精品解析：上海市骏博外国语学校2024--2025学年下学期4月八年级期中考试数学卷

骏博外校八年级期中测试 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 一次函数的图像经过点和点，其中，则应满足（ ） A. B. C. D. 2. 解方程时，如果设，那么原方程可化为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形ABCD中，，，动点E从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线作匀速运动，当点E到达A点时运动停止，那么的面积y与点E运动的时间x秒之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 互为相反向量是平行向量 B. 零向量没有方向 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 平行向量是在同一条直线上的向量 5. 一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（   ） A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条 6. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 设，是方程的两个实数根，则___________________． 8. 若，则________． 9. 若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则一次函数的图象不过第___象限． 10. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 11. 已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其周长等于_____． 12. 顺次连接矩形各边中点所得四边形为___形． 13. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是__________． 14. 在矩形中，如果，，那么_____． 15. 从等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为______． 16. 如图，梯形中，和的平分线相交于梯形中位线上的一点P，若，则梯形的周长为______． 17. 如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________． 18. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，连接，那么的长是___________． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19. 解方程：． 20. 解方程：． 21. 解方程组：． 22. 如图，点在平行四边形的对角线上，且． （1）填空：______，______，______． （2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法） 23. A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇．相遇后，两车各以原来的速度继续行驶，甲车到达B地后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲、乙两车的速度． 24. 如图，将一张矩形纸片沿EF折叠，使点落在 边上的点B处；沿BG折叠，使点落在点D处，且BD过F点. ⑴试判断四边形BEFG的形状，并证明你的结论. ⑵当∠BFE为多少度时，四边形BEFG是菱形. 25. 如图,在直角坐标平面内,函数(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a>1.过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB. (1)若△ABD的面积为4，求点B的坐标； (2)求证：DC∥AB； (3)当AD=BC时，求直线AB的函数解析式. 26. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°． （1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x． ①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由； ②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 骏博外校八年级期中测试 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 一次函数的图像经过点和点，其中，则应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图像经过两点的坐标，建立方程组求解k和b的关系，结合m的取值范围判断k和b的符号． 【详解】解：一次函数的图像经过点和点， ∴ 将代入方程得：， ∴ 又∵，故，即． 综上，且， 故选B． 2. 解方程时，如果设，那么原方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 3. 如图，在矩形ABCD中，，，动点E从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线作匀速运动，当点E到达A点时运动停止，那么的面积y与点E运动的时间x秒之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】欲求的面积，已知底边长为BC，固定不变，确定高是关键，由于点E沿作匀速运动，通过观察后发现，点E在CD上时，高是变化的，而在AD上时，高不变，因此需分两种情况求解：①当点E在CD上时，，，；②当点E在DA上时，此时，的高为1，底边为2，；综上可得当时，y是正比例函数，y随x的增大而增大；当时，y的值恒为1，为平行于x轴的一条直线．结合选项可知D符合． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 互为相反向量是平行向量 B. 零向量没有方向 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 平行向量是在同一条直线上的向量 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查向量的基本概念．根据题意需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、正确，相反向量是大小相等、方向相反的向量，而平行向量指方向相同或相反的向量，故相反向量属于平行向量； B、错误，零向量方向是任意的，而非没有方向； C、错误，相等向量需满足长度相等且方向相同，仅长度相等无法保证相等； D、错误，平行向量可在不同直线上，只需方向相同或相反，而非必须共线． 故选：A． 5. 一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（   ） A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条 【答案】A 【解析】 【分析】由多边形的内角和为，先求出该多边形的边数n，然后利用即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，则由题意可得：，解得， ∴从此多边形的一个顶点出发可引对角线的条数为：9-3=6（条） 故选：A． 【点睛】本题考查边形的内角和，以及从边形的一个顶点引的条对角线数量，掌握多边形中的基本结论是解题关键． 6. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3， ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴ ∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC， 又∵AD=6， ∴四边形EFGH的周长=6+5=11． 