河南省郑州市中原区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年河南省郑州市中原区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列代数式中，是分式的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在四边形ABCD中，，添加下列一个条件后，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(    ) A. B. C. D. 4.下列由左到右的变形，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 5.已知，根据不等式的性质，下列不等式中错误的是(    ) A. B. C. D. 6.小李家装饰地面，已有正三角形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是(    ) A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 7.解分式方程时，去分母后得到的整式方程是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，点D在BC上，，，则BC的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为(    ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 10.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2025个等腰直角三角形的面积是(    ) A. 4050 B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.请举出一个生活中不等关系的实例：______. 12.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：正确的顺序应为______. ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设 13.在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数的图象如图所示，那么关于x的一元一次不等式的解集是______. 14.如图，在中，，点D在内部，且到三边的距离相等，则______ 15.如图，为等腰三角形，，，BO是AC边上的高，，动点P、Q分别在边AC、AB上点P不与点A、C重合，满足当为等腰三角形时，CP的长为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 分解因式：； 利用因式分解进行简便计算： 17.本小题9分 如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形每个小正方形边长为单位网格的格点上. 的形状是______直接写答案； 将向右平移3个单位长度得到，请画出，并写出点的坐标______； 将绕点C顺时针旋转得到，请画出，并写出点A旋转到的过程中经过的路线长为______. 18.本小题9分 下面是小明同学进行分式化简求值的过程，请认真阅读并完成任务. 先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值. 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 以上化简步骤中： ①第______步是进行分式通分，通分的依据是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______. 请你写出正确的解答过程. 19.本小题9分 解不等式，并把其解集表示在数轴上. 解不等式组，并写出其整数解. 20.本小题9分 如图，在中，，过点B作AB的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点P，作直线 求证：AP垂直平分BC； 若，，计算BC的长. 21.本小题9分 回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：______. 回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，下面是其中一种添加辅助线构图的方法.请结合图2，补全求证及证明过程. 已知：在中，点D，E分别是AB，AC的中点. 求证：______. 证明：过点C作，与DE的延长线交于点 22.本小题10分 下面是小红学习了“分式方程的应用”做的课堂学习笔记： 课本原题： 小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少1本.这种科普书和这种文学书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：所买的文学书数量-所买的科普书数量 解法二 设… 等量关系：科普书单价=文学书单价 请根据笔记内容选择上面两个方程中的一个进行解答，并解释所选方程中x所表示的含义； 若小明所在的学校图书室计划购进这两种书共200本，其中科普书的数量不少于文学书数量的，问所需资金最少是多少元？ 23.本小题10分 在▱ABCD中，，，点E在BC边且，连接 的形状为______； 将BE绕点B逆时针旋转得到 ①当时，连接AF，求证：四边形AFBE是平行四边形； ②在旋转过程中，时，请直接写出的面积. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选： 即一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，则这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，正确记忆相关知识点是解题关键． 2.【答案】A  【解析】解：A、分母为，含字母x，符合分式定义，正确，符合题意； B、，分母为常数2，不含字母，不是分式，不符合题意； C、，分母为圆周率常数，不含字母，不是分式，不符合题意； D、，分母为常数3，不含字母，不是分式，不符合题意， 故选： 利用分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此逐项分析即可． 本题主要考查了分式的定义，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母． 3.【答案】D  【解析】解：A、添加无法推出四边形ABCD是平行四边形，故选项不符合题意； B、添加，无法推出四边形ABCD是平行四边形，故选项不符合题意； C、添加无法推出四边形ABCD是平行四边形，故选项不符合题意； D、添加，由两组对边分别平行可以推出四边形ABCD是平行四边形，故选项符合题意； 故选： 根据平行四边形的判定逐项分析即可． 本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键． 4.【答案】A  【解析】解：A、是因式分解，符合题意； B、是整式的乘法，不符合题意； C、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意； 故选： 根据因式分解定义，进行判断即可． 此题考查的是因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解． 5.【答案】B  【解析】解：A、不等式的两边同时再加上1，不等号的方向不变，即，故选项正确，不符合题意； B、不等式的两边同时乘以，不等号的方向改变，即，故选项错误，符合题意； C、不等式的两边同时乘以，不等号的方向不变，即，故选项正确，不符合题意； D、不等式的两边同时乘以3再减2，不等号的方向不变，即，故选项正确，不符合题意； 故选： 根据不等式的性质依次判断即可． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式性质是关键． 6.【答案】C  【解析】解：A、正方形的每个内角是，，所以能密铺； B、正六边形每个内角是，，所以能密铺； C、正八边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，所以不能密铺； D、正十二边形每个内角是，，所以能密铺． 故选： 根据密铺的条件得，两多边形内角和必须凑出，进而判断即可． 本题考查两种正多边形的镶嵌应符合多个内角度数和等于 7.【答案】A  【解析】解：方程整理得：， 去分母得： 故选： 分式方程整理后，去分母得到结果，即可作出判断． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理．同时涉及三角形外角的性质． 根据，判断出，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长． 【解答】 解：，， ， ， 在中， ， 故选 9.【答案】D  【解析】解：五边形的内角和为， 正五边形的每一个内角为， 如图，延长正五边形的两边相交于点O， 则， ， 已经有3个正五边形， ， 即完成这一圆环还需7个正五边形． 故选 先根据多边形的内角和公式求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解． 本题考查了多边形的内角和公式，正多边形与圆的关系. 10.【答案】C  【解析】解：由条件可知等腰直角三角形①的面积为， ， 等腰直角三角形②的斜边长为， 等腰直角三角形②的直角边长为， 等腰直角三角形②的面积为； ， 等腰直角三角形③的边长为， 等腰直角三角形③的面积为； ， 等腰直角三角形④的边长为， 等腰直角三角形④的面积为； ……， 第n个等腰直角三角形的面积为， 第2025个等腰直角三角形的面积是， 故选： 根据题意求出每个三角形的面积，从而得出第n个等腰直角三角形的面积为，即可求解． 本题考查了坐标规律题，等腰三角形的性质，勾股定理第二个知识，根据图形找出一般规律是解题关键． 11.【答案】太阳的质量大于地球的质量答案不唯一  【解析】解：根据题意得， 可以举例为：太阳的质量大于地球的质量． 故答案为：太阳的质量大于地球的质量答案不唯一 根据不等关系，举例即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，答案不唯一，同学们可以进行发挥． 12.【答案】③①②  【解析】解：反证法的步骤为：假设结论成立，推出矛盾，推出假设不成立，结论成立． 以上证明过程正确的步骤：③①②． 故答案为：③①②． 根据反证法的步骤即可判断． 本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 13.【答案】  【解析】解：如图： 由图形可知一元一次不等式的解集为， 故答案为： 理解求关于x的一元一次不等式的解集是指求一次函数的图象在直线及其下方部分所对应的自变量x的取值范围，数形结合即可得到答案． 本题考查由函数图象解不等式，掌握由函数图象解不等式的方法是解决问题的关键． 14.【答案】140  【解析】解：， ， 点D在内部，且到三边的距离相等， 平分， ， 平分， ， ， ， 故答案为： 由三角形的内角和定理可得与的度数和，根据角平分线的判定和性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质． 15.【答案】6或  【解析】解：当为等腰三角形时，分为3种情况： ①当时，如图1， 为等腰三角形，，，BO是AC边上的高，， ， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图2，当时， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 综上所述，CP的长为6或 故答案为：6或 分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． 16.【答案】；    【解析】原式 ； 原式 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； 利用完全平方公式因式分解，然后计算即可． 此题考查了因式分解以及应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 17.【答案】等腰直角三角形；   作图见解析，；   作图见解析，  【解析】根据勾股定理得：，，， ， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； 如图： 即可为所求，则点的坐标， 故答案为：； 如图： 即可为所求，则点A旋转到的过程中经过的路线长为， 故答案为： 在网格中，分别求出AC、AB、BC，再由勾股定理的逆定理求解即可得到答案； 由点的平移，分别将的三个顶点向右平移3个单位长度，连接顶点即可得到，数形结合写出点的坐标即可； 由点的旋转，将的顶点绕点C顺时针旋转，连接顶点即可得到，数形结合，由弧长公式代值求解即可得到写出点A旋转到的过程中经过的路线长． 本题考查作图，涉及勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定、平移作图、旋转作图、写出平面直角坐标系中点的坐标、弧长公式等知识，数形结合，掌握网格中平移作图、旋转作图是解决问题的关键． 18.【答案】①一，分式的基本性质；②三，去括号时未改变符号；   见解析．  【解析】解：①观察解题过程可知，第一步是进行分式的通分，依据是分式的基本性质； ②第三步开始出现错误，出现错误的原因是去括号时未改变符号， 故答案为：①一，分式的基本性质；②三，去括号时未改变符号； 解： ， ，，， ，， ，且x为整数， 当时，原式 根据分式通分的步骤和去括号法则解答即可； 按照分式的化简步骤重新计算即可． 本题考查分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，理解分式的基本性质，掌握去括号法则，以及分式约分和通分的技巧是解题关键． 19.【答案】，数轴表示见解析；   ，整数解有：0，1，  【解析】去括号得，， 移项合并，得，， 系数化为1，得：， 数轴表示如下： ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为： 整数解有：0，1， 根据去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可得到不等式的解集，然后再把解集在数轴上表示出来即可； 分别求出等比例不等式的解集，再取它们的公共解集即为不等式组的解集，然后在解集范围内确定它的整数解． 本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解题步骤是解答本题的关键． 20.【答案】证明过程见解答；     【解析】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分BC； 解：， ， ，， ， 由知：， 四边形ABPC的面积的面积， ， ， 证明，得，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可解决问题； 根据四边形ABPC的面积的面积，列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 21.【答案】见解析；  见解析．  【解析】解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； 求证：， 证明：过点C作，与DE的延长线交于点 ， 点D，E分别是AB，AC的中点， ，，，， 在和中， ， ≌ ， ， 四边形DBCF是平行四边形， ，， 又， ， 故答案为：， 根据三角形的中位线定理直接阐述即可； 过点C作，与DE的延长线交于点F，证明≌，再证四边形DBCF是平行四边形，即可证明结论． 本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 22.【答案】见解析；   所需资金最少是1200元．  【解析】解法一：设文学书的价格为x元，则科普书的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是元和5元； 设购进科普书m本，则购买本文学书，根据题意得： ， 解得：， 设所需资金为w，根据题意得： ， ， 随着m的增大而增大， 当时，w的值最小， w最小值元 答：所需资金最少是1200元． 解法一：设文学书的价格为x元，则科普书的价格为元，利用数量=总价单价，结合用15元购买科普书的数量比用15元购买文学书的数量少1本，即可得出关于x的分式方程； 设购进科普书m本，则购买本文学书，科普书的数量不少于文学书数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可求得m取值范围，再设所需资金为w，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 23.【答案】等边三角形；   ①证明见解析； ②的面积为或；理由见解答过程．  【解析】解：在▱ABCD中，，，，， ， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形； ①证明：如图1， 将BE绕点B逆时针旋转得到BF， ， 是等边三角形； ，， ， ， ， ， ， 四边形AFBE是平行四边形； ②解：如图2，当BF在内部时，时，设AC于BF交于点G，过点A作于点H， 是等边三角形，， ， 在直角三角形ABH中，由勾股定理得：，， 在直角三角形ACH中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 的面积； 如图3，当BF在外部时， 此时， 的面积； 综上所述，在旋转过程中，时，的面积为或 根据等边三角形的判定求解即可； ①由旋转得到，由等边三角形得到，，然后得到，，即可得到四边形AFBE是平行四边形； ②根据题意分两种情况讨论：当BF在内部时，当BF在外部时，勾股定理求出AH，AC，然后利用等面积法求出，进而分别求解即可． 此题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$