精品解析：安徽省淮北市第一中学2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷

安徽省淮北市第一中学2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷 命题人：熊庆树 审题人：高雷 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将原式变形，由复数的除法运算可得，再由复数的模的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 2. 如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图和原图间的关系可求答案. 【详解】由图可得的底边为2，高为4，所以的面积是4. 故选：B 3. 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列表得到所有的基本事件的个数及平局对应的基本事件的个数，根据公式可得所求的概率． 【详解】甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下： 甲 乙　 锤 剪子 包袱 锤 (锤，锤) (锤，剪子) (锤，包袱) 剪子 (剪子，锤) (剪刀，剪子) (剪子，包袱) 包袱 (包袱，锤) (包袱，剪子) (包袱，包袱) 因为由表格可知，共有9种等可能情况． 其中平局的有3种：(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)． 设为“甲和乙平局”，则，故选A． 【点睛】古典概型的概率计算，如果基本事件的总数计算较为繁琐时，那么应该用枚举法或列表法得到所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件． 4. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ） A. 平均数第60百分位数众数 B. 平均数第60百分位数众数 C. 第60百分位数众数平均数 D. 平均数第60百分位数众数 【答案】D 【解析】 【分析】 从数据为20，30，40，50，50，60，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可. 【详解】解：平均数为， ， 第5个数50即为第60百分位数. 众数为50， 它们的大小关系是平均数第60百分位数众数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查平均数、百分位数、众数的求法，属于基础题. 5. 已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面， 故若，，则，故B正确； 对于C：垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 故若，，则，故C正确； 对于D：根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，故D正确； 故选：A 6. 已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量几何意义列方程，解方程即可. 【详解】由投影向量的几何意义，，所以. 故选：D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B. 若，则事件与对立事件 C. 当不互斥时，可由公式计算的概率 D. 某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的性质判判断A，根据对立事件的概率性质判断B，根据概率加法公式判断C，根据概率的性质判判断D. 【详解】对于A，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故A中说法错误； 对于B，在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故B中说法错误； 对于C，根据概率的性质可知，当，不互斥时，，故C中说法正确； 对于D，某事件发生的概率只与该事件本身有关，与实验次数无关，故D中说法错误. 故选：C. 8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和 都是正三角形，，，且三点共线，设点是内的 任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理求出，然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由题意可知取得最小值时，点为费马点，设，，，在中分别使用余弦定理，三式相加，再结合三角形面积公式化简可求出，从而可得答案. 【详解】由题可知，，在中，由余弦定理得 ， 所以， 所以，所以为直角三角形， 由定义可知取得最小值时，点为费马点， 设，，，且，，，， 在中分别使用余弦定理可得， 相加得 由三角形面积得，即， 所以， 所以 ， 所以的最小值为 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是（ ） A. 刀片电池的安全性更高，价格优势更突出 B. 三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低 C. 对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池 D. 磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好 【答案】AB 【解析】 【分析】借助于雷达图分析数据，对A、B、C、D一一验证即可. 【详解】由雷达图易知刀片电池的安全性更高，价格优势更突出，A正确； 三元锂电池的循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低，B正确； 对于这7项指标，刀片电池的平均得分为，三元锂电池的平均得分为，所以C错误； 磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能差，D错误． 故选：AB 10. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根 C. D. 若复数z满足则的最大值为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复数虚部的概念可得A错误；由实数系一元二次方程的虚根成共轭复数可得B正确；由复数的运算性质可得C正确；由复数模长的运算结合绝对值可得D正确. 【详解】对于A、复数的虚部为故A错误； 对于B、若是关于x的二次方程的根， 则其共轭复数也是该方程的根，故B正确； 对于C、因为 所以故C正确； 对于D、故D正确. 故选：BCD. 11. 在直三棱柱中，，且为线段BC（不含端点）上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 当是BC的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相应向量的坐标表示，得出选项A正确，根据向量夹角余弦公式，求出异面直线所成角的取值范围判断B；将空间线段长转化为平面线段长求最值，得出C错误；求利用向量法求出圆心到平面的距离，利用垂径定理得出截面圆的半径，求出所截的圆的面积,得出D正确. 【详解】以为原点，,,所在直线方向分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，故，，，， 对于A选项：，，， 故，故A正确； 对于B选项：，， 故， 因为，， 故异面直线与所成角的取值范围为，故B正确. 对于C选项：，， ， 可将其看成分别到点，的距离和， 当且仅当三点共线时，此时距离最小，故C错误； 对于D选项：当M为中点时，则，外接球圆心为且 半径为， 设球心到平面的距离为 设平面的法向量为，， 则，令，则； 又，则， 由截面圆半径， 故截面圆面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】作出内切球的轴截面，再根据几何关系求解即可. 【详解】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形， 设该内切球的球心为，内切球的半径为，为切点， 所以，， 由已知得，， 所以，在中，，即，解得， 所以，该圆锥的内切球表面积为 故答案为：. 13. 已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最大值. 【详解】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴， 线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，取最大值. 故答案为：. 14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取60件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为________；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为220，240，230小时，方差分别为20，20，30，则总样本的方差为____________. 【答案】 ①. 18 ②. 84 【解析】 【分析】第一空，根据分层抽样的定义即可求解；第二空，根据分层抽样的方差公式即可求解 【详解】由分层抽样方法可得：抽取C车间应抽取的件数为60×30%=18； 总样本平均值， 总样本方差为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，． （1）求； （2）求边上的高． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求得，由此求得. （2）利用余弦定理求的，结合面积法求得边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理得， 由于，所以是锐角，所以 【小问2详解】 由余弦定理得， ， ， 解得或， 设边上的高为， 则， 所以，或. 16. 如图，正三棱柱中，，D是的中点，与交于点E. （1）求证：平面； （2）若以为直径的球的表面积为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，由线线平行即可证得线面平行； （2）先求出，再求，接着证明平面，利用等体积转化即可求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 如图，连接，因四边形为矩形，则为的中点，又D是的中点，则得， 因平面，平面，故平面. 【小问2详解】 依题意，，解得，在中，. 因为正三角形，则，又平面，平面，故， 因平面，故平面，即为三棱锥的高， 则三棱锥的体积为：. 17. 某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了个零件并称出它们的重量（单位：克）．重量按照，，…，分组，得到频率分布直方图如图所示． （1）估计该工厂生产的零件重量的平均数；（每组数据用该组的中点值作代表） （2）估计该工厂生产的零件重量的分位数； （3）按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于克的零件中抽取个零件，再从这个零件中任取个，求这个零件的重量均在内的概率． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由频率和为可构造方程求得，根据频率分布直方图估计平均数的方法直接求解即可； （2）由频率可知分位数，由此构造方程求得结果； （3）采用列举法可得样本空间，并确定符合题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果. 【详解】（1）由题意得：，解得：． 则各个小组的频率分别为，，，，． 估计该工厂生产的零件重量的平均数约为； （2）设分位数为， 前三组频率和为，前四组频率和为，， ，解得：， 该工厂生产的零件重量的分位数为； （3）由条件知：个零件中，重量在内的零件个数为，分别记为；重量在内的零件个数为，记为． 从中随机抽取个，样本空间为，． 设“这个零件的重量均在内”为事件， 则，， ． 18. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求p和q的值； （2）求甲、乙两人共答对3道题的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解； （2）先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率，再由甲乙总共答对3道题，等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得. 【小问1详解】 设A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则，． 设C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题， 则，． ∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响， ∴A与B相互独立，与互斥， ∴,． 由题意得解得或 ∵，∴，． 【小问2详解】 设：甲同学答对了i道题，:乙同学答对了i道题，． 由题意得，，，． 设E：甲、乙两人共答对3道题，则， ∴， ∴甲、乙两人共答对3道题的概率为． 19. 已知是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求二面角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 【答案】（1）2 （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）根据已知条件找到直线与所成角，再利用即可求解； （2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，证明为二面角的平面角，由二面角与互补即可求解； （3）作出四边形为平行四边形，进而可得解. 【小问1详解】 底面为矩形，， 又底面，底面ABCD，， 又平面，平面， 又平面，， 为直线与所成的角，即， 设，则， 在Rt中，， 又，，解得， ，，即； 【小问2详解】 在平面内过点作交的延长线于点，连接， 底面底面，， 又平面，平面， 又平面，，为二面角的平面角， 为的中点，， ， 设二面角的平面角为，则， ， 即二面角的余弦值为； 【小问3详解】 依题意，又， ， 又，， 又，、平面，平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面平面，， 又、平面，平面， 在平面内过点作交于点， 在上取点，使得，连接， 且，四边形为平行四边形， ，又，即， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省淮北市第一中学2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷 命题人：熊庆树 审题人：高雷 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 2. 如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 3. 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 A. B. C. D. 4. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ） A. 平均数第60百分位数众数 B. 平均数第60百分位数众数 C. 第60百分位数众数平均数 D. 平均数第60百分位数众数 5. 已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 7. 下列说法正确的是（ ） A. 同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B. 若，则事件与是对立事件 C. 当不互斥时，可由公式计算的概率 D. 某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和 都是正三角形，，，且三点共线，设点是内的 任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是（ ） A. 刀片电池的安全性更高，价格优势更突出 B. 三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低 C. 对于这7项指标，刀片电池平均得分低于三元锂电池 D. 磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好 10. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根 C. D. 若复数z满足则的最大值为6 11. 在直三棱柱中，，且为线段BC（不含端点）上动点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成角的取值范围为 C. 最小值为 D. 当是BC的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为_________. 13. 已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为______． 14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取60件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为________；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为220，240，230小时，方差分别为20，20，30，则总样本的方差为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，． （1）求； （2）求边上的高． 16. 如图，正三棱柱中，，D是的中点，与交于点E. （1）求证：平面； （2）若以为直径的球的表面积为，求三棱锥的体积. 17. 某机械零件工厂为了检验产品质量，质检部门随机在生产线上抽取了个零件并称出它们的重量（单位：克）．重量按照，，…，分组，得到频率分布直方图如图所示． （1）估计该工厂生产的零件重量的平均数；（每组数据用该组的中点值作代表） （2）估计该工厂生产的零件重量的分位数； （3）按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于克的零件中抽取个零件，再从这个零件中任取个，求这个零件的重量均在内的概率． 18. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求p和q的值； （2）求甲、乙两人共答对3道题的概率． 19. 已知是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求二面角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$