第48讲 两直线的位置关系 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第48讲　两直线的位置关系 基础热身 1.点A(2,3)到直线3x-4y-11=0的距离为 (　 ) A. B. C. D. 2.已知直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,若l1⊥l2,则a+b= (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.直线3x-2y=0关于点对称的直线方程为 (　 ) A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0 C.x-y=0 D.2x-3y-2=0 4.过直线x+y=2与x-y=0的交点,且平行于向量v=(3,2)的直线的方程为 (　 ) A.3x-2y-1=0 B.3x+2y-5=0 C.2x-3y+1=0 D.2x-3y-1=0 5.已知两条平行直线l1:x-2y+1=0,l2:ax-y+b=0间的距离为,则|a-b|=　　　　.  6.已知直线m:2x-y-3=0与直线n:x+y-3=0的交点为P.若直线l过点P,且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,则直线l的方程为　　　　　　.  综合提升 7.已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足=(1,-3),记P的轨迹为E,则 (　 ) A.E是一个半径为的圆 B.E是一条与l相交的直线 C.E上的点到l的距离均为 D.E是两条平行直线 8.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且lg sin A,lg sin B,lg sin C成等差数列,则直线l1:xsin2A+ysin A-a=0与直线l2:xsin2B+ysin C-c=0的位置关系是 (　 ) A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 9.已知A(-4,8),B(2,4),点C在直线y=x+1上,则|AC|+|BC|的最小值为 (　 ) A.2 B.9 C. D.10 10.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y)(点P与点A,B不重合),则△PAB的面积的最大值是 (　 ) A.2 B.5 C. D. 11.(多选题)若直线m被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段长为2,则直线m的倾斜角可以是 (　 ) A.15° B.30° C.60° D.75° 12.(多选题)已知M(3,4),若直线l上存在点P,使|PM|=2,则称该直线为点M的“2域直线”.下列直线中是点M的“2域直线”的是 (　 ) A.4x-3y=0 B.y=2 C.x-4y=0 D.x=5 13.已知光线从点A(6,1)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,再被y轴反射,这时反射光线恰好经过点D(4,4),则CD所在直线的方程为　　　　　　.  14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为　　　　.  能力拓展 15.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时,费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质,则F(x,y)=++的最小值为 (　 ) A.4 B.2+2 C.3+2 D.4+2 16.(多选题)台球运动已有近六百年的历史,参与者用球杆在台上击球,和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿与AB夹角为α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,则tan α的值可能为 (　 ) A. B. C.1 D. 参考答案 1.A　[解析] 点A(2,3)到直线3x-4y-11=0的距离为=.故选A. 2.B　[解析] 因为直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,且l1⊥l2,则1·a+1·b=0,所以a+b=0.故选B. 3.B　[解析] 方法一:设所求直线上任一点为(x,y),则其关于点对称的点为,因为点在直线3x-2y=0上,所以3-2(-y)=0,化简得3x-2y-2=0,所以所求直线方程为3x-2y-2=0. 方法二:在直线3x-2y=0上任取两点O(0,0),M(2,3),设点O,M关于点的对称点分别为O',M',则O',M',所以所求直线方程为=,化简得3x-2y-2=0. 4.C　[解析] 方法一:由得所以交点坐标为(1,1),又因为直线平行于向量v=(3,2),所以所求直线的方程为y-1=(x-1),即2x-3y+1=0.故选C. 方法二:根据题意可设所求的直线方程为x+y-2+λ(x-y)=0,即(1+λ)x+(1-λ)y-2=0,因为此直线平行于向量v=(3,2),所以=,解得λ=-5,所以所求直线的方程为-4x+6y-2=0,即2x-3y+1=0. 5.　[解析] 因为直线l1:x-2y+1=0,l2:ax-y+b=0平行,所以1×(-1)=(-2)×a,解得a=,则l2:ax-y+b=0即x-y+b=0,变形可得x-2y+2b=0,又由两条平行直线间的距离为,得=,解得b=3或-2,故|a-b|=. 6.x=2或x+2y-4=0　[解析] 方法一:由解得即交点P(2,1),由点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,得直线l过AB的中点或l∥AB.