故选D． 点睛：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 设，是方程的两个实数根，则___________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， 根据根与系数的关系， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解答本题的关键． 8. 若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，将原方程变形，进而解一元二次方程即可求得的值，进而求得的值． 【详解】设，原方程为： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了无理方程，换元法是解题的关键． 9. 若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则一次函数的图象不过第___象限． 【答案】三． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得k=－2，则y=－2x+2，则一次函数图象不经过第三象限. 考点：反比例函数与一次函数 10. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 11. 已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其周长等于_____． 【答案】20 【解析】 【详解】试题分析：根据面得菱形的另一条对角线为8，则边长为=5，则周长=5×4=20. 考点：菱形的性质. 12. 顺次连接矩形各边中点所得四边形为___形． 【答案】菱 【解析】 【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱． 13. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是__________． 【答案】（1+2，2）． 【解析】 【详解】试题分析：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OB的长度，然后过点C作CE⊥x轴于点E，根据直角三角形的性质求出∠CBE=30°，在Rt△BCE中求出CE、BE的长度，再求出OE的长度，即可得解． 试题解析：∵AB=2，∠OAB=30°， ∴OB=AB=1， 在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AB0+∠CBE=90°， ∴∠CBE=∠OAB=30°， 点C作CE⊥x轴于点E， 在Rt△BCE中，CE=BC=×4=2，BE=， ∴OE=OB+BE=1+2， ∴点C的坐标是（1+2，2）． 考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质． 14. 在矩形中，如果，，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】由在矩形ABCD中，如果，，即可求得AB，BC的长与∠B=90°，利用勾股定理即可求得AC的长，又由+=，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， ∵=2，=1， ∴AB=2，BC=1， ∴AC==， ∴=||=． 故答案为． 15. 从等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别、概率的知识点，识别中心对称图形和运用概率公式计算是解题的关键．判断五个图形中有几个中心对称图形，然后用概率公式计算即可． 【详解】解：从五个图形中任选一个，共有5种等可能的结果，其中是中心对称图形的是：平行四边形、矩形、菱形，结果有3种． ∴选出的图形恰好是中心对称图形的概率为 故答案为： 16. 如图，梯形中，和的平分线相交于梯形中位线上的一点P，若，则梯形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底，并且等于两底和的一半；等腰三角形的判定等知识，熟练掌握梯形的中位线定理是解题关键．先根据梯形的中位线定理可得，，，再根据等腰三角形的判定可得，则可得，从而可得，然后根据梯形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是梯形的中位线，， ∴，，， ∴， ∵和的平分线相交于梯形中位线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的周长为， 故答案为：12． 17. 如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得：，，从而平行四边形的周长可以转化为的周长的周长，求出，再由的周长，即可求出的长． 【详解】∵向上翻折，点A正好落在边上， ∴，， ∵的周长为6，的周长为20， ∴，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查翻折变换（折叠问题）和平行四边形的性质，掌握折叠前后图形的形状和大小不变，且对应边和对应角相等；平行四边形对边平行且相等是解题的关键． 18. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，连接，那么的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及斜边中线定理，熟练掌握正方形的性质及斜边中线定理是解题的关键；连接，则根据正方形的性质可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形和是正方形，， ∴， ∴，， ∴， ∵H是的中点， ∴； 故答案为． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19. 解方程：． 【答案】当时，该方程无解；当，该方程的解为 【解析】 【分析】本题考查了解含参数的一元一次方程，解题的关键在于分类讨论．先按照解一元一次方程的步骤求解，得到，再对系数进行讨论即可． 【详解】解： ， 当，该方程无解； 当时，解得， ∴当时，该方程无解；当，该方程的解为． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，解一元二次方程，根的判别式，，设，原方程变为，解得，，检验后则有或=，然后转化为解一元二次方程即可求解，熟练掌握解方程的方法及步骤是解题的关键． 【详解】解：设， 原方程变为， 整理得：， 解得：，， 经检验，是方程的解， ∴或=， 当时， 整理得， ， ∴此方程无解； 当时， 整理得， ， ∴，， 经检验，是方程的解， ∴原方程的根为，． 21. 解方程组：． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元二次方程，把方程组中的两个方程分别分解因式得到，则可得到或或或，分别解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或或或， 解得或或或． 22. 如图，点在平行四边形的对角线上，且． （1）填空：______，______，______． （2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法） 【答案】（1），或，或； （2）作图见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的知识，平行四边形法则，熟练掌握平面向量定义及平行四边形法则是解题的关键． （）根据平行四边形法则，即可得出答案； （）利用平行四边形法则来作合向量即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由法则可得， ， 故答案为：，或，或； 【小问2详解】 解：如图，作平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴即为所求． 23. A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇．相遇后，两车各以原来的速度继续行驶，甲车到达B地后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度为、乙车的速度 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 先设甲的速度为，乙的速度为，由第一次相遇可知路程和为得到，则，再由“甲、乙两车同时到达A地”可知时间相同，继而建立分式方程求解． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验：时原方程的解，且符合题意， 则 答：甲车的速度为、乙车的速度． 24. 如图，将一张矩形纸片沿EF折叠，使点落在 边上的点B处；沿BG折叠，使点落在点D处，且BD过F点. ⑴试判断四边形BEFG的形状，并证明你的结论. ⑵当∠BFE为多少度时，四边形BEFG是菱形. 【答案】证明:⑴由题意，＝ ∵BE∥FG ，∴＝ ∴=， ∴BE＝BF 同理 BF＝FG，∴BE=FG ∴四边形BEFG是平行四边形. ⑵当∠BFE =60°时,△BEF为等边三角形 ∴BE=EF，∴平行四边形BEFG是菱形 【解析】 【详解】⑴由题意，＝ ∵BE∥FG ，∴＝ ∴=， ∴BE＝BF 同理 BF＝FG，∴BE=FG ∴四边形BEFG是平行四边形.（5分） ⑵当∠BFE =60°时,△BEF为等边三角形 ∴BE=EF，∴平行四边形BEFG是菱形. （5分） （1）由题意，∠EFB'=∠EFB，∵BE∥FG，∴∠EFB'=∠BEF，∴∠BEF=∠EFB，∴BE=BF，同理BF=FG，∴BE=FG，∴四边形BEFG是平行四边形； （2）当∠BFE=60°时，△BEF为等边三角形，∴BE=EF，∴平行四边形BEFG是菱形． 25. 如图,在直角坐标平面内,函数(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a>1.过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB. (1)若△ABD的面积为4，求点B的坐标； (2)求证：DC∥AB； (3)当AD=BC时，求直线AB的函数解析式. 【答案】（1）(3, )；（2）见解析；（3）y=−2x+6或y=−x+5. 【解析】 【分析】（1）由函数（x>0，m是常数）的图象经过A（1，4），可求m=4，由已知条件可得B点的坐标为（a，），又由△ABD的面积为4，即a（4-）=4，得a=3，所以点B的坐标为（3，）； （2）依题意可证， ，，所以DC∥AB； （3）由于DC∥AB，当AD=BC时，有两种情况：①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，点B的坐标是（2，2），设直线AB的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-2x+6． ②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，可求点B的坐标是（4，1），设直线AB的函数解析式y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-x+5． 【详解】(1)∵函数 (x>0,m是常数)图象经过A(1,4)， ∴m=4. ∴y= ， 设BD,AC交于点E,据题意,可得B点的坐标为(a, ),D点的坐标为(0, ),E点的坐标为(1, )， ∵a>1， ∴DB=a,AE=4−. 由△ABD的面积为4,即a(4−)=4，得a=3， ∴点B的坐标为(3, )； (2)证明：据题意,点C的坐标为(1,0)，DE=1， ∵a>1， 易得EC=，BE=a−1， ∴. ∴且∠AEB=∠CED， ∴△AEB∽△CED， ∴∠ABE=∠CDE， ∴DC∥AB； (3)∵DC∥AB， ∴当AD=BC时，有两种情况： ①当AD∥BC时,四边形ADCB是平行四边形,由(2)得， =a−1， ∴a−1=1，得a=2. ∴点B的坐标是(2,2). 设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入， 得 ， 解得. 故直线AB的函数解析式是y=−2x+6. ②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC， ∴a=4， ∴点B的坐标是(4,1). 设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入， 得 ， 解得 ， 故直线AB的函数解析式是y=−x+5. 综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=−2x+6或y=−x+5. 【点睛】此题考查反比例函数综合题，待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于把已知点代入解析式. 26. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°． （1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x． ①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由； ②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 【答案】(1) (2) ＋＋4 当x＝2或4或5－时，△PMN为等腰三角形 【解析】 【详解】【试题分析】（1）在直角三角形BEG中，利用三角函数求解；（2）①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不发生改变．过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q．先求PQ、PN、PM，再求出MN，最后求出△PMN的周长即可；②按照当PM＝PN时， 当MP＝MN时，当NP＝NM时， 三种情况分类讨论即可. 【试题解析】 （1）如图4，过点E作EG⊥BC于G． 在Rt△BEG中，，∠B＝60°， 所以，． 所以点E到BC的距离为． （2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点． 因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4． ①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不发生改变． 过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q． 在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝． 在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x． 所以BG＝PQ＝1． 因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2． 在Rt△PNH中，NH＝，PH＝2，所以PN＝． 在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4． 因此△PMN的周长为＋＋4． ②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形． 如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上． 在Rt△PCM中，PM＝，∠PCM＝30°，所以MC＝3． 此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2． 如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝，x＝GM＝GC－MC＝5－． 如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°． 又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合． 此时x＝4． 综上所述，当x＝2或4或5－时，△PMN为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $