3.3轴对称与坐标变化（分层作业）数学北师大版2024八年级上册

3.3 轴对称与坐标变化 5大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（3道） 一、坐标系上点关于坐标轴的对称 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点的坐标变换规律为：横坐标不变，纵坐标取相反数． 【详解】解：点关于x轴对称时，其横坐标1保持不变，纵坐标2变为， 因此对称点的坐标为， 故选B． 2．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标—轴对称，根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标互为相反数，纵坐标不变，直接计算即可，熟练掌握点的坐标的关于对称的特点是解此题的关键． 【详解】解：点关于轴对称时，横坐标变为相反数，即，纵坐标保持不变，仍为，因此对称点的坐标为， 故选：A． 3．（北京市顺义区2024一2025学年下学期八年级教学质量检测数学试卷）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标—轴对称，根据平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标变换规律：横坐标取相反数，纵坐标不变，直接求解即可，熟练掌握关于轴对称的点的坐标变换规律是解此题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是， 故选：B． 4．（24-25八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是， 故选：B． 二、坐标系上点关于其他直线对称的变化 1．（2025·山西·模拟预测）剪纸是中国古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称．将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点与点对称，，， ∴对称轴为直线， ∵点与点对称，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知 (1)画出关于直线对称的图形；并直接写出的面积____； (2)若点在内部，点和点关于直线对称，则的坐标是______； 【答案】(1)作图见解析，． (2) 【分析】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解题的关键． （1）找到点关于的对称点，再进行连线即可得到；利用割补法求出的面积的面积即可． （2）根据图形，根据轴对称的特征即可求出的坐标； 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； 由图可知：； 故答案为：． （2）解：∵点在内部，点和点关于直线对称， ∴的坐标是 3．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； (3)若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了点的坐标特征、对称的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据在轴上的点的纵坐标为得出，求解即可； （2）由题意可得，求出的值即可得解； （3）根据对称的性质可得，，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点的横坐标比纵坐标大3， ∴， ∴， ∴，，即； （3）解：∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·重庆江北·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出关于轴的对称图形为，并写出顶点的坐标； (2)画出关于直线所对称的图形，并写出顶点的坐标； (3)在轴上画出点，使的周长最小． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质作图即可； （）根据轴对称的性质作图，再根据图形写出坐标即可； （）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，由轴对称可知，所以，根据两点之间线段最短，可知此时最小，即的周长最小，故点即为 所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可得，； （2）解：如图所示，即为所求， 由图可得，； （3）解：如图所示，点即为所求． 三、坐标系上的对称变化 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠的性质可得：，，，证明，得出，再由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的； (2)关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3)4 【分析】本题考查了坐标与图形． （1）根据平移作图即可； （2）根据对称作图即可，根据图像即可得到坐标； （3）根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； 由图可知：坐标为； （3）解：， ∴的面积为． 3．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图所示，左、右两幅图案关于轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和． (1)试确定左边图案中的左、右两朵花花心的坐标； (2)如果将右边图案沿轴向右平移个单位长度，那么它的左、右两朵花花心的坐标将发生什么变化？ 【答案】(1)左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和； (2)它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变，左、右两朵花花心的坐标将变为和． 【分析】本题考查坐标系中的对称和平移，解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征，以及 点的坐标平移规律． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征即可得出左边图案中的左、右两朵花花心的坐标； （2）根据平移规律，即可得出花心坐标发生的变化，以及变化后的坐标． 【详解】（1）解：∵左、右两幅图案关于轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和， ∴左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和， 答：左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和． （2）解：如果将右边图案沿轴向右平移2个单位长度，那么它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变， ∵右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和， ∴沿轴向右平移2个单位长度后，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标将变为和， 答：它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变，左、右两朵花花心的坐标将变为和． 4．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】本题考查作图—轴对称图形， （1）根据轴对称的性质，得出的三个顶点各个对应点，再顺次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征求解即可； 熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所作，点的坐标为； （2）点关于轴的对称点的坐标为． 四、坐标系中的动点问题 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，建立绝对值方程并求解，得到两个符合条件的解． 本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意， 得或， 解得或， 故点P的坐标为或， 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆大足·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，且a，b满足，连接． (1)请直接写出a，b的值； (2)若点满足的面积等于12，求点P的坐标； (3)如图2，动点C从点B出发，在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，动点D从点O出发，在x轴上以每秒2个单位的速度向右运动，若点C，D同时出发，当的面积等于面积的2倍时，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据平方、算术平方根的非负性求解； （2）根据坐标可得，，根据求解； （3）设运动时间为t，则，，，当的面积等于面积的2倍时，，代入数值求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ，， ； （2）解：由（1）得， ， ，， ， ， 解得或， 或； （3）解：设运动时间为t，则，， ， ， ， 当的面积等于面积的2倍时，， ， 解得或， 时，点C的纵坐标为：；. 时，点C的纵坐标为：； 点C的坐标为或． 【点睛】本题考查平面直角坐标系，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴于点A，轴于点C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． (1) ；_________； (2)当点P到的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)点P在运动过程中，连接． ①用含t的代数式表示点P的坐标； ②是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6， (2)或 (3)①或或；②存在，， 【分析】主要考查平面直角坐标系中动点问题，算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识并灵活运用为解题关键． （1）根据非负性，求出a，c的值，即可； （2）根据a，c的值，得到点的坐标，根据点P到的距离为4个单位长度时，根据图形得到运动路程，即可求出结果； （3）①根据P点的运用轨迹，分为P点在上，在上，在上三种情况，求出结果即可；②分别当P点在上，在上，在上三种情况时讨论得出结果． 【详解】（1）解：，，， ，， ， 故答案为：6，； （2）， ， 当点P到的距离为4个单位长度时， ∴当P在线段上，点P到的距离为4个单位长度时， 则， ； 当P在线段上，点P到的距离为4个单位长度时， ∴点P的运动轨迹路程为：， （秒）； 综上所述，运动过程中，当点P到的距离为4个单位长度时，或． （3）①如图，当时，点P在线段上， ； 当，点P在线段上， ； 当时， 点P在线段上， ； ②存在点P使得三角形 的面积是四边形的面积的 ，理由如下： ∵四边形的面积， ， 当时，三角形的面积， ， ，； 当时，三角形的面积， ∴此时不存在点P； 当时，三角形的面积， ； ∴综上所述当时，，当时，． 4．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践，如图在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标，且点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动， (1)求点B的坐标 (2)当点P移动到4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴4个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒． 【分析】本题考查了坐标与图形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据点A、C的坐标得到，，再结合长方形的性质求解即可； （2）由题意可知，当点P移动到4秒时，点P的移动距离为，再根据点P的移动路线可知，点P在上，写出点P的坐标即可． （3）分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在上时，分别求出点P的移动距离，再求出点P移动的时间即可． 【详解】（1）解：点A坐标为，点C的坐标， ，， 长方形， ，，， 点B的坐标为； （2）解：当点P移动到4秒时，点P的移动距离为， 点P沿着的路线移动，且，， 点P在上，坐标为，即． （3）解：①如图，当点在上时， 点P移动到距离x轴4个单位长度， ， 点P的移动距离为， 点P移动的时间为秒； ②如图，当点在上时， 点P移动到距离x轴4个单位长度， ， 点P的移动距离为， 点P移动的时间为秒； 综上可知，点P移动的时间为秒或秒． 五、坐标系上的最短路径问题 1．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)若点为轴上一动点，使得值最小，在轴上画出点（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画图即可； （2）连接，与轴的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； 由图可知：． 2.（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）（1）请在给定的平面直角坐标系中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）在轴上找出一点，使的值最小．（不写画法，保留画图痕迹） 【答案】（1）见解析，；（2）见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）连接交y轴于点，连接，点M即为所求． 【详解】解：（1）如图，即为所求； ； （2）如图，点即为所求． 3．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴的对称图形，并分别写出，，的坐标． (2)请画出关于轴的对称图形，的面积为______． (3)在轴上画出点使最小． 【答案】(1)图见解析，，， (2)图见解析， (3)见解析 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，直角坐标系，熟练掌握轴对称变换的定义和性质是解题的关键． （1）先根据对称的性质作图，再根据所作图形写出，，的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式求解即可； （3）由于点、关于轴对称，所以，则，当、、共线时，最小，所以连接交轴于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，，，； （2）如图，即为所求， 的面积为：， 故答案为：； （3）如图，连接交轴于点，点即为所求． 4．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，其中点、、． (1)求的面积； (2)画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； (3)在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标：________（横、纵坐标值精确到整数值） 【答案】(1)5 (2)画图见解析，，， (3) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点M即为所求． 【详解】（1）的面积； （2）如图所示，即为所求； ∴，，； （3）如图所示，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点M即为所求； 由网格特点得，点M的坐标为． 1．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）已知点，点关于y轴对称，则的值（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于轴对称的点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等，代数式求值，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据点，点关于轴对称特征，求得，的值，代入即可求解． 【详解】解：点，点关于轴对称， ，， 则． 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）若点与点关于x轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变、纵坐标互为相反数，掌握点关于坐标轴对称点的坐标特征是解决问题的关键． 根据点与点关于x轴对称，，可知，代入直接求值即可得到答案． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ， ， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴的对称图形； (2)的面积是____________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了作轴对称图形和求格点三角形面积；掌握轴对称图形的作法及割补法求面积是解题的关键． （1）按要求作出图形，即可求解； （2）正方形的面积减去个直角三角形的面积，即可求解； 【详解】（1）解：如图， 为所求作图形； （2）解：由图得： ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点． (1)已知，，写出点、点关于轴和直线的二次反射点，的坐标； (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了轴对称性质，新定义二次反射点的理解和运用． （1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， ∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， （2）解：∵点C的坐标是， ∴点C关于轴对称点的坐标为， ∴关于直线对称的点， ∴． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别为，，和． (1)画出关于轴对称的（点，分别是点，的对应点），并写出点的坐标； (2)在图中的平面直角坐标系中画出点，使得以，，，四点组成的四边形是轴对称图形，且对称轴是轴，并写出点的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解， 【分析】本题考查了轴对称的性质，轴对称和轴对称图形，坐标变换，解题的关键是正确理解坐标系中对称的性质． （1）根据轴对称的特征得出点的位置再顺次连接即可得解； （2）根据轴对称的特征得出点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：关于轴对称的，如图1即为所求； 由图可知，； （2）如图2，四边形即为所求， 由图可知，． 6．（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4秒 (3)或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，得到，进一即可求出答案； （3）由（2）可知，设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解： ， ， 解得， ，． 故答案为：，． （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为4秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 7．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点A，已知点，，且．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动. (1)　　　，　　　，点坐标为　　　. (2)求经过几秒？ (3)若某一时刻以A、、、为顶点的四边形的面积是，请直接写出此时点的坐标. 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性求解即可； （2）设经过x秒，，列方程求出x的值即可； （3）分点P在y轴右侧时和点P在y轴左侧时两种情况，根据以A、、、为顶点的四边形的面积是列方程求出x的值，即可求出P点的坐标. 本题考查了坐标与图形性质，非负性的应用，平行线的判定与性质，梯形的面积，难度适中，运用数形结合与方程思想是解题的关键. 【详解】（1）解：∵， ，， ∴，， ∴点E 坐标为； 故答案为：4，6，. （2）解：， ， 设经过x秒，， 依题意，得， 解得 ， ∴经过2秒. （3）解：当点P在y轴右侧时， 依题意，得 , 解得, 则, 此时点P 的坐标为; 当点P在y轴左侧时， 依题意，得 , 解得 , 则, 此时点P 的坐标为 ． 综合以上可得点P的坐标为或 ． 8．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性、三角形的面积、列代数式、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形、分类讨论是解题的关键． （1）利用算术平方根和平方的非负性，得出，，求出、的值即可； （2）根据点A、的坐标，求出，根据坐标与图形，得出的边上的高，根据三角形的面积公式，得出答案即可； （3）根据坐标与图形，结合三角形的面积公式，由的面积是的面积的2倍，得出，分“当点在点的左侧时”和“当点在点的右侧时”两种情况，根据坐标与图形，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：由（1）得，， ，， ∴， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴的边上的高， ∴； （3）解：∵，，点是轴上的动点， ∴的边上的高和的边上的高相等， 又∵三角形的面积底高，的面积是的面积的2倍， ∴， ∴当点在点的左侧时， ，则点的坐标为， 当点在点的右侧时， ，则点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 9．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在直角坐标系中，轴，轴，，，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，运动时间为， (1)写出，，三个点坐标． (2)当秒时，求的面积． (3)当到轴距离等于到轴距离时，求时间． 【答案】(1)，， (2)12 (3)或 【分析】本题考查了坐标系点的坐标，坐标系点的动点问题，坐标系点坐标到坐标轴的距离，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． （1）根据题意，先求得和，再写出点的坐标即可； （2）先判断点和所在位置，写出两个点的坐标，然后求出三角形的面积即可； （3）分4种情况①时，点在线段时，②，点在线段时，③，点在线段时，④，点在线段时，依次讨论即可． 【详解】（1）解： 轴，轴，，， ，， ，，； （2）解：当秒时，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动， 点走了6个单位长度，点走了6个单位长度， 点在线段上，此时，点在线段上， 的纵坐标为，， ， ； （3）解：①时，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，； ②，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，； ③，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，即，不符合题意； ④，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上, 到轴距离为8，不符合题意； 综上，或． 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 【答案】(1)； (2)或或； (3)． 【分析】本题考查平面直角坐标系点的坐标和线段长度间的关系，算术平方根的意义等知识，解决问题的关键是转化面积相等的条件． （1）根据平面直角坐标系的坐标特征，进而求得点坐标； （2）由三角形面积公式，求得的长，分为当点到O点之前和到O点之后进行分类讨论，进一步求得结果； （3）先由一次函数和求出M点坐标，由得出，进而求得点坐标． 【详解】（1）解： ，，且轴，轴， ； 故答案为：； （2）当点P 在线段BO上运动时， 由得， ， ， 当P、Q都未到达O点时 ∴ ∴或， 当P到达O点，Q点未达到O点时， 此时 综上所述：或或； （3）设点， ，，， 直线的解析式是：， ， ，且M在线段AB上 ∴ ∴ 解得∴ ， ， ， ∴， ． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 【答案】(1)； (2)​​​​​​​； (3)； 【分析】本题考查坐标与轴对称，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）①连接并延长，交轴与点，此时最大为的长，利用两点间的距离公式进行求解即可；②作关于轴的对称点，连接，得到的最小值即为的长，进行求解即可； （3）利用数形结合结合的思想，将代数式的最值转换为坐标系中两点间的距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； 故答案为：； ②点， 点 ， ∴； 故答案为：； （2）①如图所示，连接并延长，交轴与点， ∴最大为的长， ∵， ∴的最大值； ②作关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的值最小，为：的长， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）①， 可转化为：已知点，在轴上找一点，使的值最小， 由（2）②可知，作点关于轴的对称点，的最小值即为的长， ， ∴代数式 的最小值是； ②， 参考（2）①中的图形，点，点， ∴代数式的最大值为：． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，，．建立以点为坐标原点，所在直线为轴的平面直角坐标系， (1)求，两点的坐标． (2)在轴上找一点，使面积为，求点的坐标． (3)找一点（不与重合），使与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）过点作于点，根据，，，得出，从而得出点的坐标为，根据等积法求出，根据勾股定理得出，即可得出点的坐标； （2）设点，根据三角形的面积公式即可得出结论； （3）分两种情况：或时，结合轴对称的性质，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示： 则， 在中，，，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）解：设点，则， 面积为， ， 解得：， 点的坐标为； （3）解：当点在第一象限，时，过点作轴于点，如图所示： 则， ， ，，， ， ， ， 点； 作关于轴的对称图形， 则，， ， ， 此时点符合题意； 作关于轴的对称图形， 则，的坐标为， 此时点符合题意； 综上可知，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，三角形面积的计算，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平面内点的坐标特点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 轴对称与坐标变化 5大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（3道） 一、坐标系上点关于坐标轴的对称 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（北京市顺义区2024一2025学年下学期八年级教学质量检测数学试卷）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、坐标系上点关于其他直线对称的变化 1．（2025·山西·模拟预测）剪纸是中国古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称．将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知 (1)画出关于直线对称的图形；并直接写出的面积____； (2)若点在内部，点和点关于直线对称，则的坐标是______； 3．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； (3)若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 4．（24-25八年级上·重庆江北·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出关于轴的对称图形为，并写出顶点的坐标； (2)画出关于直线所对称的图形，并写出顶点的坐标； (3)在轴上画出点，使的周长最小． 三、坐标系上的对称变化 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的； (2)关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标； (3)求的面积． 3．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图所示，左、右两幅图案关于轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和． (1)试确定左边图案中的左、右两朵花花心的坐标； (2)如果将右边图案沿轴向右平移个单位长度，那么它的左、右两朵花花心的坐标将发生什么变化？ 4．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 四、坐标系中的动点问题 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级下·重庆大足·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点，且a，b满足，连接． (1)请直接写出a，b的值； (2)若点满足的面积等于12，求点P的坐标； (3)如图2，动点C从点B出发，在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动，动点D从点O出发，在x轴上以每秒2个单位的速度向右运动，若点C，D同时出发，当的面积等于面积的2倍时，请直接写出点C的坐标． 3．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴于点A，轴于点C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． (1) ；_________； (2)当点P到的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)点P在运动过程中，连接． ①用含t的代数式表示点P的坐标； ②是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践，如图在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标，且点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动， (1)求点B的坐标 (2)当点P移动到4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴4个单位长度时，求点P移动的时间． 五、坐标系上的最短路径问题 1．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)若点为轴上一动点，使得值最小，在轴上画出点（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标______． 2.（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）（1）请在给定的平面直角坐标系中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）在轴上找出一点，使的值最小．（不写画法，保留画图痕迹） 3．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴的对称图形，并分别写出，，的坐标． (2)请画出关于轴的对称图形，的面积为______． (3)在轴上画出点使最小． 4．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，其中点、、． (1)求的面积； (2)画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； (3)在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标：________（横、纵坐标值精确到整数值） 1．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）已知点，点关于y轴对称，则的值（    ） A． B． C．1 D．3 2．（24-25七年级下·重庆·期末）若点与点关于x轴对称，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴的对称图形； (2)的面积是____________． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点． (1)已知，，写出点、点关于轴和直线的二次反射点，的坐标； (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别为，，和． (1)画出关于轴对称的（点，分别是点，的对应点），并写出点的坐标； (2)在图中的平面直角坐标系中画出点，使得以，，，四点组成的四边形是轴对称图形，且对称轴是轴，并写出点的坐标． 6．（24-25七年级下·内蒙古兴安盟·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点A，已知点，，且．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动. (1)　　　，　　　，点坐标为　　　. (2)求经过几秒？ (3)若某一时刻以A、、、为顶点的四边形的面积是，请直接写出此时点的坐标. 8．（24-25七年级下·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 9．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在直角坐标系中，轴，轴，，，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，运动时间为， (1)写出，，三个点坐标． (2)当秒时，求的面积． (3)当到轴距离等于到轴距离时，求时间． 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，，．建立以点为坐标原点，所在直线为轴的平面直角坐标系， (1)求，两点的坐标． (2)在轴上找一点，使面积为，求点的坐标． (3)找一点（不与重合），使与全等，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$