第49讲　圆的方程 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第49讲　圆的方程 基础热身 1.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径分别为 (　 ) A.(4,-6),r=16 B.(2,-3),r=4 C.(-2,3),r=4 D.(2,-3),r=16 2.若点(3a+1,4a-2)在圆(x-1)2+(y+2)2=1的内部,则实数a的取值范围是 (　 ) A.-1<a<1 B.-<a< C.-<a< D.-<a< 3.已知A(-,0),B(,0),C(0,3),则△ABC外接圆的方程为 (　 ) A.(x-1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=2 D.x2+(y-1)2=4 4.“a<8”是“方程x2+y2+2x+4y+a=0表示圆”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.与圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x+y=0对称的圆的标准方程是　　　　　　　　.  6.已知点A(-2,0),B(0,2),动点M满足·=0,则点M到直线y=x+2的距离可以是　　　　.(写出一个符合题意的整数值)  综合提升 7.已知CD为圆A:(x+1)2+(y+1)2=4的一条弦,且以CD为直径的圆始终经过原点O,则CD中点B的轨迹方程为 (　 ) A.x2+y2=1 B.x2+y2+x+y-1=0 C.x2+y2+x-1=0 D.x2+y2+x+y=0 8.已知圆C:(x-1)2+y2=4,过点A(0,1)的两条直线l1,l2互相垂直,圆心C到直线l1,l2的距离分别为d1,d2,则d1d2的最大值为 (　 ) A. B.1 C. D.4 9.已知直线l1:mx-y=0(m∈R)过定点A,直线l2:x+my+4-2m=0过定点B,l1与l2的交点为C,则△ABC的面积的最大值为 (　 ) A. B.2 C.5 D.10 10.(多选题)设圆的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2,其中a>0,b>0,下列说法中正确的是 (　 ) A.该圆的圆心为(a,b) B.该圆过原点 C.该圆与x轴相交于两个不同点 D.该圆的半径为a2+b2 11.(多选题)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中,M(-2,0),N(2,0),动点P满足|PM|·|PN|=5,则下列结论正确的是 (　 ) A.点P的横坐标的取值范围是[-,] B.|OP|的取值范围是[1,3] C.△PMN的面积的最大值为 D.|PM|+|PN|的取值范围是[2,5] 12.某圆拱桥的水面跨度为16 m,拱高是4 m,则圆拱所在圆的半径为　　　　m.一艘船的船体形似长方体,宽为12 m,若该船要通过拱桥,则船体的高度不能超过　　　　m.(假设船的底部在水面上)  13.若P(x,y)是圆O:x2+y2=1上任意一点,则|3x-4y+8|+|3x-4y+12|的取值范围是　　　　.  14.已知A,B为圆O:x2+y2=4上的两个动点,|AB|=2,M是AB的中点. (1)求点M的轨迹方程; (2)若点P为直线x+y-4=0上的一个动点,求·的最小值. 15.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=|MB|. (1)求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. (2)设动点M的轨迹为C,对C上任意一点P,在x轴上是否存在一个与O (O为坐标原点)不重合的定点Q,使得为定值?若存在,求出该定点和定值;若不存在,说明理由. 能力拓展 16. 古代几何学家帕普斯在其著作中研究了“三线轨迹”问题:即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线l1,l2,l3,且l2,l3均与l1垂直.若动点M到l2,l3的距离的乘积与到l1的距离的平方相等,则动点M在直线l2,l3之间的轨迹是 (　 ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 17.已知A(-2,0),B(2,0),P(x0,y0)是圆C:(x-1)2+y2=3上的动点,当|PA|·|PB|最大时,x0=　　　　;|PA|+|PB|的最大值为　　　　. 参考答案 1.C　[解析] 将圆x2+y2+4x-6y-3=0的方程化成标准形式,得(x+2)2+(y-3)2=16,∴圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心为(-2,3),半径r=4.故选C. 2.C　[解析] 由题意可知,9a2+16a2=25a2<1,解得-<a<.故选C. 3.D　[解析] 设△ABC外接圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则可得则△ABC外接圆的方程为x2+(y-1)2=4.故选D. 4.B　[解析] 方法一:因为方程x2+y2+2x+4y+a=0表示圆,所以22+42-4a>0,解得a<5,所以“a<8”是“a<5”的必要不充分条件.故选B. 方法二:方程x2+y2+2x+4y+a=0表示圆,即(x+1)2+(y+2)2=5-a表示圆,则需5-a>0,解得a<5,所以“a<8”是“a<5”的必要不充分条件.故选B. 5.(x-1)2+=　[解析] 圆C:x2+y2-x+2y=0的圆心为C,半径为,点C关于直线l:x+y=0的对称点为C',则所求圆的标准方程为(x-1)2+=. 6.0(或1)　[解析] 由题设知⊥,则点M在以AB为直径的圆上,且圆心为(-1,1),半径为,所以点M的轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=2,点(-1,1)到直线y=x+2的距离d==0,则直线过圆心,所以点M到直线y=x+2的距离的取值范围为[0,],所以点M到直线y=x+2的距离的整数值可以是0(或1). 7.B　[解析] 圆A:(x+1)2+(y+1)2=4的圆心为(-1,-1),半径为2.设B(x,y),因为CD为圆A:(x+1)2+(y+1)2=4的一条弦,且以CD为直径的圆始终经过原点O,所以AB⊥CD,|OB|=|CD|,可得|AB|2+|OB|2=4,即()2+()2=4,化简可得x2+y2+x+y-1=0.故选B. 8.B　[解析] 设l1,l2被圆C所截得的弦的中点分别为E,F,连接CE,CF,AC.由题意可得四边形AECF为矩形,∴|CE|2+|CF|2=|AC|2=2,∴+=2,∴d1d2≤=1,当且仅当d1=d2时取等号,∴d1d2的最大值为1.故选B. 9.C　[解析] 方法一:由题可知,直线l1:mx-y=0(m∈R)过定点A(0,0),直线l2:x+my+4-2m=0过定点B(-4,2).由消去m得(x+2)2+(y-1)2=5,所以点C在圆(x+2)2+(y-1)2=5上,又A(0,0),B(-4,2)在圆(x+2)2+(y-1)2=5上,且AB为圆的直径,所以20=|CA|2+|CB|2≥2|CA||CB|,当且仅当|CA|=|CB|=时取等号,所以|CA||CB|≤10,所以△ABC的面积S=|CA|·|CB|的最大值为5.故选C. 方法二:由题可知,直线l1:mx-y=0(m∈R)过定点A(0,0),直线l2:x+my+4-2m=0过定点B(-4,2).又l1⊥l2,所以点C在以线段AB为直径的圆上.设点C(x,y),则·=x(x+4)+y(y-2)=0,即(x+2)2+(y-1)2=5,其表示的圆的圆心为M(-2,1),半径为,故当CM⊥AB时,△ABC的面积最大,最大值为××2=5. 10.BC　[解析] ∵圆的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2(其中a>0,b>0),∴圆心为(a,-b),半径r=,故A,D错误;∵(0-a)2+(0+b)2=a2+b2,∴该圆过原点,故B正确;令y=0,由(x-a)2+(0+b)2=(x-a)2+b2=x2-2ax+a2+b2=a2+b2,即x2-2ax=0,解得x=0或x=2a,∴该圆与x轴相交于两个不同点,故C正确.故选BC. 11.BC　[解析] 设点P(x,y),依题意得[(x+2)2+y2][(x-2)2+y2]=25.对于A,25=[(x+2)2+y2][(x-2)2+y2]≥(x+2)2(x-2)2=(x2-4)2,当且仅当y=0时取等号,解不等式(x2-4)2≤25,得-3≤x≤3,即点P的横坐标的取值范围是[-3,3],故A错误;对于B,[(x2+y2+4)+4x][(x2+y2+4)-4x]=25,则x2+y2+4=,因为0≤x2≤9,所以|OP|==∈[1,3],故B正确;对于C,△PMN的面积S=|PM||PN|sin∠MPN≤|PM||PN|=,当且仅当∠MPN=90°时取等号,当∠MPN=90°时,点P在以线段MN为直径的圆x2+y2=4上,由 解得所以△PMN的面积的最大值为,故C正确;对于D,点(3,0)在动点P的轨迹上,当点P为此点时,|PM|+|PN|=5+1=6,故D错误.故选BC. 12.10　2　[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,其中弧MN为圆拱桥部分,O为圆拱所在圆的圆心,则|MN|=16,设圆拱所在圆的半径为r,则|OF|=r-4.连接ON,在Rt△OFN中,|OF|2+|FN|2=|ON|2,即(r-4)2+=r2,解得r=10,所以圆拱所在圆的方程为x2+y2=100.设图中矩形ABDC为船的截面,则|AB|=12,设B(6,y)(y>0),将点B的坐标代入圆的方程得36+y2=100,可得y=8,所以船要通过拱桥,船体的高度不能超过8-6=2(m). 13.[10,30]　[解析] 令ω=|3x-4y+8|+|3x-4y+12|=5=5(d1+d2),其中d1,d2分别表示圆O:x2+y2=1上任意一点P(x,y)到直线l1:3x-4y+8=0和l2:3x-4y+12=0的距离.因为圆心O到直线l1:3x-4y+8=0和l2:3x-4y+12=0的距离分别为h1==,h2==,所以-1≤d1≤+1且-1≤d2≤+1,即≤d1≤且≤d2≤,所以10≤5(d1+d2)≤30,即|3x-4y+8|+|3x-4y+12|的取值范围是[10,30]. 14.解:(1)连接OM.易知圆O的圆心为O(0,0),半径为2,∵M是AB的中点,|AB|=2,∴OM⊥AB,|OM|==1.∴点M的轨迹方程为x2+y2=1. (2)·=(+)·(+)=(+)·(-)=-3,∵点P为直线x+y-4=0上的一个动点,点M在圆x2+y2=1上,圆心(0,0)到直线x+y-4=0的距离是4,∴|PM|的最小值是3,∴·的最小值为6. 15.解:(1)设M(x,y),由|MA|=|MB|,即|MA|2=2|MB|2,得(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2], 化简可得x2+y2-12x+4=0,即为点M的轨迹方程, 它表示圆心为(6,0),半径为4的圆. (2)设P(x1,y1),则+-12x1+4=0,设Q(t,0)(t≠0),则===,要使为定值,则=,解得t=0(舍去)或t=,所以==,故存在定点Q,使得为定值. 16.A　[解析] ∵l2,l3均与l1垂直,∴l2∥l3,记直线l1的方程为y=0,l2的方程为x=0,l3的方程为x=a(a≠0),M(x,y),则点M到直线l1,l2,l3的距离分别为|y|,|x|,|a-x|,由已知可得y2=|x|·|a-x|,∵动点M在直线l2,l3之间,∴x与a-x同号,∴y2=x(a-x),即x2+y2-ax=0,即+y2=.∴动点M在直线l2,l3之间的轨迹是圆.故选A. 17.1　4　[解析] 由已知可得(x0-1)2+=3,则-≤x0-1≤,得1-≤x0≤1+,且有=-+2x0+2,所以|PA|·|PB|===2·≤·(1+x0+3-x0)=4,当且仅当1+x0=3-x0,即x0=1时取等号.因为|PA|2=6+6x0,|PB|2=6-2x0,所以|PA|2+3|PB|2=24,设|PA|=2cos θ,|PB|=2sin θ,其中0<θ<,所以|PA|+|PB|=2cos θ+2sin θ=4sin,因为0<θ<,所以<θ+<,当θ+=,即θ=时,|PA|+|PB|取得最大值4,此时|PA|2=6+6x0=24cos2=18,可得x0=2,符合题意 学科网（北京）股份有限公司 $$