当直线l过AB的中点时,AB的中点为,则直线l:x=2;当直线l∥AB时,由AB的斜率k==-,得l的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.故所求直线l的方程为x=2或x+2y-4=0. 方法二:设过点P的直线方程为2x-y-3+λ(x+y-3)=0,即(2+λ)x+(λ-1)y-3λ-3=0,因为点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,所以=,化简得|λ-4|=|2λ+1|,解得λ=-5或λ=1,故所求直线l的方程为x=2或x+2y-4=0. 7.C　[解析] 设P(x,y),Q(m,n),则=(x-m,y-n)=(1,-3),∴m=x-1,n=y+3.∵Q(x-1,y+3)在直线x+2y+1=0上,∴E的方程为x+2y+6=0,故E上的点到l的距离d==,故选C. 8.B　[解析] ∵lg sin A,lg sin B,lg sin C成等差数列,∴2lg sin B=lg sin A+lg sin C,∴sin2B=sin Asin C.直线l1:xsin2A+ysin A-a=0与直线l2:xsin2B+ysin C-c=0的方程分别化为y=-xsin A+,y=-x+,l1,l2的斜率分别为k1=-sin A,k2=-,∴k1=k2.又=,∴直线l1,l2重合.故选B. 9.C　[解析] 依题意,设B(2,4)关于直线y=x+1的对称点为B'(m,n),∴解得∴B'(3,3).连接B'C,BB',AB',显然,直线y=x+1垂直平分线段BB',则有|AC|+|BC|=|AC|+|B'C|≥|AB'|,当且仅当点C在线段AB'上时取等号,∴(|AC|+|BC|)min=|AB'|==,故|AC|+|BC| 的最小值为. 10.C　[解析] 在x+my=0中,令y=0,得x=0,所以直线x+my=0过定点A(0,0).在mx-y-m+3=0,即m(x-1)+3-y=0中,令x-1=0,3-y=0,得x=1,y=3,所以直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).当m=0时,两条直线分别为x=0,y=3,交点为P(0,3),S△PAB=×1×3=.当m≠0时,两条直线的斜率分别为-,m,则-×m=-1,所以两条直线相互垂直,则点P的轨迹为以线段AB为直径的圆(不包括A,B两点),所以当|PA|=|PB|时,△PAB的面积取得最大值,由|PA|=|AB|==,得|PA|=,此时S△PAB=|PA|2=.综上可得,△PAB的面积的最大值是.故选C. 11.AD　[解析] 因为l1∥l2,所以直线l1与l2之间的距离d==.如图,设直线m与直线l1,l2分别相交于B,A两点,则|AB|=2,过点A作直线l垂直于直线l1,垂足为C,则|AC|=d=,则在Rt△ABC中,sin∠ABC===,所以∠ABC=30°,又直线l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角为45°+30°=75°或45°-30°=15°.故选AD. 12.ABD　[解析] 设点M到直线l的距离为d.根据题意,当d≤2时,该直线上存在点P,使|PM|=2,此时直线为点M(3,4)的“2域直线”.对于A,点M到直线4x-3y=0的距离为=0≤2,所以该直线是点M的“2域直线”;对于B,点M到直线y=2的距离为4-2=2,所以该直线是点M的“2域直线”;对于C,点M到直线x-4y=0的距离为=>2,所以该直线不是点M的“2域直线”;对于D,点M到直线x=5的距离为5-3=2,所以该直线是点M的“2域直线”.故选ABD. 13.x-2y+4=0　[解析] 如图,由题意知点B在原点O的右侧,直线BC一定过点A(6,1)关于x轴的对称点A'(6,-1),且一定过点D(4,4)关于y轴的对称点D'(-4,4),所以BC所在直线的方程为y-4=(x+4),即x+2y-4=0,令x=0,则y=2,所以点C的坐标为(0,2),所以CD所在直线的方程为y=·x+2,即x-2y+4=0. 14.-1　[解析] 设点A关于直线x+y=3的对称点为A'(a,b),则线段AA'的中点坐标为,kAA'= ,故解得从点A到军营最短总路程即为点A'到军营最短的距离,故“将军饮马”的最短总路程为-1=-1. 15.B　[解析] 由两点间的距离公式得,F(x,y)=++是点P(x,y)到点B(2,0),A(-1+,1-),C(0,2)的距离之和,F(x,y)的最小值即为点P(x,y)到点B(2,0),A(-1+,1-),C(0,2)的距离之和的最小值,取最小值时点P为△ABC的费马点.如图所示,|AB|=|AC|=2,|BC|=4,所以△ABC为等腰直角三角形,∠APB=∠APC=∠BPC=120°,延长AP交BC于M,所以∠BPM=∠CPM=60°,在△APC与△APB中,=,=,又∠ACP,∠ABP均为锐角,|AC|=|AB|,所以∠ACP=∠ABP,则∠PAC=∠PAB=45°,所以∠ACP=∠ABP=180°-120°-45°=15°,则∠PCM=∠PBM=45°-15°=30°,所以∠CMP=∠BMP=90°,所以AM⊥BC,则|BP|=|CP|===,|PM|=|BP|sin 30°=,|AP|=|AM|-|PM|=2-,所以F(x,y)min=(|BP|+|CP|+|AP|)min=++2-=2+2.故选B. 16.AD　[解析] 如图①,设点A关于DC的对称点为E,点D关于AB的对称点为G,点C关于AB的对称点为F,连接GF,连接EF分别交CD,AB于点M,N,连接AM,CN,由图可得tan α===.如图②,设点A关于BC的对称点为H,点B关于AD的对称点为J,点C关于AD的对称点为I,连接IJ,连接HI分别交BC,AD于点P,Q,连接AP,CQ,由图可得tan α===.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $$