第50讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第50讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 基础热身 1.直线y=x+1被圆x2+y2=1截得的弦长为 (　 ) A.1 B. C.2 D.2 2.圆C1:x2+y2-4x+2y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-4y+4=0的位置关系为 (　 ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 3.直线mx-y+m+=0与圆x2+y2=4相切,则m的值为 (　 ) A. B.1 C. D.- 4.过直线x+y=5上的点作圆C:x2+y2-2x+4y-1=0的切线,则切线长的最小值为 (　 ) A.3 B.2 C. D. 5.(多选题)若直线y=kx+1与圆C:(x-2)2+y2=9相交于A,B两点,则弦长|AB|可能为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知关于x的方程2+=k(x+3)+1有两个不同的实数根,则实数k的取值范围为　　　　　　.  综合提升 7.已知a,b∈R,a2+b2≠0,则直线l:ax+by=0与圆C:x2+y2+ax+by=0的位置关系是 (　 ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 8.过坐标原点的直线l与圆(x-2)2+(y-2)2=4相交,且将该圆分成的两段弧长之比为2∶1,则l的斜率为 (　 ) A.4± B. C.或 D.或 9.若过点P(0,-1)的直线l与圆(x-)2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的最大值为 (　 ) A. B. C. D. 10.(多选题)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=1的公共弦AB的长为1,则下列结论正确的有 (　 ) A.a2+b2=1 B.直线AB的方程为2ax+2by-3=0 C.AB中点的轨迹方程为x2+y2= D.圆C1与圆C2公共部分的面积为- 11.(多选题)已知圆M的方程为x2+y2+ax+ay-2a-4=0(a∈R),点P(1,1),给出以下结论,其中正确的有 (　 ) A.过点P的任意直线与圆M都相交 B.若圆M与直线x+y+2=0无交点,则a∈ C.圆M面积最小时,圆M与圆Q:x2+y2+6x-10y+16=0有三条公切线 D.无论a为何值,圆M都有弦长为2的弦,且被点P平分 12.过点P(-2,0)的直线与圆x2+y2=3交于A,B两点,则|PA|·|PB|的值为　　　　.  13.公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中A(-2,0),B(2,0),P(x,y),且满足|PA|=|PB|,则点P的轨迹方程为　　　　　　,点P到直线x+y-4=0的距离的最小值为　　　　.  14.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A,B两点. (1)求公共弦AB的长; (2)求圆心在直线y=-x上,且过A,B两点的圆的方程; (3)求经过A,B两点且面积最小的圆的方程. 15.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,6),B(4,0),C是线段OA的中点,P是平面内的一动点,且满足|PC|=2|PB|,记点P的运动轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)过点B的直线l与曲线E交于M,N两点,若△OBM的面积是△OBN的面积的3倍,求直线l的方程. 能力拓展 16.圆O(O为坐标原点)与直线l:x+y=2相切,与直线l垂直的直线m与圆O交于不同的两点P,Q,若·<0,则直线m的纵截距的取值范围是　　　　.  17.已知点P在直线y=x上运动,点E是圆(x+1)2+(y-1)2=1上的动点,点F是圆(x-13)2+(y+6)2=4上的动点,则|PF|-|PE|的最大值是　　　　. 参考答案 1.B　[解析] 圆x2+y2=1的圆心O(0,0)到直线y=x+1,即x-y+1=0的距离d==,圆x2+y2=1的半径r=1,所以直线y=x+1被圆x2+y2=1截得的弦长l=2=.故选B. 2.C　[解析] 将两圆的一般方程化为标准方程得C1:(x-2)2+(y+1)2=9,C2:(x+2)2+(y-2)2=4,可知圆心C1(2,-1),C2(-2,2),半径r1=3,r2=2,因为|C1C2|==5=r1+r2,所以两圆外切.故选C. 3.C　[解析] 因为直线mx-y+m+=0与圆x2+y2=4相切,所以由圆心到直线的距离等于半径得=2,解得m=.故选C. 4.B　[解析] 圆C:(x-1)2+(y+2)2=6的圆心为C(1,-2),半径r=.因为圆心(1,-2)到直线x+y=5的距离d==3,所以切线长的最小值为==2.故选B. 5.CD　[解析] 易知直线y=kx+1恒过点P(0,1),圆C:(x-2)2+y2=9的圆心为C(2,0),半径r=3.当直线经过圆心时,所得弦长|AB|最大,|AB|max=2r=6,连接PC,当直线与PC所在直线垂直时,所得弦长|AB|最小,|AB|min=2=2×=4,可得4≤|AB|≤6.故选CD. 6.　[解析] 设y1=,y2=k(x+3)-1,作出它们的图象,如图所示,则原问题转化为两函数图象有两个交点时,求实数k的取值范围.当直线与半圆相切时,圆心O到直线l1的距离d=r,即=2,解得k=(舍去)或k=;当直线过点(-2,0)时,可求得直线l2的斜率k==1.故实数k的取值范围为. 7.C　[解析] 圆C:x2+y2+ax+by=0可化为+=,圆心C,半径为.设圆心C到直线l的距离为d,则d==,所以直线l与圆C相切.故选C. 8.B　[解析] 圆心坐标为(2,2),半径为2,因为l将该圆分成的两段弧长之比为2∶1,所以两段弧所对的圆心角分别为和,由几何性质可知,圆心到l的距离为1,设l的方程为y=kx,则=1,解得k=.故选B. 9.C　[解析] 当直线l的倾斜角最大时,直线l与圆相切,此时斜率存在,如图所示,圆(x-)2+y2=1的圆心为C(,0),半径r=1,设直线l的方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,所以圆心到直线的距离d==1,解得k=或k=0,当k=时,倾斜角最大,最大值为.故选C. 10.BC　[解析] 两圆方程相减可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0,因为圆C1的圆心为C1(0,0),半径为1,且公共弦AB的长为1,所以C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离为,所以=,可得a2+b2=3,所以直线AB的方程为2ax+2by-3=0,故A错误,B正确;由圆的性质可知,直线C1C2垂直平分线段AB,所以点C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离即为AB的中点与点C1间的距离,设AB的中点坐标为(x,y),则=,即x2+y2=,故C正确;连接C1A,C1B,因为|AB|=|C1A|=|C1B|=1,所以∠BC1A=,即圆C1中劣弧AB所对的圆心角为,所以扇形AC1B的面积为×π×12=,三角形C1AB的面积为×1×1×=,所以圆C1与圆C2公共部分的面积为2×=-,故D错误.故选BC. 11.ACD　[解析] 将点P的坐标代入圆的方程得12+12+a+a-2a-4=-2<0,所以P(1,1)在圆M内,所以过点P的任意直线与圆M都相交,故A选项正确;圆M的圆心M,半径r==,点M到直线x+y+2=0的距离d=,因为圆M与直线x+y+2=0无交点,所以d=>r=,即>,所以|-a+2|>,两边平方得a2-4a+4>a2+4a+8,解得a<-,故B选项错误;圆M的半径r=,当a=-2时,圆M的半径最小,则面积最小,此时半径r=,圆Q:x2+y2+6x-10y+16=0的圆心Q(-3,5),半径R==3,可得|MQ|==4=R+r=3+,所以当圆M面积最小时,圆M与圆Q外切,有三条公切线,故C选项正确;无论a为何值, r==≥,则2r≥2,所以圆M都有弦长为2的弦,又|MP|==,r=,圆心M到弦的距离d====,所以d=|MP|,所以MP垂直平分弦, 所以无论a为何值,圆M都有弦长为2的弦,且被点P平分,故D选项正确.故选ACD. 12.1　[解析] 过点P作圆x2+y2=3的切线,切点为T,连接OT,其中O为坐标原点,因为圆x2+y2=3是以O(0,0)为圆心,为半径的圆,且P(-2,0),所以|PT|===1.由切割线定理可知,|PA|·|PB|=|PT|2=1. 13.(x+6)2+y2=32　　[解析] ∵|PA|=|PB|,∴=, 化简得(x+6)2+y2=32,即为点P的轨迹方程.点P到直线x+y-4=0的距离的最小值为-4=. 14.解:(1)由两圆方程相减即得x-2y+4=0,此为公共弦AB所在的直线方程.因为圆心C1(-1,-1),半径r1=,点C1到直线AB的距离d==,所以公共弦长|AB|=2=2. (2)C2(1,-5),过点C1,C2的直线方程为=,即2x+y+3=0.由得所求圆的圆心为(-3,3),它到直线AB的距离为=,则所求圆的半径为=,所以所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10. (3)经过A,B两点且面积最小的圆就是以AB为直径的圆,由得所求圆的圆心为(-2,1),半径r=,故所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5. 15.解:(1)设P(x,y),由题意知C(1,3),又|PC|=2|PB|,所以(x-1)2+(y-3)2=4[(x-4)2+y2],整理得(x-5)2+(y+1)2=8,故曲线E的方程为(x-5)2+(y+1)2=8. (2)由(4-5)2+(0+1)2=2<8知点B(4,0)在曲线E内部,要使△OBM的面积是△OBN的面积的3倍,则|yM|=3|yN|,易知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ky+4,代入曲线E的方程中,整理得(1+k2)y2+2(1-k)y-6=0,所以yM+yN=,yMyN=-<0, 所以yM=-3yN,所以yM+yN=-2yN=,即yN=,所以yM=. 由yMyN=-=-,整理得(k+1)2=0,解得k=-1,所以直线l的方程为x=-y+4,即x+y-4=0. 16.(-,)　[解析] 由题意得,圆心(0,0)到直线l:x+y-2=0的距离为圆的半径,即半径r==,所以圆O的标准方程为x2+y2=2.设直线m的方程为y=x+b,与x2+y2=2联立,消去y得2x2+2bx+b2-2=0.设直线m与圆的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),由Δ=(2b)2-8(b2-2)>0,得b2<4,则x1+x2=-b①,x1x2=(b2-2)②.因为·<0,所以x1x2+y1y2<0,又y1=x1+b,y2=x2+b,所以x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2<0③.由①②③得b2<2,满足Δ>0,可得-<b<,故直线m的纵截距的取值范围是(-,). 17.16　[解析] 设直线l:y=x,圆A:(x+1)2+(y-1)2=1,圆B:(x-13)2+(y+6)2=4,易知点A(-1,1)关于直线l的对称点为A'(1,-1),以A'为圆心,1为半径的圆A'即为圆A关于直线l的对称圆.设点E关于直线l的对称点为E',连接PE',则有|PE|=|PE'|,所以|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|.如图,连接E'F,则|PF|-|PE'|≤|E'F|,当且仅当P,E',F三点共线时取等号,故求|PF|-|PE|的最大值问题即可转换为求|E'F|的最大值问题,易知当直线E'F过圆心A'和圆心B且E',F距离最远且点P恰好为直线E'F与直线l的交点时,|E'F|取得最大值.由题意知A'(1,-1),B(13,-6),两圆的半径分别为1和2,故|E'F|的最大值为+1+2=16. 学科网（北京）股份有限公司 $$