甘肃省天水市2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题

2024一2025学年高一期末（下）测试 数 学 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答逐卡上对应题目的答案标号涂 。如改动，用放皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4,本试卷主要考试内容：人教A版必条第一册至必修第二册。 一、选择题：本题共8小爱，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目罢求的， 1.若向量a=(x,3),b=(93),且a仍，则x= A-号 唔 C.-93 D.9w3 2.已知巢合A=《-3,0,3},B={x|x2=2x},则AUB= A.{0y B-3,0,2,3} C.{-3,2,3} D.(-3,-2,0,3} 3.已知f(x)是定义在R上的裔函效，当x>0时，f(x)=一z2十3，别log[f(0)十f(-3)]= A.1+1og32 B.2+10g,2 C.1 D.2 4.某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm), 朗组 将得到的数据按[150,160)，C160,170),C170,180),[180, 0,00 2 190们分为4组，脸出如图所示的频路分布此方图，则估计这 100名学生中身高低于170cm的人数为 A.56 0.012 B.52 C.48 D.44 01S0160170180190身/cm 5.从1~5这5个整数中随机进择两个不须复的数字，则这两个敛字之积大于8的报率为 7 B. B是 c D号 6.小华为测宜A,B(视为质点)两地之间的距离，选叹C,D(与A,B在同一水平面上)两点进 行测量，已知D在C的正东方向上，CD=2AD=40米，A在C的北偏东60°方向上，B在D 的南偏西30方向上，BD=30米，则A,B两地之间的距离是 A40米 B.10w13米 C.10√19米 D.60米 [高一数学第1页（共4页）] 7.已知半径为2的球O与某维的底所和阅预均相切，且该倒坡的触却面为等边三角形，购该 愿樵的浅面积为 A.24x B.36x C.18x D.30x 8若实效a,b,c满足a一2-（号》广+1=log6+1,则a,bc的大小关系不可能是 A.b>a>c B.a>bc C.c>b>a D.c>a>b 二、选择题：本姬共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若复数1=i05-30,x,=二4二日，则 A la>l B.1的实部与虚部之和答于x:的实部与虚部之和 C1的共轭复数为3一5引 D.x:在复平面内对应的点位于第四象限 10.连续抛绑一枚硬币两次，件A衣示“第一次硬币正面朝上”，事件B表示第二次硬币反面 朝上”，本件C表示“两次预币都正面初上”，东件D装示“两次诞币朝上的情况不同”，则 AA与C相互独立 BA与D相互独立 C,B与C相互独立 D,B与D相互独立 11.在正方体ABCD-A1B,C,D,中，M,N分别为线段AB,AD,的中点，P为正方形BB1C1C 内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是 A.三校维A-A,D,P的体积为定值 B不存在点P,使得平面B,MN?面CDP C存在痘一的点P,使得D,P丹面B,MN D.直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为25 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12不等式2一>0的解兔为_人一2z1的解集为】 13,在正四棱台ABCD-AB,C1D1中，AB=2A1B1=4,E,F分别是棱BC,CC1的中点，若正 四棱台ABCD-A,B,C,D,的侧面积为123，则异顶直线AD,与EF所成角的余弦值是 14,赵突弦图是中国古代数学的图砖，它是由四个全等的直角三角形与 一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵英弦图，用六 个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其 中G,H,J,K,L,M分别是AM,BG,CH,DJ,EK,FL的中点，O 是正六边形ABCDEF的中心.若AK=mAO十nAB,则m十t= 【商一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分，斜答应写出文字说明、证明过程或演算步聚， 15.(13分) 玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生案和腊食纤维，汁水饱满，果肉细队，清甜爽润.甲分 别恋机抽测了A产地和B产地各6个玉菇甜瓜的承量（单位：g),将得到的数据按从小到大 的顺序分别记录如下： 第一组数据(A产地)±m11941200120112021210 第二组数据(B产地)：119211941199n12031209 已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数踞的第60百分位数和第二组数 据的中位数相等 (1)求m,: (2)请你估计哪个产地的玉若甜瓜瓜量更稳定，并说明理由。 16.(15分) 已知函数f(x)=cos(r十p)(w>0,0<p<π)的最小正周期为π，且f(x)的图象关于点 (爱，0)对称 (1)求f(x)的解折式： (2)若函数g(x)=√2f(x)一(W3+1)f(x+g),求g(x)的值域和单调区间. 17.(15分》 甲、乙两位同学进行中国急棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛 结來：4局比瘀后，设人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数 相同为平局，已妇每局比赛中甲获在，平局、乙获胜的概水分别为宁，言，分，且每局比赛的结 果相互独立， (1)求比赛3局结束的概率； (2)求甲最终获胜的概率。 【商一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3sin2B十√3sin'C-√3sin2A+ 2sin Asin Bsin C=0. (1)求A. (2)已知6=5，c=3. ①若△ABC内切因的图心为O,求AO, ②在线段AB,BC,AC上分别存在点D,E,F(D,E,F分别与线段AB,BC,AC的端点 均不重合)，使得SAAe=SAe=SAc,求S6r的最小位 19.(17分) V心共 定义两个多面体1,0：的相似度K一，+VV共中V会是多面体1，：合部分 的体积，，V分别是多面体1，：的体积，如图，在三校锥PABC中，P市=λPA(0<a <),D,E分别是接PB,PC的中点，直线DF与直线AB交于点G,直线EF与直线AC 交于点H. (I)当入=子时，求三按锥P-ABC与三校锥F-AGH的相似度K。 (2)是否存在X,使得三按维P-ABC与三棱维FAGH的相似度K-得： 若存在，求出入的 值；若不存在，请说明由。 [高一数学第4页（共4页）】 2024一2025学年高一期末（下）测试 数学参考答案 1.D由题意得3x=27,得x=93. 2.B由题意线B={0,2},所以AUB=(一3,0,2,3. 3.A由题总得f(0)=0,f(-3)=一f(3)=6,所以log[f(0)+f(-3)]=og6=1+log2. 4,A由图可得10X(0.012+m十2n+0.040)=1,得m=0.016,所以估计这100名学生中身 高低于170cm的人数为100×10×(0.016+0.040)=56. 5.D这个试脸的样本空间2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3， 5),(4,5)},包含10个样本点.设事件A=“这两个数字之积大于8”，则A={(2,5),(3,4), (3,5,4,5,包含4个样本点，所以P)=音-是 6.C由题中数据可得∠ACD=30°，∠CDB=60'.因为∠ACD=30°，CD=2AD,所以∠CAD= 90°，所以∠CDA=60°，所以∠ADB=120°.在△ABD中，AD=20米，BD=30米，∠ADB= 120°，由余弦定理可得AB2=AD+BD2一2AD·BDco3∠ADB=1900,则AB= 10w19米. 7.B如图，△SAB是该阳锥的轴面，H为线段AB的中点，O为球O的 球心，作0CLB5,垂足为C,则sm∠0sC-器-器因为△sAB为等 边三角形，所以BS=28H,所以8S-器-=宁，所以O5=20C=所以 SH=6,所以BS=28H=4W5,则该圆锥的表面积为x2)2+合×4v3x×4W5-36x 8.C令a-2=(2)°+1=1ogc+1=x,则a=工+2,6= 1og:(x一1)，c=2-(x>1).函数f(x)=x+2,g(x)= og4(x一1)，h(x)=21的大致图象如图所示.当1<x<x1 时，g(x)>f(x>h(x),即b>a>c:当x<x<x2时，f(x) >g(x)>h(x),即a>b>cs当x2<x<x1时，f(x)>h(x) >gx),即a>c>b;当x>x时，h(x)>f(x)>g(x),即c /) >a>b, 9AC由题意得21=5i-3=3+5i,2=二i-4-4 ✉2 2=一4十 4i,则|z11=√4>z2l=√32，A正确. 【高一数举·会考答案第1页（共7页】 x1的实部与虑部之和为3十5=8，x:的实部与虑部之和为一4十4=0，B错误 1的共靶复数为3一5i,zz在复平面内对应的点（一4,4）位于第二象限，C正确，D误 10.BD南意可得P(A)=P(B)=P(D)=之，P(C)=P(AC)=P(AD)=P(BD)=是， P(BC)=0,P(AD)=P(A)P(D),P(AC)P(A)P(C),P(BD)=P(B)P(D), P(BC)≠P(B)P(C),故A与C不湘互独立，A与D相互独立，B与C不相互独立，B与 D相互独立， 11.ABD由正方体的性质可知平面AA,D,D平面BB,C,C,因为P∈平面BB,C,C,所以点 P到平面AA,D,的距离为定值.因为△AA,D,的面积为定值，所以三棱能P-AA,D,的体 积为定值，即三校锥A-A:D,P的体积为定值，A正确.因为CD,B,N是相交关系，所以不 存在点P,使得平面BMN年面CDP,B正确.延长A1B,至点E,使得B1E=之A1B, 连接DE,BD,D,E,记D,E∩B,C=F,连接BF(图路).易证平面BD,E平面B,MN. 当点P在线段BF上时，D,PC平面BD,E,则D,P∥平面B,MN,即使得D,P∥平面 B,MN的点P有无数个，C揹误.作PH⊥BC,垂足为H,连接MH(图路)，则∠PMH为 直线PM与平面ABCD所成的角.因为PH⊥BC,平面BCC,B,⊥平面ABCD,且平面 BCC,B,n平面ABCD=BC,所以PH⊥平面ABCD,所以PH⊥MH,则tan∠PMH= 设AB=a,显然当点P在校B1C,上时，〈PH)=a,当点H与点B重合时， MH)-=za,即当P与B,重合时，(an∠PMH)u=2,则(in∠PMH)m=2 5,D 正确。 12(侵+o∞)（分1】由2z>0,得2x-1>0,得>2由2z≥1，相2>≥0，得 2经二子0，侧22-0得1. 2x-1≠0， ·取控AB的中点H,连接C,H,BC,(图略)，易证四边形AHC,D,为平行四边形，则 AD,∥HC1. 因为E,F分别是棱BC,CC,的中点，所以BC,∥EF,则∠BC,H是异而线AD,与EF 所成的角或其补角.作C,G⊥BC,垂足为G(图略)因为正四棱台ABCD-A:B:C,D,的侧 面积为123，所以2+C1CX4=123,所以C,G=5,则BC,=C,H=√3=2V3. 2 因为BH-号AB=2,所以60sLBC,H-CHB-9， 2BC,·C,H =号，即所球值为？ 14号连接CP,则0为线段CF的中点连接OB,易正四边形ABOF,AB00均为平行图边 [高一故学·参考爸瓷第2页（共7页）】 形，则BC-Aò-A店+A京.连接EM,则A,M,E三点共线，且AM -2碗所以=号范=号+成)=号+号就-号 +号A克由正六边形的性质可得动=A成，D成=一号克，则A欣 =花+ò+成-号龙+店-店+萨=}A店+砧 因为A成=mA+n店，所以m=号n=号，则m十n=号。 15.邻：(1)由题范得1210一m=1209一1192，得n=1193.…2分 因为6X60%■3.6，所以第一组数据的第60百分位数为1201g…4分 又第二组数据的中位数为1199+，所以119+”=1201，得n=1203. 2 2 …6分 (2)第一组数径的平均数为1193+1194+120+1201+1202+1210120g,…7分 方差为7+62+0++2+10-9 6 4……9分 第二组数据的平均数为1192+1194+1199+1203+1203+1209-1200g,…10分 方差为8+6+12+32+32+9=100 1412分 因为号<9，所以估计A产地的玉菇甜瓜面量更稳定。 4*13分 16,解：(1)由题爸很w=2红=2. *12分 因为fx)的图象关于点（爱，0）对格，所以2X令十p=变十x欣∈2)，得p=草十x(k∈ …*4分 又0<g<x,所以p=西 5分 故fx)=cos(2x+F): …6分 (2)由题意得g(x)=2f(x)-(+1)f(x+8)=Eos(2x+)-(W3+1)0s(2x+ 2）=cos2x-sin2x+(3+1)sin2x=5in2x+cos2x=2sin(2z+若)，…10分 则g(x)的值战为[一2,2]. 11分 由-2+2km≤2zx+君≤受+2kxk∈2，得-牙十k≤x≤g+kx(k∈2，…12分 【高一致学·参考答类第3页（共7页】 所以gx)的单调递增区间为[一牙十，答十∈2.…13分 由受+2kr≤2z红+若≤受+2kx∈2D,得管+k6x<+krk∈2，…14分 所以g红)的革调迷诚区间为[君+女x,晉+女]E2》. 15分 17.舒：(1)比赛3局结束的情况有以下两种： 第一种情况是前2局比赛中甲获胜1局，且第3局比赛甲获胜，其概率为（号）'×2=！ 0g8580000000年+年p年s第00004400小0e4中 *2分 第二种惰况是前2局比变中乙获胜1局，且第3局比赛乙获胜，其摄率为（侵）”×号×2= 4 27 4分 故比资3网结束的概率为子+分一总。 6分 (2)甲危终获胜的情况有以下三类： 第一类情况是甲连胜2局，比斑结束其概率为分)°=子 …8分 第二类情况是前2局比奕中甲获胜1局，且第3局比赛甲获胜，其概率为（之）'×2=子： 141…9分 第三类情况是4局比赛后甲最终获胜，包含①甲获胜1局，其他3局平尚，②前3局比赛中 甲获胜1局，其他2局平局，且第4局比实甲获胜，③前3局比张中甲获胜1局，乙获胜 1局，其他】局平局，且第4刷比张甲获胜这三种情况，… 1…10分 甲获胜1局，英他3局平局的概率为2×（合）》广×4=品， 11分 前3局比婆中甲获胜1局，其他2局平刷，且究4局比葵甲获胜的概帝为（号）'×（合）》×3 12分 前3局比资中甲获胜1局，乙获胜1局，共他1局平局，且笫4局比赛甲获胜的概率为（分）》 ×号×倍×6=武 13分 故甲最终获胜的概卓为号+好+过+点十片二2织 4中108T48T12432 15分 18.解：(1)由正弦宠理得6+c一a+23 3 bcsin A=0, *4…1分 【高一致学·参考答案第4页（共7页）】 2be 写sinA=0, 2分 得anA=加A=-5. cos A 3分 因为A∈0，x,所以A= 3· 4分 (②0如图，由题意得Se=是sinA=15 。 …5分 由余弦定现得a2=b2十c2-26 ccos A=49,得a=7.…7分 设△ABC内切圆的半径为r,则r= 2S4e-3 a十b+e2" …8分 所以AO= sin子 9分 ②如图，设AD=x>0,BD=y>0,别x十y=3. 由正孩定理品”品Bc得血C=如A- 14 *10分 由Saue=合XAFsin A=Sac=号X合×3X5inA,得sXAF=只得AF=是 由sae=2XEmB-宁9oc=号×合X3X1snB,得yXBE-号得BE-器 *44…12分 sam=2 CFXCEsinC-=-(5-）x(7-0)×89-15(1-2)x(1-)- (1-会-是+品》-[-+品]-(1-品+品)- 5(1-品. 14分 由x十y=322√网，得≤号，当且仅当x=y=2时，等号成立 3 15分 Soae=5oe-5心e-5s-8a0m-79oe-5nem-15y-15(1-岛)≥ 155-15(1-0×》-g 16 …16分 故SADr的最小值为15y3 16 19.解：设△ABC的面积为S,点P到平面ABC的距离为h,则三校维P-ABC的体积V,= 17分 【高一数学·参为答案第5页（共7页）】 3 】分 取校PA的中点M,莲接DM. 因为D,M分别是按PB,PA的中点，所以DMAB,DM=之AB, 所以△PDM△PBA,则SaaN=SAPRA,… 4*”3分 (I)因为入=子，所以F是线段PM的中点，所以Sae=2Saow一gSAa: 因为E是线段PC的中点，所以点C到平而PAB的距离hc是点E到平面PAB的距离h: 的2倍， 所以三楼馆EPDF的体积V=SAoh:=号X官SomXthe-高So以·Ae=点St, …5分 则三棱锥PABC与三棱锥F-AGH的重合部分的体积V公线=V,-V= i6Sh.…6分 因为DMAc,且兴-宁，所以AG=3DM,所以哈是-导 易i证BCGH,则△ABC∽△AGH,所以SAar=SAc 因为A=子所以点F到平面AGH的距离为， 剥三按维FAGH的体积V4=言SorXh=吉×是SAcX导A=器 Sh,…7分 故三棱饿P-ABC与三棱维F-AGH的相似度K= 16Sh s15 28 …8分 (2②因为萨一，所以， 2eλ IPAI PMI 2A,所以Soe=2ASoW=含S6e: 因为E是线段PC的中点，所以点C到平面PAB的距离hc是点E到平而PAB的距离hE 的2倍， [商一数学·考答桌第6页（共7页）】