精品解析：青海省西宁市海湖中学2024-2025学年九年级上学期第二次阶段测试数学试卷

西宁市海湖中学2024-2025学年第一学期 九年级数学第二阶段质量检测试卷 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 点关于原点的对称点是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 3. 在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 角 B. 线段 C. 等腰三角形 D. 平行四边形 4. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 是等边三角形 7. 若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 8. 二次函数的图象如图所示，且关于的一元二次方程没有实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 当__________时，关于的方程是一元二次方程． 10. 抛物线的顶点坐标为______． 11. 若矩形的长和宽是方程（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为_______． 12. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是________． 13. 如图，的半径为8，直角三角板角的顶点落在，两边与分别交于，两点，则弦的长为_______________． 14. 如图，矩形的面积为6，反比例函数的图象经过点，那么的值为___________； 15. 将抛物线向左平移3个单位，向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为________． 16. 若关于的一元二次方程的两根的和与积相等，则的值为 _______． 17. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 18. 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______. 三、解答题（本大题共9小题，第19题8分、第20题6分、21、22题每题7分，第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，第27题12分，共76分．） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）作出关于原点对称的； （2）作出绕点C逆时针旋转后的； （3）点B的对应点的坐标为______． 21. 如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为． （1）求m及k的值； （2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组的解集． 23. 土族盘绣是青海省互助县土族民间传统美术，国家非物质文化遗产之一，在青海省都兰县发掘的土族先祖吐谷浑墓葬中，出现了类似盘绣的绣品，说明4世纪左右盘绣工艺已经出现．小花的妈妈想设计一幅周长为8米的矩形盘绣作品，已知盘绣绣作品的成本费用为每平方米2000元，设矩形的一边长为米，这幅作品的成本费用为元． （1）若该矩形作品的面积为时，该作品的两边长分别是多少？ （2）当取何值时，这幅作品的成本费用最大？为多少元？ 24. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示 … 0 1 2 3 … … 0 … （1）________；并在如图所给的平面直角坐标系中画出该抛物线； （2）若直线与两坐标轴分别交于点和，请直接写出抛物线在直线上方时对应的的取值范围． 25. 如图，为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，为半径． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 26. 在学习了《圆》以后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以帮助我们解决一些求角度的问题． 例：如图①，在中，，，点D是外一点，且．求的度数． （将下列解题过程补充完整） 图① （1）解：以点A为圆心，长为半径作 ，， C，D两点都在上 ，， ______（______） 【初步应用】 （2）如图②，在四边形中，，，求的度数． 图② 【方法迁移】 （3）如图③，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使，用直尺和圆规在l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 图③ 27. 如图，抛物线的顶点为，与x轴交于A、B两点，且，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市海湖中学2024-2025学年第一学期 九年级数学第二阶段质量检测试卷 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 点关于原点的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的坐标变化，熟练掌握坐标变化特点是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标变换规律，原点的对称点坐标是原坐标的相反数． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为． ∴关于原点的对称点坐标为． 故选C． 2. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，将代入方程求解m的值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解即可． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 解得， 方程为一元二次方程， 二次项系数，即， ， 故选A． 3. 在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 角 B. 线段 C. 等腰三角形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此， A．角是是轴对称图形不是中心对称图形； B．线段既是轴对称图形又是中心对称图形； C．等腰三角形是轴对称图形不是中心对称图形； D．平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形． 故选B． 4. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 5. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为5， ∴0≤d＜5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于熟练掌握点与圆的位置关系有3种：⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r． 6. 如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理即可判断． 【详解】解：由切线长定理可得：，， ∴，， ∴， 故A，B，C正确，而中只满足，无其他条件证明是等边三角形， 故选D． 【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理，关键是利用切线长定理得到垂径定理的前提条件． 7. 若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的对称性可求得抛物线的对称轴． 【详解】解：∵抛物线过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上关于对称轴对称的点所对应的函数值相等是解题的关键． 8. 二次函数的图象如图所示，且关于的一元二次方程没有实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线与轴有两个不同交点，可判断A；根据抛物线的开口方向、对称轴及与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，即可判断B；根据图像得到函数最小值，可判断C；再根据方程没有实数根，转化为的图像和直线没有交点，可判断D． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ，故A错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ，，， ， ，故B错误； 由图可知：当时，取最小值，且为， ∴， ∴，故C错误； 方程没有实数根， 即的图像和直线没有交点， ，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与轴的交点，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 当__________时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： 是常数且），特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 根据一元二次方程的定义可得，，据此解答即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 10. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式 的图象，根据二次函数 的顶点坐标是 ， 即可求出． 【详解】解：， 顶点坐标为， 故答案为：． 11. 若矩形的长和宽是方程（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为_______． 【答案】16 【解析】 【详解】解：设矩形的长和宽分别为，根据题意得； 所以矩形的周长=． 故答案为16． 12. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质．根据将绕着点C顺时针方向旋转后得到，得，，即得，从而． 【详解】解：∵将绕着点C顺时针方向旋转后得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，的半径为8，直角三角板角的顶点落在，两边与分别交于，两点，则弦的长为_______________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：8． 14. 如图，矩形的面积为6，反比例函数的图象经过点，那么的值为___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，属于简单题，熟悉反比例函数的图像和性质是解题关键． 根据反比例函数系数k的几何意义即可解题． 【详解】解：∵矩形的面积为6，反比例函数的图象经过点P， ∴， ∴． 又∵点P在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 将抛物线向左平移3个单位，向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移规律“上加下减．左加右减”解答． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减．左加右减”的法则是解答此题的关键． 16. 若关于的一元二次方程的两根的和与积相等，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，根据根与系数的关系可得，根据关于的一元二次方程的两根的和与积相等，可得，求出的值，再检验判别式即可确定的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根的和与积相等， ， ， 解得， ， ， 故答案为：． 17. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则 ， 解得， ∴米， 故答案为：． 18. 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案. 【详解】解：∵点A的坐标为(0，3)， ∴OA＝3， ∵四边形ABMO是圆内接四边形， ∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°， ∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°， ∴AB＝2OA＝6， 则则⊙C的半径为3， 故答案为：3. 【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆内四边形的性质及解直角三角形的方法. 三、解答题（本大题共9小题，第19题8分、第20题6分、21、22题每题7分，第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，第27题12分，共76分．） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键． （1）根据十字相乘法将原式因式分解，然后根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）将原式变形，然后根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 ， 原式整理为：， 因式分解为：， ∴或， ∴，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）作出关于原点对称的； （2）作出绕点C逆时针旋转后的； （3）点B的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 图形如图所示， ； （2） 图形如图所示， ； （3）； 【解析】 【分析】（1）本题考查作中心对称图形，根据中心对称图形的性质对应点与对称中心连线在同一直线及距离相等，找到相应点连接起来即可得到答案； （2）本题考查作旋转图形，根据旋转的性质直接找到对应点即可得到答案； （3）本题考查旋转的性质，根据（2）的图形直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得， ． 21. 如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余，进而得出，根据圆内接四边形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为． （1）求m及k的值； （2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组的解集． 【答案】（1），；（2）C，． 【解析】 【分析】（1）已知点A（2，1）在函数y=x+m和反比例函数的图象上，代入即可求得m和k的值； （2）求得一次函数的解析式令y=0，求得x的值，即可得点C坐标，根据图象直接判定不等式组0＜x+m≤的解集即可． 【详解】（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上， ∴2+m=1即m=﹣1， ∵A（2，1）在反比例函数y=的图象上， ∴， ∴k=2． （2）∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1， ∴点C的坐标是（1，0）， 由图象可知不等式组0＜x+m≤的解集为1＜x≤2． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，不等式与函数的关系，解题的关键是求出反比例函数，一次函数的解析式，利用数形结合解决问题． 23. 土族盘绣是青海省互助县土族民间传统美术，国家非物质文化遗产之一，在青海省都兰县发掘的土族先祖吐谷浑墓葬中，出现了类似盘绣的绣品，说明4世纪左右盘绣工艺已经出现．小花的妈妈想设计一幅周长为8米的矩形盘绣作品，已知盘绣绣作品的成本费用为每平方米2000元，设矩形的一边长为米，这幅作品的成本费用为元． （1）若该矩形作品的面积为时，该作品的两边长分别是多少？ （2）当取何值时，这幅作品的成本费用最大？为多少元？ 【答案】（1）该作品的两边长分别是1米和3米 （2）当时，这幅作品的成本费用最大，最大费用为8000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元二次方程和二次函数的应用是解题关键． （1）先求出矩形的另一边长为米，再根据矩形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）先求出矩形的另一边长为米，再求出关于的函数关系式，然后求出自变量的取值范围，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：矩形的一边长为米，另一边长为（米）， ∵该矩形作品的面积为， ∴， 整理得：， 解得或， 当时，， 当时，， 答：该作品的两边长分别是1米和3米． 【小问2详解】 解：由题意得：矩形的一边长为米，另一边长为（米）， 则， ∵， ∴， 又∵二次函数中的， ∴在内，当时，取得最大值，最大值为8000， 答：当时，这幅作品的成本费用最大，最大费用为8000元． 24. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示 … 0 1 2 3 … … 0 … （1）________；并在如图所给的平面直角坐标系中画出该抛物线； （2）若直线与两坐标轴分别交于点和，请直接写出抛物线在直线上方时对应的的取值范围． 【答案】（1），画图见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据表格得到顶点坐标，设抛物线表达式为，将表格中的数据代入，求出a值，得到表达式，再令，求出y值，可得m，再画出函数图像； （2）根据图像直接可得结果． 【小问1详解】 解：由表可知：抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线表达式为， 令，则，即； 画图如下： 【小问2详解】 由图可知：抛物线在直线上方时对应的的取值范围是或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数与不等式的关系． 25. 如图，为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，为半径． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）与相切 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）过点O作于E点，根据全等三角形的判定和性质得出，，即是的半径，即可证明； （2）根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 过点O作于E点，如图所示： ∵与腰相切于点， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 ∵为等腰三角形，， ∴， ∵与腰相切于点， ∴， ∴． 26. 在学习了《圆》以后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以帮助我们解决一些求角度的问题． 例：如图①，在中，，，点D是外一点，且．求的度数． （将下列解题过程补充完整） 图① （1）解：以点A为圆心，长为半径作 ，， C，D两点都在上 ，， ______（______） 【初步应用】 （2）如图②，在四边形中，，，求的度数． 图② 【方法迁移】 （3）如图③，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使，用直尺和圆规在l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 图③ 【答案】， 一条弧所对的圆周角是圆心角的一半； ； 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理解答即可； （2）利用对角互补的四边形内接于圆的性质，再根据圆周角定理进行求解即可； （3）根据尺规作图画图即可． 【详解】解：（1）以点A为圆心，长为半径作 ，， C，D两点都在上 ，， ______（___一条弧所对的圆周角是圆心角的一半___）； （2） 四点在以为直径的圆上，以为直径作出， ， ； （3）①作出线段的垂直平分线， ②以为圆心，以为半径画弧交于点，连接，得等边三角形 ③以为圆心，为半径画，于直线交于两点， 则这两点为所有符合条件的点． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，尺规作图，熟练掌握圆周角定理和基本作图的方法是解题的关键． 27. 如图，抛物线的顶点为，与x轴交于A、B两点，且，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3）能，点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）设函数的解析式为，将代入求出a值即可； （2）令，求出点B坐标，进而求出，，利用三角形面积公式即可求解； （3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 又函数图象经过点， ， 解得， ， 即抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数的图象与y轴交于点C， ， ， 令，得， 解得，， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 时，， 能在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使的面积最大，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $