山东省平邑第一中学校本部2024-2025学年高一下学期5月模块考试数学试题

2025年山东临沂市平邑一中校本部高一（下）5月模块考试（原卷版） 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）已知，，则与同向的单位向量的坐标为　　 A． B． C． D． 2．（5分）数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为　　 A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86 3．（5分）若复数是纯虚数，则实数　　 A．1 B．0或1 C．1或2 D．1或3 4．（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “至多有一枚硬币正面朝上”，事件 “两枚硬币正面均朝上”，事件 “两枚硬币正面均朝下”，则　　 A．与对立 B．与不互斥 C．与对立 D．与对立 5．（5分），为不重合的直线，，为互不相同的平面，下列说法正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 6．（5分）关于空间向量，以下说法正确的是　　 A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面 B．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若，则的夹角是钝角 7．（5分）点、在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，下列说法中正确的个数是　　 ①平面； ②平面平面； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（5分）如图，在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）已知一组数据为：4，1，2，5，5，3，3，2，3，2，则　　 A．标准差为 B．众数为2和3 C．70百分位数为 D．平均数为3 （多选）10．（6分）在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是　　 A．， B．， C．， D．， （多选）11．（6分）在棱长为1的正方体中，已知点在面对角线上运动，点、、分别为、、的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则　　 A．平面 B．平面平面 C．过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为 D．动点到点的距离的取值范围是 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）若向量满足：，则在上的投影向量为 　　． 13．（5分）已知与为单位向量，且满足，则与的夹角 　　 ． 14．（5分）在三棱锥中，平面，，且，，则三棱锥外接球的体积等于 　　． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，，，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 16．在举重比赛中，甲、乙两名运动员试举某个重量成功的概率分别为，，且每次试举成功与否互不影响． （Ⅰ）求甲试举两次，两次均失败的概率； （Ⅱ）求甲、乙各试举一次，至多有一人试举成功的概率． 17．（15分）已知向量，设函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若在区间上有解，求实数的取值范围． 18．（17分）请在下列三个条件中选择一个作为条件补充在题目的横线上，并解决问题． ①． ②． ③． 已知的内角，，的对边分别为，，，且____． （1）求； （2）若，点在线段上，且，求的最大值． 19．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若是棱的中点，，求点到平面的距离． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年山东临沂市平邑一中校本部高一（下）5月模块考试（解析版） 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）已知，，则与同向的单位向量的坐标为　　 A． B． C． D． 2．（5分）数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为　　 A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86 3．（5分）若复数是纯虚数，则实数　　 A．1 B．0或1 C．1或2 D．1或3 4．（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “至多有一枚硬币正面朝上”，事件 “两枚硬币正面均朝上”，事件 “两枚硬币正面均朝下”，则　　 A．与对立 B．与不互斥 C．与对立 D．与对立 5．（5分），为不重合的直线，，为互不相同的平面，下列说法正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 6．（5分）关于空间向量，以下说法正确的是　　 A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面 B．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若，则的夹角是钝角 7．（5分）点、在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，下列说法中正确的个数是　　 ①平面； ②平面平面； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（5分）如图，在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）已知一组数据为：4，1，2，5，5，3，3，2，3，2，则　　 A．标准差为 B．众数为2和3 C．70百分位数为 D．平均数为3 （多选）10．（6分）在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是　　 A．， B．， C．， D．， （多选）11．（6分）在棱长为1的正方体中，已知点在面对角线上运动，点、、分别为、、的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则　　 A．平面 B．平面平面 C．过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为 D．动点到点的距离的取值范围是 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）若向量满足：，则在上的投影向量为 　　． 13．（5分）已知与为单位向量，且满足，则与的夹角 　　 ． 14．（5分）在三棱锥中，平面，，且，，则三棱锥外接球的体积等于 　　． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，，，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 16．在举重比赛中，甲、乙两名运动员试举某个重量成功的概率分别为，，且每次试举成功与否互不影响． （Ⅰ）求甲试举两次，两次均失败的概率； （Ⅱ）求甲、乙各试举一次，至多有一人试举成功的概率． 17．（15分）已知向量，设函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若在区间上有解，求实数的取值范围． 18．（17分）请在下列三个条件中选择一个作为条件补充在题目的横线上，并解决问题． ①． ②． ③． 已知的内角，，的对边分别为，，，且____． （1）求； （2）若，点在线段上，且，求的最大值． 19．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若是棱的中点，，求点到平面的距离． 2025年山东临沂市平邑一中校本部高一（下）5月模块考试（解析版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C D C C A 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 BCD ACD ACD 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）已知，，则与同向的单位向量的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题知，，，， 所以与同向的单位向量为． 故选：． 2．（5分）数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为　　 A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86 【答案】 【解答】解：数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87从小到大排序可得：78，79，81，81，82，84，85，85，86，86，86，87，88，90，93， 众数为86，中位数为． 故选：． 3．（5分）若复数是纯虚数，则实数　　 A．1 B．0或1 C．1或2 D．1或3 【答案】 【解答】解：因为复数是纯虚数， 所以，解得：或． 故选：． 4．（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “至多有一枚硬币正面朝上”，事件 “两枚硬币正面均朝上”，事件 “两枚硬币正面均朝下”，则　　 A．与对立 B．与不互斥 C．与对立 D．与对立 【答案】 【解答】解：根据题意，抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有正反，正正，反正，反反共4种情况， 其中事件正反，反正，反反；事件正正，事件反反， 依次分析选项： 对，事件为事件可能同时发生，即反反这种情况，即事件，不对立，故错误； 对，事件与事件显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故错误； 对，显然事件和事件不可能同时发生，即它们互斥，且两者构成了所有的发生情况，即事件和事件必有一个发生，则与对立，故正确； 对，事件与互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故错误． 故选：． 5．（5分），为不重合的直线，，为互不相同的平面，下列说法正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 【答案】 【解答】解：，为不重合的直线，，为互不相同的平面， 对于，若，，，则与平行或异面，故错误； 对于，若，，，则与相交或平行，故错误； 对于，若，，则或，故错误； 对于，若，，则由线面平行的性质得或与异面，故正确． 故选：． 6．（5分）关于空间向量，以下说法正确的是　　 A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面 B．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若，则的夹角是钝角 【答案】 【解答】解：对于：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故错误； 对于：根据空间向量的基本定理，， 由选项可知，、、一定共面，则不能构成基底，故错误； 对于：根据空间向量的基本定理有， ，则， 又， ，，，四点共面，故正确； 对于，，且，，， 当，时，，故错误， 故选：． 7．（5分）点、在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，下列说法中正确的个数是　　 ①平面； ②平面平面； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【解答】解：已知球的表面积是， 则，得，即， 是球的直径，在截面大圆内，， ，， 平面，故①正确， 设的中点是， 是以为斜边的直角三角形， 平面， ，分别是，的中点， 是的中位线，， 则平面， 平面，平面平面，故②正确， 若，，， 平面，平面， 与重合，不符合条件，则不正确，故③错误， 故只有①②正确． 故选：． 8．（5分）如图，在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设点为的中点，连接，，由于，，所以，，所以为二面角的平面角； 由于二面角的正切值是， 所以，故； 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理； 所以， 由于， 所以、、两两垂直，将三棱锥体补成正方体， 如图所示： 正方体的棱长为2，则正方体的对角线长为， 故外接球的半径， 则外接球的表面积为． 故选：． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）已知一组数据为：4，1，2，5，5，3，3，2，3，2，则　　 A．标准差为 B．众数为2和3 C．70百分位数为 D．平均数为3 【答案】 【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，共10个数， 平均数为，故正确， 方差为， 故其标准差为，故错误， 出现最多的是2与3均出现3次，故正确， ， 故70分位数为，故正确． 故选：． （多选）10．（6分）在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【解答】解：已知点在线段上， 设，， 又点，分别在和上，且满足，， 则，， 则， 又， 则， 即， 选项、、满足题意，选项不满足题意， 故选：． （多选）11．（6分）在棱长为1的正方体中，已知点在面对角线上运动，点、、分别为、、的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则　　 A．平面 B．平面平面 C．过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为 D．动点到点的距离的取值范围是 【答案】 【解答】解：对于选项，因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以，平面，对； 对于选项，因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，同理可证， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面，对； 对于选项，可知过、、三点平面截正方体所得的截面为正六边形， 其中、、分别为、、的中点，且正六边形的边长为， 所以截面正六边形的面积为，错； 对于选项，因为平面平面， 所以，点的轨迹为△内部及其边界， 因为平面，， ， 易知，则△是边长为的等边三角形，则， 设点到平面的距离为，则，解得， 所以，当平面时，取最小值， 由图可知，当点与点或或重合时，取最大值1， 因此，动点到点的距离的取值范围是，对． 故选：． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）若向量满足：，则在上的投影向量为 　　． 【答案】． 【解答】解：因为， 所以，， 所以在上的投影向量为． 故答案为：． 13．（5分）已知与为单位向量，且满足，则与的夹角 　　 ． 【答案】． 【解答】解：，， 又， ， ，则， 与的夹角为． 故答案为：． 14．（5分）在三棱锥中，平面，，且，，则三棱锥外接球的体积等于 　　． 【答案】． 【解答】解：因为在三棱锥中，平面，，且，， 不妨将三棱锥放入一个棱长为2的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球， 因为正方体的体对角线即为其外接球的直径， 因为，， 所以三棱外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的体积为． 故答案为：． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，，，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 【解答】解：（1），则， ；， 故40百分位数在，， 则40百分位数为， 平均数为； （2）因为按比例分配的分层随机抽样，故，，，，，三层中抽取的样本量分别为： ， ， ， 从这6人中随机抽取两人， 记，中抽取的人编号为1， ，抽取的人编号为2、3， ，抽取的人编号为4、5、6， 记事件 “抽取的两人都及格”， ，，，，，，，，，，，，，，， 所以， ，，，，，，，，，， 所以（A）， 所以． 16．在举重比赛中，甲、乙两名运动员试举某个重量成功的概率分别为，，且每次试举成功与否互不影响． （Ⅰ）求甲试举两次，两次均失败的概率； （Ⅱ）求甲、乙各试举一次，至多有一人试举成功的概率． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解答】解：（Ⅰ）甲试举两次，两次均失败的概率； （Ⅱ）“甲、乙各试举一次，至多有一人试举成功”的对立事件为“甲、乙各试举一次都成功”， 甲、乙各试举一次都成功的概率为， 甲、乙各试举一次，至多有一人试举成功的概率为． 17．（15分）已知向量，设函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，；（2），，． 【解答】解：（1）， 故函数的最小正周期为， 由，， 得， 所以的单调递增区间为，； （2）因为，所以， 所以， 所以，， 若使在区间上有解，则需， 由，解得或； 由，解得， 综上：或， 所以实数的取值范围为，，． 18．（17分）请在下列三个条件中选择一个作为条件补充在题目的横线上，并解决问题． ①． ②． ③． 已知的内角，，的对边分别为，，，且____． （1）求； （2）若，点在线段上，且，求的最大值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）若选择①：由已知条件及正弦定理，得， 即， 整理得， 由余弦定理可得， 又因为， 所以； 若选择②：因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 又， 所以， 因为， 所以； 若选择③：因为， 所以根据余弦定理，可得， 所以， 所以， 因为， 所以． （2）因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为且， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为． 19．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若是棱的中点，，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】解：（1）证明：连接， ，，， 又， ， 为棱中点， ， 又，，，平面， 平面， 又平面， ； 在直角梯形中，取中点，连接， ， ， 又，，， 四边形为正方形， ，， ， 又， ， ， ，，平面， 平面， 平面， ； ，， ，， 又，，平面， 平面． （2），，， ， 由（1）知：平面，， 则点到平面的距离， ； ，， ， ，分别为棱，中点， ， ，， ，， ， ， ， 由余弦定理得：，则， ， 设点到平面的距离为， ，解得：， 即点到平面的距离为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$