精品解析：河北省邯郸市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试题

河北省邯郸市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 2. 已知高一三班的某次数学测试中，某学习小组的成绩如下：70，75，94，85，85，90，86，90，85，100，则该小组成绩的平均数、众数、中位数的大小关系是（ ） A. 众数=中位数<平均数 B. 众数<中位数<平均数 C. 众数<平均数<中位数 D. 众数=平均数<中位数 3. 在中，记，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗，若每颗种子是否发芽是随机的，则下列各组事件中，是互斥事件的是（ ） A. “恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多两颗红豆种子不发芽” B. “恰有四颗种子发芽”与“至少两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” C. “至少五颗种子发芽”与“至多一颗绿豆种子发芽” D. “恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽” 6. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆台的上底面直径为1，下底面直径为2，高为1，以圆台下底面为底面，上底面中心为顶点，挖去一个圆锥，则剩下几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机事件的样本空间，事件，事件，事件，以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数对应的点位于复平面第四象限 C. D. 若复数满足，则的最大值是 11. 如图，在四棱台中，上下底面均为矩形，上下底面对角线交点的连线垂直于上下两个底面，.以下说法正确的是（ ） A. 四棱台的高是3时，四棱台的体积为336 B. 四棱台的高是4时，侧面和底面ABCD所成角为 C. 四棱台的高是时，四棱台存在一个与上下底面、侧面和侧面都相切的内切球，不存在和六个面都相切的内切球 D. 四棱台的高是15时，四棱台外接球的表面积是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.9，乙的中靶概率为0.8.若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为____________. 13. 某工厂的三个车间生产同一种产品，产量占比分别为.现在用分层随机抽样方法按比例分配从这三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则车间应抽取___________件；若三个车间产品的平均使用寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则该样本的方差为____________. 附：，其中为每层占比，为每层平均数，为每层标准差，为总体平均数. 14. “阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面直角坐标系中，点，单位向量与向量垂直. （1）求单位向量的坐标； （2）若，且，求向量在上的投影向量. 16. 为了解污水排放情况，市环保部门对辖区内的200个大型社区一天的污水排放量（单位：千立方米）进行了调查.如图是某天从中抽取的50个社区所产生的污水排放量绘制的频率分布直方图. （1）求的值并估计抽查社区污水排放量的中位数； （2）为了有效降低污水排放量，管理部门计划从这50个社区污水排放量高于14千立方米的社区里，用按比例分配的分层随机抽样抽取5个社区.从这5个社区中任选2个社区，参与新型污水处理实验，求此2个社区污水排放量都在的概率. 17. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若为边AC上一点，且，求的值. 18. 为了增强游客体验，某景区拟在一块半径为100m的圆形空地内建造一个内接四边形区域作为游客漫时光体验区.如图所示，在四边形ABCD区域中，将区域设计成花卉观赏区，区域设计成漫时光DIY区，边修建观赏步道，边AC修建隔离栏，其中. （1）求漫时光DIY区（即）面积的最小值； （2）为使总的观赏步道尽可能长，则应如何设计四边形？请给出设计方案. 19. 如图，直三棱柱的体积为的面积为为线段上一动点，. （1）当时，证明：平面. （2）当时，若，平面平面. （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邯郸市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】由，则， 则复数的虚部为. 故选：C. 2. 已知高一三班的某次数学测试中，某学习小组的成绩如下：70，75，94，85，85，90，86，90，85，100，则该小组成绩的平均数、众数、中位数的大小关系是（ ） A. 众数=中位数<平均数 B. 众数<中位数<平均数 C. 众数<平均数<中位数 D. 众数=平均数<中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数的概念，求出相应的这三个数，比较大小，即得答案. 【详解】学习小组的成绩从小到大排列如下：70，75，85，85，85，86，90，90，94，100， 众数为85；中位数为， 平均数为, 故众数<中位数<平均数, 故选：B 3. 在中，记，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题可得，然后线性表示即可. 【详解】由题可知：，所以在线段上且，则 所以. 故选：A 4. 已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，根据空间中线面得位置关系可判断错误；对于D，利用线面垂直的性质证明正确即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则可能平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，则可能平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则，因为，所以存在，使得， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 5. 