精品解析：湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

长沙市周南中学 2025 年上学期高二年级期末考试数学试题 分量: 150 分 时量: 120 分钟 一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用集合的交运算求集合即可. 【详解】 ， . 故选：C 2. 若，则虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. i D. -i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，即得虚部. 【详解】由可得：，故其虚部为. 故选：A. 3. 已知，且，则实数（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】由，则，可得. 故选：D 4. 已知等差数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式分别写出，再分析与关系，根据充分必要的定义判断即可. 【详解】等差数列，设等差数列的公差为，则. 当时，，恒成立，则由不能推出； 因为，， 则， 则由可以推出. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指对数函数的性质判断大小关系即可. 【详解】，且， ，且， . 故选：C 6. 兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列．若将每个小岛近似看成正方形，在正方形方格中A，B，C三位游客所在位置如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小正方形方格边长为1，分别计算出的三边的长，利用余弦定理计算即得. 【详解】 如图，依题意，连接,不妨设小正方形方格边长为1，则 由余弦定理，,因，故得 故选：B. 7. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过平移说明即异面直线与所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得. 【详解】 如图所示，因，则即异面直线与所成角. 连接，在中，， 则，即异面直线与所成角为. 故选：C. 8. 设两个相关变量和分别满足下表： 若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ） （参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将非线性回归方程化为线性，令，则可得，根据数据及公式分别求出，代入非线性回归方程可得变量和之间的关系，将代入化简计算即可. 【详解】解：因为非线性回归方程为：，则有， 令，即，列出相关变量关系如下： 0 1 3 3 4 所以，， ，， 所以， 所以，所以， 即，即，因为，所以， 当时，. 故选：B 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 下列结论中，正确的有（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18 B. 若随机变量，则 C. 已知，则 D. 在的展开式中，的系数是 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用百分位数的求法求下四分位数判断A；由正态分布的对称性求概率判断B；应用条件概率公式求概率判断C；应用二项式展开式通项求指定项系数判断D. 【详解】A，由题意，所以该10个数据的下四分位数为第3个数11，错误； B，，则，正确； C，，正确； D：的通项公式为,2,3,4， 令，得，故的系数是，正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数的一个对称轴为 C. 函数在区间单调递减 D. 把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，函数在上有且仅有5个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质判断A、C；代入法验证对称轴判断B；由图象平移写出函数解析式，再由正弦函数性质求零点判断D. 【详解】由题意， 对于A，的最小值为，正确; 对于B，，不正确; 对于C，由，可得 ，由在单调递减，正确； 对于D，，令，则， 因为，所以，所以函数有5个零点，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数 . 则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在点(0,0)处的切线方程为 B. 当时，的极小值为 C. 若不等式在时恒成立，则 D. 若函数恰有1个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，应用导数的几何意义求切线方程判断A；应用导数求函数的极值判断B；令，问题化为恒成立求参数范围判断C；由函数零点得0或，结合函数零点个数求参数范围判断D. 【详解】A：当时，，则，切线方程为，正确； B：当时，，令，得， 当时，，当时，，则的极小值为，正确; C：由有 在上恒成立， 令，则在上单调递增，即恒成立， 所以，即， 令，即， 所以，当时，，所以在单调递减， 所以，所以 ，即，错误； D：由， 令有，解得0或， 令，所以， 令，得，由有有， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 当时， 无解或有一解为0， 所以函数恰有1个零点0， 所以，正确. 故选：ABD 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知圆柱的侧面积为，底面半径为1，则圆柱的体积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求出母线长，再由圆柱体积公式求体积. 【详解】由圆柱的侧面积为，底面半径为1，得母线长， 所以该圆柱的体积为. 故答案为: 13. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据给定条件，利用奇函数性质求出函数值即可. 【分析】由定义在上的奇函数，得，又当时，， 则，所以. 故答案为： 14. 某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码，并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖．其它情况不获奖，已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定一次抽奖产生的总情况数，然后列出奖券码的表达式，分情况讨论二等奖的取值情况数，最后除以总情况数即是答案. 【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为，共有种情况， 生成的5个数字中有个0，个1，则，由题可知． 若获得二等奖，则为3的正整数倍，故可取的值为1，4，7． 当时，的取值为，共有种情况； 当时，的可能取值为，，，共有种情况； 当时，的取值为，共有种情况， 由分类加法计数原理得符合条件的有种情况，且设获得二等奖的概率为， 由古典概型概率公式得． 故答案为：． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，是的导函数. （1）求的值； （2）求的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，无最大值 【解析】 【分析】（1）对函数求导得，将与代入即可求解； （2）由（1）知.令，通过求导研究的单调性与正负，进一步确定的单调性即可求解最值. 【小问1详解】 ∵，∴. ∴，，∴. 【小问2详解】 由（1）知. 令，则，∴在上单调递增. 又， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴在处取极小值也是最小值，无最大值， 即的最小值为，无最大值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取线段、的中点分别为、，连接、、，然后四边形为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行； （2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. 17. 已知向量，函数.(注： 表示向量、的夹角) （1）求函数； （2）若锐角的三内角的对边分别是，且， (i) 求； (ii) 求的取值范围. 【答案】（1）； （2）(i)；(ii) . 【解析】 【分析】（1）由向量夹角的坐标表示及和角正弦公式化简求； （2）（i）由已知得，结合角的范围求其大小即可；（ii）由（i）及题设可得，结合锐角三角形内角性质，正弦边角关系、三角恒等变换得，且，最后由正弦型函数性质求范围. 【小问1详解】 已知向量 ， ， ， 【小问2详解】 (i) 由（1）知及，得 ， 所以，解得 ， 又，得， (ii) ，则， 又在锐角中 ，解得 ， 所以，则有，即. 所以的取值范围是. 18. 某单位有400名员工，其中男员工240人，女员工160人，该单位为了了解该单位员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员工身体更加健康.该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.4，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.5，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.6，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.3. 为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅A和素食餐厅B两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为；前一天选择了B餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为，如此往复. （1）求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差； （2）按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会，记抽到男员工的人数为，求的分布列及数学期望； （3）设第n天选择A餐厅用餐的概率为，求；经过一年（365天）后，在A餐厅和B餐厅就餐的员工趋于稳定，如果A餐厅准备每天180人的用餐，是否合理，请说明理由. 【答案】（1）1.44；0.4824 （2）分布列： 1 2 3 数学期望为 （3）不合理的，理由： 设第n天选择A餐厅用餐的概率为， 则可得：. ∴， ∴且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. ∴， ∴，即一年以后，员工选择A餐厅的概率约为. 设400名员工选择A餐厅的人数为X，， 所以400名员工中选择A餐厅的平均人数约为（人）， ，A餐厅每天准备180人的用餐是不合理的. 【解析】 【分析】（1）由加权平均数公式、分层抽样的方差公式即可求解； （2）的取值为1，2，3，求出对应的概率，可得分布列，进一步得数学期望； （3）由题意，进一步构造等比数列求得，从而估计员工选择A餐厅的概率和期望. 【小问1详解】 由题意知，该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值平均数为： ； 该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为： ； 【小问2详解】 按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，则抽取3名男员工，2名女员工. 从这5名员工随机选择3人，记抽到男员工的人数为，可得的取值为1，2，3. 可得的分布列为： 1 2 3 所以期望； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆过点，焦距为2 . （1）求的方程; （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于四点，设线段的中点分别为. (i)证明：直线过定点； (ii) 求四边形面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）(i)当两条直线的斜率都存在时，不妨设， 设， 联立直线与椭圆的方程，得， 消去整理得，易知， 根据韦达定理可知，， 即， 同理，所以， 所以， 令，得，此时直线恒过， 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时， 易知也经过，所以直线过定点； (ii). 【解析】 【分析】（1）由椭圆所过的点及焦距求出椭圆参数，即可得方程； （2）（i）讨论直线斜率的存在性，设，联立椭圆方程并应用韦达定理，结合中点坐标求坐标，进而写出直线，即可证；（ii）根据（i）并应用弦长公式求相交弦长，由，最后应用基本不等式求范围即可. 【小问1详解】 由题意知椭圆过点 ，则， 因为，所以， 联立方程组 ，解得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 (i) 略 (ii) 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知， 当两条直线的斜率都存在时，不妨设， 由(i)得：，同理， 则 因为 ， 根据基本不等式 ，当且仅当时等号成立， 所以 ， 综上所述，四边形面积的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市周南中学 2025 年上学期高二年级期末考试数学试题 分量: 150 分 时量: 120 分钟 一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若，则虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. i D. -i 3. 已知，且，则实数（ ） A. B. C. 3 D. 4. 已知等差数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 6. 兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列．若将每个小岛近似看成正方形，在正方形方格中A，B，C三位游客所在位置如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 设两个相关变量和分别满足下表： 若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ） （参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；） A. B. C. D. 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 下列结论中，正确的有（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18 B. 若随机变量，则 C. 已知，则 D. 在的展开式中，的系数是 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数的一个对称轴为 C. 函数在区间单调递减 D. 把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，函数在上有且仅有5个零点 11. 已知函数 . 则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在点(0,0)处的切线方程为 B. 当时，的极小值为 C. 若不等式在时恒成立，则 D. 若函数恰有1个零点，则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知圆柱的侧面积为，底面半径为1，则圆柱的体积为_____ 13. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________． 14. 某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码，并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖．其它情况不获奖，已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，是的导函数. （1）求的值； （2）求的最值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 17. 已知向量，函数.(注： 表示向量、的夹角) （1）求函数； （2）若锐角的三内角的对边分别是，且， (i) 求； (ii) 求的取值范围. 18. 某单位有400名员工，其中男员工240人，女员工160人，该单位为了了解该单位员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员工身体更加健康.该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.4，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.5，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.6，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.3. 为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅A和素食餐厅B两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为；前一天选择了B餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为，如此往复. （1）求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差； （2）按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会，记抽到男员工的人数为，求的分布列及数学期望； （3）设第n天选择A餐厅用餐的概率为，求；经过一年（365天）后，在A餐厅和B餐厅就餐的员工趋于稳定，如果A餐厅准备每天180人的用餐，是否合理，请说明理由. 19. 已知椭圆过点，焦距为2 . （1）求的方程; （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于四点，设线段的中点分别为. (i)证明：直线过定点； (ii) 求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $