第46讲　空间距离及立体几何中的探索性问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

第46讲　空间距离及立体几何中的探索性问题 基础热身 1.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为 (　 ) A.10 B.3 C. D. 2.在空间直角坐标系中,已知A(1,-1,1),B(3,1,1),则点P(1,0,2)到直线AB的距离为 (　 ) A. B. C. D. 3.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,则B1C1到平面A1BC的距离是 (　 ) A. B. C. D. 4.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P且平行于平面ABC的平面与平面ABC间的距离是 (　 ) A. B. C. D. 5.已知点A(2,1,1)是直线l上一点,a=(1,0,0)是直线l的一个方向向量,则点P(1,2,0)到直线l的距离是　　　　.  6. 在空间直角坐标系中,一个四面体的四个顶点坐标分别为(1,2,3),(4,1,5),(2,3,4),(6,6,1),则其体积为　　　　.  综合提升 7.已知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD,且PO=6,则PO的中点M到△PBC的重心N的距离为 (　 ) A. B. C. D. 8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是a,且AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=60°,E为CC1的中点,则点E到直线AC1的距离为 (　 ) A.a B.a C.a D.a 9.如图,底面同心的圆锥高为,A,B在半径为3的底面圆上,C,D在半径为4的底面圆上,且AB∥CD,AB=CD,当四边形ABCD的面积最大时,点O到平面PBC的距离为 (　 ) A. B. C.2 D. 10.(多选题)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为棱BC,CC1,BB1的中点,则下列结论正确的是 (　 ) A.直线EF到平面A1ADD1的距离为2 B.点A1到平面AEF的距离为 C.点A1到直线AF的距离为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 11.(多选题)在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1B1的中点,P在棱BC上(不包括端点),则下列判断正确的是 (　 ) A.存在点P,使得AP⊥平面DD1E B.存在点P,使得三棱锥P-DD1E的体积为45 C.存在点P,使得点P到DE的距离为5 D.当P为BC的中点时,三棱锥P-DD1E的外接球的表面积为86π 12.在空间直角坐标系中,已知A(a2,2a,6),B(0,0,1),C(1,1,2),D(-1,0,3),E(a2,0,5),则当点A到平面BCD的距离最小时,直线AE与平面BCD所成角的正弦值为　　　　.  13.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=SA=SD=2AB=2,P为棱AD的中点,且SP⊥AB,=λ(0≤λ≤1),若点M到平面SBC的距离为,则实数λ的值为　　　　.  14.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点. (1)证明:BC1∥平面AD1E; (2)求直线BC1到平面AD1E的距离. 15.如图①,在直角梯形ABCD中,CD⊥AD,AB=BC=2CD=2,AD=,现将△ACD沿着对角线AC折起,使点D到达点P的位置(如图②),此时二面角P-AC-D的大小为. (1)求异面直线PA与BC所成角的余弦值; (2)求点A到平面PBC的距离. 能力提升 16.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA⊥平面ABCD,二面角S-DC-A的大小为,E,F,G分别是SA,SB,BC的中点. (1)求证:SD∥平面EFG. (2)在棱BC上是否存在一点M,使得点A到平面EFM的距离为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.D　[解析] 由题意得=(-1,-2,4),因为平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),所以点P到平面α的距离d===.故选D. 2.C　[解析] ∵A(1,-1,1),B(3,1,1),P(1,0,2),∴=(2,2,0),=(0,1,1),∴·=2,||=2,||=,∴在上的投影向量的长度为==,∴点P(1,0,2)到直线AB的距离为==.故选C. 3.B　[解析] 设O,O1分别是AC,A1C1的中点,连接OO1,OB,O1B1,根据正三棱柱的几何性质可知OB,OC,OO1两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),C1(0,1,2),所以=(,-1,0),=(0,-2,2),=(0,0,2).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则可取n=(1,,).因为B1C1∥BC,B1C1⊄平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以B1C1∥平面A1BC,所以B1C1到平面A1BC的距离即为点C1到平面A1BC的距离,为==.故选B. 4.C　[解析] 因为点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),所以=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得n=,所以所求距离d==.故选C. 5.　[解析] 由题可得=(-1,1,-1),且|a|=1,所以点P(1,2,0)到直线l的距离为==. 6.　[解析] 设A(1,2,3),B(4,1,5),C(2,3,4),D(6,6,1),则AB2=14,BC2=9,AC2=3,cos∠ABC==,∴sin∠ABC==,则S△ABC=AB·BCsin∠ABC=.=(3,-1,2),=(-2,2,-1),设平面ABC的法向量为m=(x,y,z),则有即令z=-4,则m=(3,1,-4).∵=(2,5,-4),∴点D到平面ABC的距离h==,则四面体的体积V=S△ABC·h=. 7.A　[解析] 以O为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得,B(2,2,0),C(-2,2,0),P(0,0,6),M(0,0,3).取BC的中点E,连接PE,则N在PE上,且PN=2NE,则N,所以=,所以||==,所以PO的中点M到△PBC的重心N的距离为.故选A. 8.A　[解析] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,不妨设=d,=b,=c,则=++=d+b+c,=-c,|d|=|b|=|c|=a,d·b=0,d·c=b·c=a×a×=a2,所以||=|d+b+c|==a,||=a,·=-c·(d+b+c)=-(c·d+c·b+c·c)=-a2,所以点E到直线AC1的距离为==a.故选A. 9.A　[解析] 方法一:如图①,在圆锥底面上,设直线AB交大圆于点F,E,连接CE,DF,由AB∥CD,知四边形CDFE为等腰梯形.取AB,CD的中点分别为M,N,连接MN,则MN⊥AB,由BM=CN,BM∥CN,知四边形BCNM是矩形,因此四边形ABCD为矩形.过点O作OQ⊥BC于点Q,连接OB,OC,OA,OD,则S四边形ABCD=2S四边形BCNM=4S△BOC=4×OB×OC×sin∠BOC=24sin∠BOC≤24,当且仅当∠BOC=90°,即OB⊥OC时取等号,此时OQ===.如图②,在几何体中,连接PQ,PO,因为PO⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PO⊥BC,又OQ⊥BC,PO∩OQ=O,PO,OQ⊂平面POQ,所以BC⊥平面POQ,又BC⊂平面PBC,所以平面POQ⊥平面PBC.显然平面POQ∩平面PBC=PQ,在平面POQ内过点O作OR⊥PQ于点R,从而OR⊥平面PBC,即OR的长为点O到平面PBC的距离.在Rt△POQ中,PO=,PQ===4,所以OR===,所以点O到平面PBC的距离是.故选A. 方法二:由方法一可得四边形ABCD为矩形,连接OA,OD,则OA=3,OD=4,则矩形ABCD的面积为△AOD面积的4倍,S△AOD=OA·OD·sin∠AOD=6sin∠AOD,当S△AOD最大时,∠AOD=90°,即AO⊥OD,此时AD==5,作OM⊥AD于点M,则OM===,AM===,MD=AD-AM=5-=.连接OP,则PO⊥平面ABCD,以O为原点,OM,OP所在直线分别为x,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B,C,P,所以=(0,5,0),=,=.设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=4,则n=(4,0,-3),所以点O到平面PBC的距离d===.故选A. 10.ABC　[解析] 在A中,显然EF∥平面A1ADD1,点E到平面A1ADD1的距离即为直线EF到平面A1ADD1的距离,点E到平面A1ADD1的距离为2,故A正确.在B中,以D为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),∴=(0,0,2),=(-1,2,0),=(-2,2,1).设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则取y=1,得n=(2,1,2),∴点A1到平面AEF的距离d===,故B正确.在C中,点A1到直线AF的距离为==,故C正确.在D中,连接CA,GA,GE,GF,记点C与点G到平面AEF的距离分别为h1,h2,则V三棱锥C-AEF=·S△AEF·h1=V三棱锥A-CEF=××2=,V三棱锥G-AEF=·S△AEF·h2=V三棱锥A-GEF=××2=,∴h1≠h2,故D错误.故选ABC. 11.AD　[解析] 以D1为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.因为AB=6,所以D1(0,0,0),D(0,0,6),A(6,0,6),E(6,3,0),P(t,6,6)(0<t<6).对于A,当P是BC的中点时,P(3,6,6),=(-3,6,0),=(6,3,0),=(0,0,6),因为所以AP⊥D1E,AP⊥D1D,又D1E∩D1D=D1,D1E,D1D⊂平面DD1E,所以AP⊥平面DD1E,故A正确.对于B,由正方体的性质可得DD1⊥平面A1B1C1D1,则DD1⊥D1E,因为AB=6,所以DD1=6,D1E=3,则△DD1E的面积S=×6×3=9.由A可知,平面DD1E的一个法向量n=(-1,2,0),=(t,6,6),设点P到平面DD1E的距离为h,则h==,由0<t<6,得<h<,从而三棱锥P-DD1E的体积V∈(18,36),故B错误.对于C,=(6,3,-6),=(t,6,0),则点P到DE的距离d==.因为0<t<6,所以≤d<6,而5<,故C错误.对于D,如图,分别取棱AB,B1C1的中点F,G,连接DF,EF,EG,D1G,PG,PF,则三棱锥P-DD1E的外接球与三棱柱DFP-D1EG的外接球为同一个球.由题意可得D1E=D1G=3,EG=3,在△ED1G中,由余弦定理可得cos∠ED1G==,从而sin∠ED1G=,则△D1EG的外接圆半径r==,从而三棱柱DFP-D1EG的外接球的半径R满足R2=r2+=+9=,故其外接球的表面积S=4πR2=86π,故D正确.故选AD. 12.　[解析] 依题意可得=(a2+1,2a,3),=(1,1,1),=(-1,0,2).设n=(x,y,z)是平面BCD的法向量,则即令x=2,得n=(2,-3,1).所以点A到平面BCD的距离d===.当a=时,d取得最小值,此时=(0,-3,-1),所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为==. 13.　[解析] 过点P作PE∥CD,交BC于点E.∵SD=SA,P为AD的中点,∴SP⊥AD,又∵SP⊥AB,且AD∩AB=A,AD,AB⊂平面ABCD,∴SP⊥平面ABCD,∵PE⊂平面ABCD,∴SP⊥PE,易得SP,PA,PE两两垂直.以P为原点,PA,PE,PS所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),S(0,0,),B(1,1,0),C(-1,1,0),∴=(-1,1,-),=(-1,0,),=(1,1,-).∵=λ,∴=(1-λ)=(λ-1,0,(1-λ)).设平面SBC的法向量为m=(x,y,z),则令z=1,则m=(0,,1),∴M到平面SBC的距离d==,即=,可得λ=. 14.解:(1)证明:∵D1C1∥AB,D1C1=AB,∴四边形D1ABC1为平行四边形,∴D1A∥C1B,∵D1A⊂平面AD1E,C1B⊄平面AD1E,∴BC1∥平面AD1E. (2)∵BC1∥平面AD1E,∴直线BC1到平面AD1E的距离即为点B到平面AD1E的距离.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),D1(2,0,2),E(0,2,1),所以=(0,2,0),=(2,0,2),=(0,2,1). 设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z),则取z=-1,得n=,∴点B到平面AD1E的距离d===, 故直线BC1到平面AD1E的距离为. 15.解:(1)过点D作DO⊥AC交AC于点O,连接OP,以O为坐标原点,以OA所在直线为x轴,DO所在直线为y轴,过点O垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为DO⊥AC,所以PO⊥AC,所以∠DOP即为二面角P-AC-D的平面角,所以∠DOP=. 又因为OD=OP=,所以P,C,A,由等边三角形ABC可得B, 所以=,=(-1,-,0),所以cos<,>===, 所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为. (2)由(1)得=,=(-1,-,0), 设n=(x,y,z)为平面PBC的法向量, 则令x=,得n=(,-1,-).又=,所以点A到平面PBC的距离d===. 16.解:(1)证明:如图,连接BD,取BD的中点P,连接FP,GP,∵P,G分别是BD,BC的中点,E,F分别是SA,SB的中点,∴PG∥CD,EF∥AB, 又AB∥CD,∴EF∥PG,∴P∈平面EFG,∴FP⊂平面EFG. ∵F,P分别是SB,BD的中点,∴SD∥FP,又SD⊄平面EFG,FP⊂平面EFG, ∴SD∥平面EFG. (2)∵SA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴SA⊥CD,又AD⊥CD,SA∩AD=A,∴CD⊥平面SAD,∴CD⊥SD, ∴∠SDA为二面角S-DC-A的平面角,即∠SDA=, ∴SA=AD=2.以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.假设存在点M满足题意,设BM=a(0≤a≤2), A(0,0,0),E(0,0,1), F(-1,0,1),M(-2,a,0), 则=(-1,0,0),=(-2,a,-1),=(0,0,1). 设平面EFM的法向量为n=(x,y,z),则 即令z=1,得n=. ∵cos<,n>==,∴点A到平面EFM的距离d=|||cos<,n>|==,可得a=.∵0≤a≤2,∴棱BC上存在一点M,使得点A到平面EFM的距离为,且==2 学科网（北京）股份有限公司 $$