某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗，若每颗种子是否发芽是随机的，则下列各组事件中，是互斥事件的是（ ） A. “恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多两颗红豆种子不发芽” B. “恰有四颗种子发芽”与“至少两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” C. “至少五颗种子发芽”与“至多一颗绿豆种子发芽” D. “恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽” 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可. 【详解】对A，可以同时发生“有一颗红豆种子不发芽”，故不是互斥事件； 对B，可以同时发生“两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” ，故不是互斥事件； 对C，“至少五颗种子发芽”，则至少有2颗绿豆种子发芽，“至多一颗绿豆种子发芽”不会同时发生，则是互斥事件； 对D，可以同时发生，“两颗红豆种子发芽，一颗绿豆种子发芽”，故不是互斥事件. 故选：C 6. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解. 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个， 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，.共11个基本事件. 所以. 事件包含的基本事件有： ，， ， ， ，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得：. 故选：D 7. 如图，圆台的上底面直径为1，下底面直径为2，高为1，以圆台下底面为底面，上底面中心为顶点，挖去一个圆锥，则剩下几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算圆台的体积和挖去的圆锥的体积，然后作差即可. 【详解】由题可知：上底面和下底面的半径分别为， 所以， 所以剩下几何体的体积为. 故选：B 8. 在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可设（），利用表示出，再利用二次函数值域的求法求解. 【详解】如图： 设（）， 则， 又， 所以. 所以，（）. 所以当时，取得最小值，为； 当时，取得最大值，为. 所以. 故选：A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机事件的样本空间，事件，事件，事件，以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合事件的交集，并集和古典概率和独立事件的乘法公式逐项判断可得. 【详解】对于A，由事件可得，则，由古典概率可得，故A正确； 对于B，由事件可得，则，所以，故B正确； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数对应的点位于复平面第四象限 C. D. 若复数满足，则的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AC，利用复数的四则运算和模长公式计算即可判断；对于B，利用复数除法计算后根据复数的几何意义即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合即可计算判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，其对应的点位于复平面第三象限，故B错误； 对于C，因，故，故C正确； 对于D，由可知，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，半径为5的圆， 而可理解为点到圆上的点的距离，如图所示. 由图知，当且仅当圆上的点在处(三点共线)时，距离最大，为，故D正确. 故选：CD. 11. 如图，在四棱台中，上下底面均为矩形，上下底面对角线交点的连线垂直于上下两个底面，.以下说法正确的是（ ） A. 四棱台的高是3时，四棱台的体积为336 B. 四棱台的高是4时，侧面和底面ABCD所成角为 C. 四棱台的高是时，四棱台存在一个与上下底面、侧面和侧面都相切的内切球，不存在和六个面都相切的内切球 D. 四棱台的高是15时，四棱台外接球的表面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用棱台的体积公式计算即得；对于B，分别取的中点，连接，证明为侧面和底面所成的角，求解即可判断；对于C，先判断内切球的球心为的中点， 作于点，利用直角梯形求得，即可判断；对于D，先判断四棱台外接球的球心在上，利用等腰梯形建立方程即可求出外接球半径，即可判断. 【详解】对于A，当四棱台的高是3时，四棱台的体积为： ，故A正确； 对于B，如图分别取的中点，连接，易得， 因平面，平面，则， 又平面，故平面， 因平面，则，故即侧面和底面所成的角， 过点作于点，则，， 则，故B错误； 对于C，由图形对称性可知，四棱台若存在一个与上下底面、侧面和侧面都相切的内切球， 则内切球的球心必为的中点，如图，设内切球的半径为，则， 作于点，因，， 又，设，则有， 解得，即存在一个与上下底面、侧面和侧面都相切的内切球； 同法取的中点，连接，若存在和六个面都相切的内切球， 则球心必为的中点，因， 则与上下底面、侧面和侧面都相切的球与侧面和侧面不相切， 即不存在和六个面都相切的内切球，故C正确； 对于D，如图由图形对称性可知，四棱台外接球的球心必在上， 设外接球半径为，连接， 则， ，则有，解得， 故外接球的表面积是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.9，乙的中靶概率为0.8.若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用间接法直接计算即可. 【详解】由题可知：甲、乙至少有一人中靶的概率为. 故答案为： 13. 某工厂的三个车间生产同一种产品，产量占比分别为.现在用分层随机抽样方法按比例分配从这三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则车间应抽取___________件；若三个车间产品的平均使用寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则该样本的方差为____________. 附：，其中为每层占比，为每层平均数，为每层标准差，为总体平均数. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空：根据分层抽样按比例抽取即可得到车间应抽取的件数；空：由分层抽样的方差公式即可求解. 【详解】空：由分层抽样方法可得：抽取车间应抽取的件数为：； 空：样本的总体平均数为：， 样本的总体方差为：. 故答案为：；. 14. “阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形组成的多面体.某广场的石凳就是由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成的阿基米德多面体，它可以看成一个正方体截去八个一样的四面体得到，称之为截半立方体.若图中截半立方体的棱长，则异面直线AD和FP所成的角为____________，直线EB到平面PGQ的距离为____________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用异面直线的定义求出夹角；将截半立方体还原成正方体，利用平行平面的距离，结合等体积法求得答案. 【详解】依题意，，则是异面直线AD和FP所成的角或其补角， 在中，，因此； 将截半立方体还原成正方体，由截半立方体的结构特征知，平面平面， 则直线EB到平面PGQ的距离等于平面与平面的距离， 而三棱锥都是正三棱锥，它们的高所在直线与正方体的一条体对角线重合， 设三棱锥的高等于，而侧棱长为，由， 得，即，解得， 而，所以所求距离. 故答案为：； 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面直角坐标系中，点，单位向量与向量垂直. （1）求单位向量的坐标； （2）若，且，求向量在上的投影向量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得，设所求为，根据题目条件列方程组求解的值即可； （2）根据题目条件求得，再结合投影向量的定义即可求解. 【小问1详解】 由题意，设所求为， 因为单位向量与向量垂直， 所以，解得或； 故所求为； 【小问2详解】 由题意， 因为，且与向量垂直，所以， 解得， 所以，而， 从而， 因为， 所以向量在上的投影向量. 16. 为了解污水排放情况，市环保部门对辖区内的200个大型社区一天的污水排放量（单位：千立方米）进行了调查.如图是某天从中抽取的50个社区所产生的污水排放量绘制的频率分布直方图. （1）求的值并估计抽查社区污水排放量的中位数； （2）为了有效降低污水排放量，管理部门计划从这50个社区污水排放量高于14千立方米的社区里，用按比例分配的分层随机抽样抽取5个社区.从这5个社区中任选2个社区，参与新型污水处理实验，求此2个社区污水排放量都在的概率. 【答案】（1），中位数为11； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估计中位数. （2）求出抽取的5个社区中两个指定社区个数，再利用列举法求出概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得； 污水排放量在的频率为，污水排放量在的频率为， 则污水排放量的中位数，，解得， 所以，社区污水排放量的中位数为11. 【小问2详解】 用分层抽样抽取的5个社区中，在的社区有个，记为； 在的社区有个，记为， 从中选取2个的基本事件为，共10个； 污水排放量都在的结果为，共3个， 所以2个社区污水排放量都在的概率为. 17. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若为边AC上一点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦展开式化简可得答案； （2）设，在，由正弦定理求出，再由可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理得 ， 可得， 因为，所以，得， ， ，因为，所以， 可得； 【小问2详解】 因为，，所以， 可得， 设，在，由正弦定理得， ， . 18. 为了增强游客体验，某景区拟在一块半径为100m的圆形空地内建造一个内接四边形区域作为游客漫时光体验区.如图所示，在四边形ABCD区域中，将区域设计成花卉观赏区，区域设计成漫时光DIY区，边修建观赏步道，边AC修建隔离栏，其中. （1）求漫时光DIY区（即）面积的最小值； （2）为使总的观赏步道尽可能长，则应如何设计四边形？请给出设计方案. 【答案】（1）（） （2）设计方案为：四边形中，使得为等腰三角形，D点在另一侧的圆弧上，为等边三角形. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出，分两种情况讨论，分别求出面积，比较大小，即得答案； （2）结合额（1）分两种情况讨论，结合三角恒等变换分别求出的表达式，结合三角函数性质求出其最大值，比较即可得答案. 【小问1详解】 由于，故, 则， ，故或，， 当时，，此时（）； 当时，，此时（）， 即漫时光DIY区（即）面积的最小值为（）； 【小问2详解】 由（1）知当时，，此时， 设，则， 故 ， 由于，故，则最大值为200，此时， 则此时步道长为（m）； 当时，，此时， 设，则， 故 ， 由于，故，则最大值为，此时， 则此时步道长为（m）； 由于， 故为使总的观赏步道尽可能长，则应使得， 即设计方案为：四边形中，使得为等腰三角形， D点在另一侧的圆弧上，为等边三角形. 19. 如图，直三棱柱的体积为的面积为为线段上一动点，. （1）当时，证明：平面. （2）当时，若，平面平面. （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值范围. 【答案】（1）证明：当时，即为的中点，设，连接， 则是的中位线，则， 因为平面，平面， 所以平面； （2）（i）证明：过点作交AC于点，过点作交于点，连接． 在直三棱柱中，平面平面，平面平面平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又因为，所以平面DFG． 又因为平面DFG，所以． 于是， 故有． （ii） 【解析】 【分析】（1）设，利用线面平行的判定定理可得答案； （2）（i）作出辅助线，写出各角余弦值的表达式即可求解；（ii）作出辅助线，找到二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）在矩形中，，故矩形为正方形，从而． 又因为平面平面，平面平面． 所以平面，从面． 在直三棱柱中，平面ABC，故有． 又因为，所以平面，从面且．设， 依题意，，于是． 即． 解法1：过点作交于点，连接． 由（i）知，平面，从而． 又因为，所以平面，从而，故为二面角的平面角． 又因为且，所以为二面角的平面角． 又，故二面角的平面角为． 设二面角的平面角为，依题意，． 因为，且，故． 由于，故有，从而， 所以， 因为，所以， 从而， 于是． 因此二面角的正弦值范围为． 解法2：过点作交于点，连接． 显然，故，，，四点共面． 因为平面，从面且． 故为二面角的平面角． 因为，所以． 又因为，所以． 在Rt中，， 故有． 因为，所以． 于是． 因此二面角的正弦值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $