广东省广州市天河区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2024学年第二学期天河区期末考试 高二数学 本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和 考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答策；不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改 液。不按以上要求作答的答聚无效 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知离散型随机变量X的方差为1，则D(2X-1)= A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知两个等差数列2,6,10，，190及2,8,14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大 的顺序组成一个新数列凸}，则b= A.45 B.50 C.54 D.60 3.下列函数求导正确的是 A.y=π2，y'=2π B.y=logy'=1 C.y=e2,y'=-2e2 D.y=cos5y广=-s血 4.(x-y)(x+y)的展开式中x3y的系数为 A.0 B.10 C.-20 D.20 5.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为 A.36 B.48 C.60 D.72 高二数学期末考试第1页（共6页） 6.为了解性别（变量x)与体育锻炼（变量y)是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学 生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据 n(ad-bc) 小概率值a=005的独立性检验，附：a+bc+)a+d0+d,P(t>7.87)=0.0o5, 下列结论不正确的是 锻炼 合计 不经常 经常 女生 15 J 20 男生 10 m n 合计 25 25 50 A.m=20 若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率 C.变量x与变量y独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 D.变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 7.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动 一个单位，共移动5次，则质点位于-1的位置的概率为 543 -2 -1 0 123 5 A. B. 32 16 c. D 8. 已知函数f)=-兰，若0<a<l,0<b<1且满足ae=bd,则 A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)=f(b) D.f(@),f(b)的大小关系不能确定 高二数学期末考试第2页（共6页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时 间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布， X~N(4,6),Y~N(凸，22).X和Y的分布密度曲线如图所示.则下列正确的是 (参考数据：P(μ-o≤X≤4+o)≈0.6827，P(μ-2o≤X≤4+2o)≈0.9545， P(μ-3o≤X≤4+3o)≈0.9973) A.4>5 X的密度曲线 Y的密度曲线 B.P(X≤38)<P(Y≤38) C.P12≤X≤42)>P(28≤Y≤38) 0 26303438 D.为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 10.已知函数f(x)=x2+an(x+1),下列正确的是 A.当a=0时，f(x)的图象关于点(0,0)对称 B.当a=1时，x∈(0，+oo),f(x)>0恒成立 C.若函数f的在（←l,回上有两个不同的极值点，则aeQ,2 D.若函数f(x)在(-1，+o)上有两个零点，则a∈(-o,0) 11.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可 见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的说法正确的是 A.第6行从左到右第4个数是20 第0行 B.第2022行的第1011个数最大 第1行 第2行 2 C.210在杨辉三角中共出现了6次 第3行 1331 第4行 14641 D.记第n行的第i个数为4，则觉2a,=3 第5行15101051 00*00 044 高二数学期末考试第3页 (共6页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.计算：龙-6=—， 13.记3为等比数列a}的前：项和，者马-字马=子，则公比9= 14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙：否则， 传球者等可能地将球传给另外的两个人.第一次传球由甲手中传出，第”次传球后，球在 甲手中的概率记为p(m),请写出p(n+)与p()关系式 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台， (1)若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到A品牌的条件下，第 二次抽到B品牌的概率： (2)若从中随机抽取2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列和期望， 16.(本小题满分15分) 已知数列{an}的首项为a=1,且满足4n+l-an=n+1,n∈W. (1)求数列{an}的通项公式： 口若女古-+子求精足条件的最大建数 高二数学期末考试第4页（共6页） 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=ae2+(a-2)e-x (1)讨论f(x)的单调性： (2)当a>0时，证明：f)22-2 18.(本小题满分17分) 为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x (单位：万元)与销售额W(单位：万元)数据如下： 超市 A B 0 广告支出x 1 2 3 4 5 销售额W 4 14 18 m(m>0) (1)当m=20时，根据表中样本数据，计算相关系数r,并推断它们的相关程度（保留 两位小数)； (2)根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为 W=x-1.3,销售额W的方差为52.4，求6的值，并计算广告支出为5（万元）时 销售额的残差； W =bx+a+e, (3)收集更多变量W和x的成对样本数据，由一元线性回归模型 E(e=0,D(e=o2得 到经验回归模型W=x+à，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性 回归模型的E(e)=0与D(e)=o2的假设（直接写出结果） . (x-y-列 x-0y-列 附：相关系数r 回归系数6=回 24-旷20-引 2-对 参考数据： V1720≈41.5. …“ ”·19,’20 年。 ,·”… 高二数学期末考试第5页（共6页） “子期末考试 第1而 D.72A2灰· 19.(本小题满分17分) 牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设 x=r是函数y=f(x)的零点，即f(r)=0.选取x作为r的初始近似值，过点（名，f(x)》作曲线 y=(x)的切线L,L的方程为y=f(x)+f(x,)x-x),若f(x)≠0，则直线L与x轴的交 点的横坐标记为x,再过点(：，(x》作曲线y=∫(x)的切线，并求出切线与x轴的交点的横 坐标记为x2,重复以上过程，得r的近似值序列{x}:,x,,x,也称为牛顿数列，根据已 有精确度6，当|xn一x长e时，则xn为近似解. 有灰灰1而 (1)设f(x)=x3+x2+1,当，=-1时，试用牛顿法求方程f(x)=0满足精确度6=0.5 的近似解（保留两位小数）： (2)设f(x)=x2+ax+(a,beR)的两个零点分别为a,(a<),数列{xn}为函数 问的牛领数列，若数别a}满足a山受治aeN).4=2,气>9，求数到 {a}通项公式： (3)设f(x)=x+l血x,若x4=g(x,),h(x)=-(x+1)g(x)-血x+e-e，函数h()的最 小值为m,证明：m<-子 高二数学期末考试第6页（共6页）2024学年第二学期高二数学期末测试参考答案 1.(教材71第5题)D 2.(教材P25第8题)B 3.(教材P75例1，P81第1,2题)C 4.(教材P34第2题)A 5.(教材P19例4)C 6.(教材p139第3题，教材P128第4题)C 7.(教材P81第3题)B 8.(教参P151第3题)A 9.(教材P85例题)ED 10.(教参P152第8题)BCD 11.(课本P39数学探究)A① 12.(教材P76第1题)48 1&徽材P四7第1愿的第4小愿)1或月 14(教材91第10思)P0m+)=1-P四 2 15.(本小题满分13分)（教材P46例1，教材P60例3） 解：(1)由题意得，设事件C:第一次抽到A品牌：设事件D:第二次抽到B品牌 法-：MC=C℃=27，mCD)=CC=21PD1g=mCD_21_7 (C279 :每次不放回抽取，则在第一次抽到A品牌的条件下，第二次抽到B品牌的概率 9 7 法=：pC)=C9=3 CloC3 10' G30D19=PCD-0-2 P(CD)=CC!7 P(C)39 10 (2)设挑选2台电脑中A品牌的台数为X,则X的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知识可得X的分布列为 P(X=0)= CC:7 Co=15P(X=D)= 10 用表格表示X的分布列，如图所示 X 0 1 2 D 7 7 1 15 15 15 ()=0x +2x13 7 -+1× 15 1 155 第1页，共5页 16.(本小题满分15分)（教材P41第11题） (1)当n≥2时， an-a1=1,42-4=2,4-42=3,,4n-an-1=n 将以上等式两边分别累加，可得a,-4=2+3++n=+2n- 2 g=1,a=1+m+n-220+) 2 2 当n=1时，也符合上式。a=+》 2 21=2=221) a.n(n+1)nn+l' 古女女0}号0 aa as an 1++1+…+9 aa as a 5 20-号1品 n+110 ∴，n+1<10.∴n<9 ,n∈N,∴，n的最大值为8 17.(本小题满分15分)（教材P104第19题） (1)f'(x)=2ae2x+(a-2)e*-1=(ae-10(2e+10 :2e+1>0 ①当a≤0时，f(x)<0,f(x)在R上单调递减： ②当a>0时，令f'()=0,得x=-na x>-h时，f'(x)>0,f(x)在(-lna,+o)单调递增： x<-na时，f(x)<0,f(x)在(-oo,-lna)单调递减. 综上所述，当a≤0时，f(x)在R单调递减： 当a>0时，f(x)在(-on,-na)单调递减，在(-lna,+oo)单调递增。 第2页，共5页 (2)由)可得，当a>0时.人.倒=f=ae+a-20e-h1-1+ha aa 即证1-1+ma≥2-2，即证1+na-1≥0. a a a 令g(a)=2+lna-l,则ga=-5tl-a- a 当a>1时，g'(@>0,g(a)在(1，+n)上单调递增： 当0<a<1时，g(d)<0,g(a在(0,1)上单调递减 ∴gm(a)=g0=0,即上+hna-1≥0. f6w)≥2-2 18.(本小题满分17分) (教材P103第4题，教材P138第2题) （1)由题知x=1+2+3+4+5=3,币= 4+9+14+18+20 =13, 5 x-x -2 -1 0 1 2 1,-1 -9 -4 1 5 7 ∑s-x(w-网)=18+4+0+5+14=41： 2a-或-41*014=而 20-m°=81+16+1+25+49=72 2c-00w-m 41 41 相关系数：r三 (-02 i0-17厉415099 r≈0.99接近于1，可以推断两个变量正线性相关，且相关性很强 (2)因为销售额1P的方差52.4. 即写2(g-网=524，(e-网=262，(w)P-5m=262 所以4+9+14+18+㎡-54+9+14+18+吗=262，化为2-45m-125=0, 第3页，共5页 解得m=25,m=-2.5(舍去) 所以5-1+2+3+4+5-3，币=4+9+14+18+25=14， 5 因为回归直线方程为y=bx-3.1经过样本中心点(x,) 把(3,14)代入y=br-1.3,得：b=5.1 销售量W关于广告支出x的回归直线方程为少=5.1x-1.3: 当x=5时，代入y=5.1x-1.3,得预测值少=24.2，而观测值m=25: 所以广告支出为5（万元）时销售额度的残差：25-24.2=0.8（万元） (3)由残差图，模型误差满足一元线性回归模型的E()=0的假设 不满足一元线性回归模型的D(e)=σ2的假设 19.(本小题满分17分)（教材82探究与发现） (1)由函数f(x)=x+x2+1,则f"(x)=3x2+2x, 切线斜率k=f'(-1)=1,f(-1)=1,那么在x=-1点处的切线方程为y-1=x+1, 所以x=-2,且馬-≥0.5， k=∫'(-2)=8，f(-2)=-3,那么在x=-2点处的切线方程为y+3=8(x+2), 所以，=-号。-1.63，且k-<05, 8 故用牛顿法求方程f(x)=0满足精度ε=0.5的近似解为-1.63： (2)因为f(x)=x2++b(a,beR),则f'(x)=2x+a, 可得f(x)=x+ax+b,f'(x)=2x+a, 过点(x,f()作曲线y=f(x)的切线lny-f(x)=f'(x)(x-x), 令=0，得m=X-=-++也--b (x) 2x。+a2x。+a' x:-b 则au=h二g-h2a“-h-2ax-b-em -a I x-B-b-B x:-2Bx-b-Ba 2x,+a 第4页，共5页 又因为a,B是函数f(x)=x+a+b的两个零点，则 0b,且<<5，则g>0, a+阝=-a x-B 可得a1=h-?-a0=h-2ax+c “x2-2Bx,-b-Ba 故数列{a,}首项为a=2,公比为2的等比数列；故a=a·2-1=2”, (3)函数f(x)=x+nx ∴.函数在(0，+∞)上单调递增， 又：由f0=0,3h2<0⑩=1>0 得；<r<1,r+nr=0.即r-hr=h上0，且e=e=r@ 2 设f)=x+血x,f)=1+,故函数y=f树在化，X+血x)处切线y-k,+hx)-1+e-x) x. 当y=0时，天4=0-h-g),则g6的=0-血 x+1 ,x>0, x+1 因为x)=-(x+1)g(x)-nx+e*-e,故x)=x(x-1)-lhx+e-e, 求导得似=nr-上+e+e,()在(0，+)上单调递增 由①②代入y=h()得)=nr-1+e+e'=0 所以当0<x<r时，(r)<0,当x>r时，(r)>0, 于是函数(x)在(0，r)上单调递减，在(r,+o)上单调递增， 所以函数=)最小值为m=e-户-r<r< 令(x)=e-x2-x,x>0,求导得'(x)=e-2x-1, 令y=e-2x-1,x>0,求导得y'=e-2,当0<x<m2时，y<0,当x>m2时，y>0, 侧函数t'(x)在(0，n2)上单调递减，在n2,+o)上单调递增，而t(0)=0,t0)=e-3<0 则当0<x<1时，(x)<0恒成立，即函数u(x)在(0,1)上单调递减 面r<1,因此0)<3=6-子所以m<E-子 第5页，共5页