2， 故答案为：2；  (4) 当甲、乙两车行驶t小时时，相距20千米， 当时，80t-60t=20，得t=1， 当时，，解得t=1（舍去），t=3， 当时，360-80t=20，解得t=4.25， 综上，当甲、乙两车行驶1小时、3小时或4.25小时，两车相距20千米， 故答案为：1，3，4.25. 【点睛】此题考查一次函数的应用，正确理解函数图象的意义，根据图象提供的信息正确计算是解题的关键. 24. 在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）点A关于y轴的对称点为C，将直线、直线BC都沿y轴向上平移t（）个单位，点在直线平移后的图形上，点在直线BC平移后的图形上，试比较m，n的大小，并说明理由． 【答案】（1）A（-，0），B（0，1） （2）m＞n 【解析】 【分析】（1）令x=0和y=0时，代入解析式得出坐标即可； （2）求得直线BC的解析式为y=-2x+1，根据平移的规律得到y=2x+1+t、y=-2x+1+t，由图象上点的坐标特征得到m=-2+1+t=-1+t，n=-4+1+t=-3+t，由m-n=2＞0，即可得出m＞n． 【小问1详解】 解：∵直线y=2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B． 将x=0代入y=2x+1，得到：y=1， ∴B（0，1）， 将y=0代入y=2x+1，得到2x+1=0， 解得：x=-， ∴A（-，0）； 【小问2详解】 解：∵点A关于y轴的对称点为C， ∴C（，0）， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， 把B（0，1），C（，0）代入，得 ， ∴， ∴直线BC为y=-2x+1， 将直线y=2x+1，直线BC都沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，得到y=2x+1+t、y=-2x+1+t， ∵点（-1，m）在直线y=2x+1+t上， ∴m=-2+1+t=-1+t， ∵点（2，n）在直线y=-2x+1+t上， ∴n=-4+1+t=-3+t， ∵m-n=-1+t-（-3+t）=2＞0， ∴m＞n． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，图象上点的坐标适合解析式是解答此题的关键． 25. 点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． （1）求证：； （2）过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形, ∴，即， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； ，理由： 过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，关于对称， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）由四边形是正方形,得，再利用等角的余角相等证明即可； （）连接，证明，再根据等边对等角和四边形的内角和求出，可得结论； 过点作于点，证明，推出，再证明 ，，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵，关于对称， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同角的等角相等等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 26. 对于平面直角坐标系中的直线与矩形给出如下定义：设直线与坐标轴交于点，（，不重合），直线与矩形的两边交于点，（，不重合），称线段，的较小值为直线的关联距离，记作，特别地，当时，． 已知，，． （1）若，则______，______； （2）若，，则的值为______； （3）若，直接写出的最大值及此时以，，，为顶点的四边形的对角线交点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）的最大值为，四边形的对角线交点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据点坐标及画出图形，得到点，，，的位置，利用勾股定理求出，； （2）分两种情况：①当较小时，②当较小时，分别求出点，，，的坐标，利用勾股定理列式计算可得的值； （3）先确定，两直线平行，且关系直线对称，勾股定理求出，，当时，求出，当时，，且随的减小而增大；当时，；当时，，且随的减小而增大；故当时，有最大值，此时，得到，，，，求出及，得到四边形是平行四边形，进而得到四边形对角线交点坐标． 【小问1详解】 当时， 直线，与轴交点坐标为，与轴交点，此时点与点重合， 直线中，当时，解得；当时，得， 直线与矩形的交点，， ，； 故答案为：，； 【小问2详解】 分两种情况： ①当较小时， 直线中，当时，；当时，， 直线的图象与坐标轴交点为，， ， 解得：或（舍去）； ②当较小时， 直线中时，， 直线的图象与轴交点， 当直线与矩形的边相交时，令，则， ， ， 解得：或； 当时，直线，当时，； 当时，直线，当时，，故舍去； 当直线与矩形的边相交时，令，则， ， ， 此种情况不成立， 故的值为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：与不重合，与不重合， ， 与的值相等，值互为相反数， 两直线平行，且关于直线对称， 直线的图象与坐标轴交点为，， ， 直线的图象与坐标轴交点为，， ， 当时，， 解得：， 图1，当时，，且随的减小而增大； 图3，当时，， 图2，当时，，且随的减小而增大， 故当时，有最大值，此时， 此时，，，， ，，， ，， ， 四边形是平行四边形， 对角线交点的坐标为，即， 综上，的最大值为，四边形对角线交点坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数与几何图形，求直线解析式，直线与图形的交点，勾股定理，正确理解题意并画出图形辅助解决问题是解题的关键，此题较难． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $