专题16 平面直角坐标系中变换规律探究问题（2知识点+4大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题16 平面直角坐标系中变换规律探究问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.坐标平移规律：图形在坐标系中的平移，对应点坐标遵循“上加下减，右加左减”规律。点(x,y)向右平移a个单位，坐标变为(x + a,y)；向左平移a个单位，变为(x - a,y)；向上平移b个单位，变为(x,y + b)；向下平移b个单位，变为(x,y - b)。 2.图形对称规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数。 【题型1 平面直角坐标系中动点移动问题】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·期中）已知甲运动方式为：先竖直向上运动个单位长度后，再水平向右运动个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动个单位长度后，再水平向左运动个单位长度，现有一动点第次从原点出发按甲方式运动到点，第次从点出发按乙方式运动到点，第次从点出发再按甲方式运动到点，第次从点出发再按乙方式运动到点，…．依此运动规律，则经过第次运动后，动点所在位置的坐标是 ． 2．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一动点P在平面直角坐标系中从原点出发，按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第2023次运动后的坐标为 ． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 【题型2 平面直角坐标系中图形规律摆放问题】 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在一单位为1的方格纸上，有一列点，，，…，，…，（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，，，，…，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，… 【归纳应用】 (1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______． (2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值． 【题型3 平面直角坐标系中图形翻转问题】 例题：如图所示，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为，经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，是直角三角形，点O为直角顶点，已知点，，，将按如图方式在x轴负半轴上向左连续翻滚，依次得到、、、…，则的直角顶点的横坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将向左平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向右平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向左平移2个单位长度，得到……若按此规律作图形的变换，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型4 平面直角坐标系中新定义型问题】 例题：在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，，，，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点P的和谐点．已知点的和谐点为，的和谐点为，的和谐点为，…，这样由依次得到、、…．若点坐标为，则点的坐标为 ． 3．已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，则点的坐标是 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知点，，点是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以为对称点重复前面的操作，依次得到点，，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，则第30秒瓢虫所在位置的坐标为 ． 6．（24-25九年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，有一系列的点其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标与2的和，纵坐标是它前一个点的横坐标的相反数与1的和，即若点，则．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是 ． 8．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右变换到的位置，再变换到的位置，依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为 ． 三、解答题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）； (2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 10．（2025七年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：(________，________)，(________，________)，(________，________)； (2)求点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 11．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 12．（24-25七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，给定个不同的点，，⋯⋯，，若存在一点，使得满足的点和的点的个数相等，且满足的点和的点的个数也相等，则称点为的平分点．例如，点是，和的一个平分点． (1)已知点，，，，则点________（填“是”或“不是”），，，的平分点，________（填“是”或“不是”），，，的平分点； (2)已知的顶点坐标为，，， ①若，，线段以1个单位/秒的速度向右运动．当，，，，不存在平分点时，运动时间的取值范围是________； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，，要使点，，，，，，有且仅有一个平分点，请直接写出的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null 专题16 平面直角坐标系中变换规律探究问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.坐标平移规律：图形在坐标系中的平移，对应点坐标遵循“上加下减，右加左减”规律。点(x,y)向右平移a个单位，坐标变为(x + a,y)；向左平移a个单位，变为(x - a,y)；向上平移b个单位，变为(x,y + b)；向下平移b个单位，变为(x,y - b)。 2.图形对称规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数。 【题型1 平面直角坐标系中动点移动问题】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 根据前几次运动的规律可知第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，根据规律求解即可． 【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次从原点运动到点， 第5次接着运动到点， 第6次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， ， 第2023次接着运动到点， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·期中）已知甲运动方式为：先竖直向上运动个单位长度后，再水平向右运动个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动个单位长度后，再水平向左运动个单位长度，现有一动点第次从原点出发按甲方式运动到点，第次从点出发按乙方式运动到点，第次从点出发再按甲方式运动到点，第次从点出发再按乙方式运动到点，…．依此运动规律，则经过第次运动后，动点所在位置的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查点的坐标的规律，掌握点的运动规律及坐标的表示是解题的关键．先根据点运动的规律求出经过第次运动后分别按照甲，乙运动的方式运动的次数，再分别求出其横纵坐标即可． 【详解】解：由题意：动点经过第次运动，那么按甲运动方式运动了次，按乙运动方式运动了次， 横坐标为：，纵坐标为：， 点的坐标是， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一动点P在平面直角坐标系中从原点出发，按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第2023次运动后的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式得出点第次运动到的点的坐标为为正整数）是解题的关键． 根据题中所给的点的运动方式，发现纵坐标为3的这些点与运动次数之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点第一次运动到， 点第六次运动到， 点第十一次运动到， ， 由此可见，点第次运动到的点的坐标为为正整数）． 当时， ，， 即点第2021次运动后的坐标为． 所以第2023次运动后的坐标为． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】点坐标规律探索 【分析】(1)观察点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，再运算求解； (2)根据(1)中的规律求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，， 点的坐标为，，的坐标为，； ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标一样， 点的坐标为，， 故答案为：，，，，，； （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ；， 故答案为：． 【题型2 平面直角坐标系中图形规律摆放问题】 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据图形可知第列有个点，点的横坐标为，奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，进而得到所有列点的总数为，推出第2024个点在第列，即可得到第2024个点的坐标． 【详解】解：由图知，第一列有1个点，点的横坐标为0， 第二列有2个点，点的横坐标为1， 第三列有3个点，点的横坐标为2， 依次类推， 第列有个点，点的横坐标为，且奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动， 所有列点的总数为， 有， ， ，即第2024个点在第列， 第2024个点的横坐标为， ，为偶数列， 第2024个点的纵坐标为， 第2024个点的坐标为． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，依次为，，，，，，，根据这个规律，可得第50个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第50个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式． 【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， ∵， ∴第50个点在第10列上， ∴奇数列的坐标为 ； 偶数列的坐标为 ， 由加法推算可得到第50个点位于第10列自上而下第6行， 将10代入上式得， 即， 故选A． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在一单位为1的方格纸上，有一列点，，，…，，…，（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，，，，…，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了坐标的规律探索，根据直角坐标系得出坐标的规律是解题关键．观察坐标系发现，即可得到的坐标． 【详解】解：由直角坐标系可知，，，，…， 观察可知，， ， 的坐标为，即． 故选：B． 3．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，… 【归纳应用】 (1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______． (2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、点坐标规律探索、坐标与图形 【分析】本题考查规律型中的点的坐标， （1）根据点的下标（分偶数和奇数两种情况）以及平移规律“向右平移个单位，再向上平移个单位”，可找出点与点的坐标； （2）根据（1）中的平移规律即可得出和点的坐标； （3）根据（2）的结论即可求解； 找出点的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：当点的下标为偶数或奇数时，发现点平移的规律：向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；； （2）由（1）中的平移的规律可得： 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）由（2）知：点的坐标为，点的坐标为， 当时， 解得：， 由，符合题意； 当时， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为． 【题型3 平面直角坐标系中图形翻转问题】 例题：如图所示，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为，经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一个循环，求出的商，从而解答本题． 【详解】解：观察图形得，，，，， 经过4次翻滚后点A对应点一个循环， ， ∵点，长方形的周长为：， ∴经过505次翻滚后点A对应点的坐标为，即． ∴的坐标为． 故选：B． 【点睛】此题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是找到点的变化规律． 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，是直角三角形，点O为直角顶点，已知点，，，将按如图方式在x轴负半轴上向左连续翻滚，依次得到、、、…，则的直角顶点的横坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，从到经过的路程恰好为的周长，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：从到经过的路程恰好为的周长： 故的直角顶点的横坐标为：；的直角顶点的横坐标为： 同理：从到经过的路程恰好为： 故的直角顶点的横坐标为：；的直角顶点的横坐标为： … ∴、、、…、的直角顶点的横坐标为： ∵ ∴的直角顶点的横坐标为： ∵与的直角顶点的横坐标相同 故的直角顶点的横坐标是 故选：B 【点睛】本题考查坐标与规律．根据题意确定坐标变化规律是解题关键． 2．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将向左平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向右平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向左平移2个单位长度，得到……若按此规律作图形的变换，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了中心对称，坐标与图形变化-平移，以及规律型—点的坐标.正确求出 的坐标，进而得出点的规律是解题的关键. 【详解】由题意可知， 、 , 的纵坐标以， 为一个周期依次循环， ∴ ， 的坐标为， 故选: B 3．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2023次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即， 故选：B． 【题型4 平面直角坐标系中新定义型问题】 例题：在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：∵的坐标为， ∴，，，， …． 依此类推，每4个点为一个循环依次循环， ∵, ∴点的坐标与的坐标相同，为． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的变化规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循序组依次循环是解题的关键． 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，，，，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先分别算出，，，，，找到规律后，得点的坐标与的坐标相同，即可作答． 【详解】解：∵对于点，把点叫做点的友好点．且的坐标为 则， ， 则 ∴ 同理得，，，…… 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． ∴点的坐标与的坐标相同，为， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点P的和谐点．已知点的和谐点为，的和谐点为，的和谐点为，…，这样由依次得到、、…．若点坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用点的和谐点的定义分别写出点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，…,从而得到每4次交换为一个循环。然后利用判断点的坐标与点坐标相同. 【详解】解：根据题意得点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，…, 而， ∴点的坐标与点坐标相同，为， 故答案为：. 【点睛】本题是平面直角坐标系内的点坐标规律探究题，考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键. 3．已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意，可求得点至点的坐标，观察各点坐标，可知每个点循环一次，即可求得点的坐标与已知某个点的坐标相同． 【详解】设点的坐标为． 根据题意，得 解得 所以，点的坐标为． 同理可得，，，，． 观察各点坐标可知，点至点为一个循环，即每个点循环一次． ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同． ∴点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，解题的关键在于根据题意求得某点的对称点的坐标． 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．小球的运动轨迹是起点，第一次撞击点在y轴，且连线是等腰直角三角形的斜边；第二次撞击点在直线上，连线是等腰直角三角形的斜边；第三次撞击点在x轴上，连线是等腰直角三角形的斜边；第四次撞击点在直线上，连线是等腰直角三角形的斜边；第五次撞击点在直线上，连线是等腰直角三角形的斜边；第六次撞击点回到起始点，清楚了小球的运动轨迹，画图，根据循环的特点解答即可； 【详解】解：从点开始，第一次碰撞后的点的坐标为，第二次碰撞后的点的坐标为，第三次碰撞后的点的坐标为，第四次碰撞后的点的坐标为，第五次碰撞后的点的坐标为，第六次碰撞后的点的坐标为， ，小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是， 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2025个点的坐标． 【详解】解：纵坐标是1的点有1个， 纵坐标是2的点有3个， 纵坐标是3的点有5个， 纵坐标是4的点有7个，……， 一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是； 考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向， 纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第个点的坐标， 第2025个点的坐标为． 故选：D． 3．（2025八年级下·北京·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了规律型－点的坐标，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键． 设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得，再找到运动方向的规律即可求解． 【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则， ∴， 相加得：， ． ∵， ∴运动了1980秒时它到点； 又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故达到时向左运动43秒到达点， ∴运动了2023秒．所求点应为． 故选：A． 4．（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知点，，点是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以为对称点重复前面的操作，依次得到点，，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中中点坐标公式的应用．解题的关键是总结规律． 根据题目所给的信息，确定点关于点的对称点为，则点为点和点的中点，根据公式，可以求出点的坐标，依次类推求出点，点，点，点，点，总结规律，利用周期原理，求出点的坐标． 【详解】解：设， 点关于的对称点为，，，， ， ， ， 同理可得，，，，， 每6个点坐标循环一次， ， 点的坐标是， 故选：A． 二、填空题 5．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，则第30秒瓢虫所在位置的坐标为 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标，规律型：数字变化类，两点间距离，根据点的坐标求出矩形的周长并求出瓢虫爬行一周需要的时间是解题的关键．根据点、、、的坐标可得，的长，从而求出矩形的周长，进而求出瓢虫爬行一周需要秒，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：∵，，，， ，， ， （秒）， 瓢虫爬行一周需要秒， ，， 即瓢虫在30秒是爬了周，且继续前进4个单位长度， 则，， 第30秒瓢虫所在位置的坐标为． 故答案为：． 6．（24-25九年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，有一系列的点其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标与2的和，纵坐标是它前一个点的横坐标的相反数与1的和，即若点，则．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，熟练找出其中的规律是解题的关键． 根据题意，计算出各点的坐标，从中得出坐标4个为一个循环，由此得出结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ∴上述坐标每4个为一个循环周期． ∵ ∴点的坐标为． 故答案为． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，计算点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第秒点位置，找出运动规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为：（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； ； 则当时间为秒时，， ∴点， 故答案为：． 8．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右变换到的位置，再变换到的位置，依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，由已知可得，即得，据此可得，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）； (2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【答案】(1)， (2)小正方形675个，大正方形675个 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、点坐标规律探索 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2023米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形675个，大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：(________，________)，(________，________)，(________，________)； (2)求点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；5，1；7，0 (2) (3)向上 【知识点】点坐标规律探索、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为1，横坐标为．据此可得答案； （3）由可知从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上 ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，，， ∴，，， 故答案为：2，0；5，1；7，0； （2）观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为，依次出现． ， 的纵坐标为1，横坐标为， ． （3）， ∴从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上． 11．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 【答案】(1)，，48 (2)， (3) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． （1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，给定个不同的点，，⋯⋯，，若存在一点，使得满足的点和的点的个数相等，且满足的点和的点的个数也相等，则称点为的平分点．例如，点是，和的一个平分点． (1)已知点，，，，则点________（填“是”或“不是”），，，的平分点，________（填“是”或“不是”），，，的平分点； (2)已知的顶点坐标为，，， ①若，，线段以1个单位/秒的速度向右运动．当，，，，不存在平分点时，运动时间的取值范围是________； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，，要使点，，，，，，有且仅有一个平分点，请直接写出的值． 【答案】(1)不是，是 (2)①且；②或 【知识点】点坐标规律探索、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查平分点的定义，点的横纵坐标特点，解题的关键在于理解平分点的定义． （1）根据平分点的概念进行判断，即可解题； （2）①根据平分点定义，分别分析，，，，的横纵坐标特点，即可得到运动时间的取值范围； ②根据平分点定义，分别分析，，，，，，的横纵坐标特点，根据横纵坐标特点找出满足横坐标或纵坐标能平分的的取值，进而讨论另一种坐标是否能被平分，即可解题． 【详解】（1）解：， 点不是，，，的平分点， ，， 是，，，的平分点， 故答案为：不是，是． （2）①解：当运动时间为时，，， ， 即当纵坐标为时，能平分，，，，的纵坐标， ，，，，不存在平分点时， ，，，，的横坐标不能平分， ， 且时，，，，，的横坐标不能平分， 故答案为：且； ②解：，，，，，，有且仅有一个平分点， 又横坐标中，， 纵坐标中，， 当且仅当或（即）时，能够平分横坐标， 此时，当时，纵坐标，不能平分，舍去； 当时，纵坐标，即纵坐标为且只能为时，能平分； 又当且仅当（即）或（即）时，能够平分纵坐标， 此时，当时，横坐标，即横坐标为且只能为时，能平分； 当时，横坐标，不能平分，舍去； 综上所述，或时，点，，，，，，有且仅有一个平分点． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$