精品解析：江苏省锡山高级中学实验学校新城分校2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

省锡中实验学校2024--2025学年度第二学期 初二数学期中测试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列常见的大模型的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 调查无锡市的空气情况 B. 了解清明节无锡市民扫墓方式 C. 了解我校学生课外阅读的情况 D. 调查神舟二十号飞船各零件是否合格 3. 为了解2025年春学期无锡市八年级学生的跳高水平，从中随机抽取了1000名学生进行检测．下列说法正确的是（ ） A. 2025年春学期无锡市八年级学生全体是总体 B. 样本容量是1000 C. 被抽取的1000名学生是样本 D. 被抽取的每一名八年级学生是个体 4. 的结果为（ ） A B. C. 4 D. 5. 下列事件中是必然事件的为（ ） A. 袋子中有黄球和白球，摸出一个球为黑球 B. 明天会下雪 C. 菱形对角线相等 D. 367个同学中至少有两个同学生日是同一天 6. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是矩形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 9. 无锡惠山泥人厂接到一批定制“熊有成竹”泥塑订单，需制作1000件．若原计划每天制作件，实际每天多制作50件，结果提前5天完成任务．下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，对角线交于点，是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，已知．有以下4个结论： ①当时， ②当时， ③当时，连接，若 ④当时，连接，若，则 其中正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他都相同的小球，其中有6个红球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3，可以估计___________． 13. 有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式___________． 14. 已知菱形，则___________． 15. 如图，已知在中，，将绕点顺时针旋转，使边与重合，得到，连接，则___________． 16. 关于的分式方程有增根，则的值是___________． 17. 如图，在中，，，，动点在边上，过点作于点，连接，取的中点，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为___________． 18. 对于两个实数，我们定义：，那么___________；___________． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 解分式方程： （1） （2） 21. 化简并求值：，其中 22. 无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： （1）表中的___________，___________； （2）任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； （3）若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 23. 3月23日上午2025无锡马拉松鸣枪开跑，35000名跑者在这条樱花盛开的赛道上挑战自我．十里芳堤樱花步道，漫天樱花如“沉浸式隧道”．初一“和畅”部有50位同学参与了5公里的“欢乐跑”项目，经过调查，将50位同学的成绩绘制成了如下不完整的统计图表： 初一“和畅”部50名同学“欢乐跑”成绩 成绩（分钟） 频数（人） 频率 5 10 14 9 （1）统计表中，___________，___________； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若我校参加此次“欢乐跑”比赛的共有500名同学，请估计成绩在“”范围的人数有多少？ 24. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出关于原点中心对称的； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后，并直接写出点的坐标． （3）连接，请计算四边形边上的高． 25. 已知：如图，在正方形的外部有两个点、均在直线上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且的面积为12，求正方形的周长． 26. 2025年春节联欢晚会无锡分会场的筹备工作中，物流部门计划采购、两种型号的智能搬运机器人来运输舞台材料．已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨材料，且每台型机器人搬运250吨材料所需天数与每台型机器人搬运300吨材料所需天数相同． （1）求每台型机器人和型机器人每天分别搬运多少吨材料？ （2）每台型机器人售价1万元，每台型机器人售价2万元．筹备组计划采购两种型号机器人共30台，要求每天搬运材料不低于1700吨，且采购总金额不超过55万元．请帮助筹备组求出最省钱的采购方案． 27. 定义：对于正数，把叫做与的算术平均数，叫做与的几何平均数；而且两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即如果，那么，当时，等号成立． （1）2和12的算术平均数和几何平均数分别为___________、___________； （2）①已知，则的最小值是___________； ②已知，且，则的最大值是___________； （3）已知，记，求的取值范围． 28. 如图，有直线，与之间距离为3，交于点，交于点．矩形，点在上且在点的上方，点在上且在点的左侧，，以点为旋转中心，顺时针旋转矩形，点旋转后的对应点分别为，旋转角为．直线、直线分别与直线相交于点． （1）若时， ①当点落在上时，求到的距离； ②当点落在上时，求到的距离； （2）在矩形旋转过程中，若时，请直接写出满足题意的的方程为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省锡中实验学校2024--2025学年度第二学期 初二数学期中测试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列常见的大模型的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 调查无锡市的空气情况 B. 了解清明节无锡市民扫墓方式 C. 了解我校学生课外阅读的情况 D. 调查神舟二十号飞船各零件是否合格 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了普查和抽样调查． 根据普查和抽样调查的区别判断即可． 【详解】解：A．空气情况涉及范围广，需长期监测，适合抽样调查； B．市民扫墓方式总体庞大，适合抽样调查； C．学校学生数量有限，但课外阅读情况可通过抽样高效完成，非必须普查； D．飞船零件必须全部合格，任一瑕疵均可能引发重大事故，故需逐一检查，必须普查； 故选：D． 3. 为了解2025年春学期无锡市八年级学生的跳高水平，从中随机抽取了1000名学生进行检测．下列说法正确的是（ ） A. 2025年春学期无锡市八年级学生的全体是总体 B. 样本容量是1000 C. 被抽取的1000名学生是样本 D. 被抽取的每一名八年级学生是个体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念．总体指研究对象的全体，个体是每个研究对象，样本是抽取的部分个体，样本容量是样本中个体的数目． 【详解】解：A选项错误，总体应为2025年春学期无锡市八年级学生的跳高水平全体，而非学生全体； B选项正确，样本容量是抽取的个体数量，即1000； C选项错误，样本是被抽取的1000名学生的跳高水平数据，而非学生本身； D选项错误，个体是每名学生的跳高水平，而非学生本身． 故选B 4. 的结果为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法法则，进行计算后，判断即可． 【详解】解：． 故选A． 5. 下列事件中是必然事件的为（ ） A. 袋子中有黄球和白球，摸出一个球为黑球 B. 明天会下雪 C. 菱形对角线相等 D. 367个同学中至少有两个同学生日是同一天 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，必然事件指在一定条件下必然发生的事件．逐一分析各选项是否符合必然事件的定义． 【详解】解：A、袋子中只有黄球和白球，摸出黑球为不可能事件，不符合题意． B、明天下雪受天气条件影响，属于随机事件，不符合题意． C、菱形的对角线相等是不可能事件，不符合题意． D、一年最多有366天，367个同学中必有两人生日在同一天，属于必然事件． 故选D． 6. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简分式，判断分式是否为最简分式，需检查分子与分母是否存在公因式．若无法约分，则为最简分式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选D． 7. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是矩形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定，根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定定理逐一分析选项即可． 【详解】A． 对角线互相平分的四边形是平行四边形，而矩形需满足对角线相等或有一个直角，故A错误． B． 菱形的对角线互相垂直且平分，若对角线相等，则四个角均为直角，符合正方形的定义，故B正确． C． 对角线相等的平行四边形是矩形，而非菱形（菱形的对角线互相垂直但不一定相等），故C错误． D． 两组邻边分别相等的四边形可能是筝形，不一定是平行四边形（需两组对边相等或对边平行），故D错误． 故选：B． 9. 无锡惠山泥人厂接到一批定制“熊有成竹”泥塑订单，需制作1000件．若原计划每天制作件，实际每天多制作50件，结果提前5天完成任务．下列方程中正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据题意，原计划每天制作件，总天数为天；实际每天制作件，总天数为天，因实际提前5天完成，故原计划天数减去实际天数等于5，据此列方程. 【详解】解：原计划天数：总任务量1000件除以每天制作量，即天， 实际天数：每天多制作50件，即每天制作件，总天数为天， 时间差：原计划天数比实际天数多5天， 故方程为：， 故选：A 10. 如图，在菱形中，，对角线交于点，是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边，连接，已知．有以下4个结论： ①当时， ②当时， ③当时，连接，若 ④当时，连接，若，则 其中正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求出，进而求出，证明为等边三角形，再证明，得到，，推出，连接，勾股定理求出的长，判断①②③，当时，点在线段的延长线上，同理得到，利用勾股定理求出的长判断④即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 当时，则： ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∴， ∴；故②正确； 连接， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴；故③错误； 当时，点在线段的延长线上，如图： 同理：， ∴， ∴， ∵，， ∴；故④正确； 故选B． 本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他都相同的小球，其中有6个红球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3，可以估计___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，关键在于理解频率与概率的关系，并通过已知条件建立方程求解未知数．本题通过频率估计概率，核心是将频率等同于概率，代入比例关系求解总球数．最终答案需为整数，计算时需注意单位一致性． 【详解】解：根据频率稳定性的原理，红球出现的概率近似为0.3， 红球的概率计算公式为红球数量除以总球数，即， 解得：． 故答案为：20． 13. 有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式___________． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 依据分式定义（分母含字母的整式商式），从给定整式里，分别选含字母的整式作分母，其余整式作分子，组合出所有符合条件的分式． 【详解】解：分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时，因是常数（不含字母），组成的、不是分式，舍去． 综上，所有分式为、、、． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知菱形，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质与判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 根据题意画出草图，利用菱形的性质结合可知为等边三角形，得到对角线的长，再根据勾股定理可求得对角线的长，即可求得菱形的面积． 【详解】解：如图： ， ∵四边形是菱形， ∴，是的角平分线，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴在直角通过勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 15. 如图，已知在中，，将绕点顺时针旋转，使边与重合，得到，连接，则___________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据旋转的性质得出，，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求解． 详解】解：根据旋转可知：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 关于的分式方程有增根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，掌握求解的方法是关键； 分式方程去分母化为整式方程，然后根据分式方程有增根（即分式方程的分母为0）求出x，再代入整式方程求解即可． 【详解】解：去分母，得， ∵方程有增根， ∴，即， 把代入上述整式方程得：； 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，动点在边上，过点作于点，连接，取的中点，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过折叠构造对称点，利用平行四边形性质推出角度；再依据中位线定理，将最小值转化为最小值（时最小 ）；最后在含角的直角三角形中，结合勾股定理算出长度。 【详解】解：如图将沿对折至，延长交于点，连接． ∵四边形为平行四边形．，，． ， ． 又对折， ， ． ． 又，对折线为，位于上， ，． 为中点， 又为中点， ， 当为最小值时，最小， 可知当时最小值． 过点作交于点， ， ∵，． 在中 ． 此时与点重合， 即． 故的长为时，最小． 故答案为． 【点睛】本题考查平行四边形性质、折叠变换、三角形中位线定理及直角三角形性质，解题关键是通过折叠构造对称关系，结合中位线定理将最值转化为最值，再利用直角三角形求解。 18. 对于两个实数，我们定义：，那么___________；___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，实数的混合运算．理解并掌握定义新运算的规则，是解题的关键．根据定义新运算的规则，逐一进行计算，进而得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ∵， ∴ ； 故答案为： 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，负整数指数幂； （1）先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算负整数指数幂和绝对值，再计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 20. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键； （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即可得解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即可得解. 【小问1详解】 解：去分母，得， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解是； 【小问2详解】 解：去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴ 原方程的解是. 21. 化简并求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先化简分式，再代入求值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 22. 无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： （1）表中的___________，___________； （2）任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； （3）若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】（1）183，； （2） （3）10000颗 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． （1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ． （3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ． 【小问1详解】 解：根据题意得； 解得： ． 故答案为：183，； 【小问2详解】 观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ． 故答案：； 【小问3详解】 解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ， 解得， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 23. 3月23日上午2025无锡马拉松鸣枪开跑，35000名跑者在这条樱花盛开的赛道上挑战自我．十里芳堤樱花步道，漫天樱花如“沉浸式隧道”．初一“和畅”部有50位同学参与了5公里的“欢乐跑”项目，经过调查，将50位同学的成绩绘制成了如下不完整的统计图表： 初一“和畅”部50名同学“欢乐跑”成绩 成绩（分钟） 频数（人） 频率 5 10 14 9 （1）统计表中，___________，___________； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若我校参加此次“欢乐跑”比赛的共有500名同学，请估计成绩在“”范围的人数有多少？ 【答案】（1）12； （2）见解析 （3）120人 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布表和补全条形统计图，用样本的频率估计总体等，熟练掌握统计图的特点，是解题的关键． （1）可的频率为，即可求出a的值，根据的频数为14可以求出b的值； （2）由（1）得，补全图，即可求解； （3）根据样本中的频率，估计总体数量即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ． 【小问2详解】 解：补全图如下： 【小问3详解】 解：由题意得：（人）， 答：估计成绩在“”范围的人数有120人． 24. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出关于原点中心对称的； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的，并直接写出点的坐标． （3）连接，请计算四边形边上的高． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查中心对称作图和旋转作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理； （1）分别作出三个顶点关于原点中心对称的对应点，再依次连接即可； （2）分别作出三个顶点绕点逆时针旋转的对应点，再依次连接即可； （3）根据（1）可得四边形是平行四边形，再利用面积画求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示，； 【小问3详解】 解：连接，， 由（1）可得与互相平分， ∴四边形是平行四边形， 设四边形边上的高为， ∵， ∴，即， 解得， ∴四边形边上的高． 25. 已知：如图，在正方形的外部有两个点、均在直线上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且的面积为12，求正方形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）48 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，三角形的面积和正方形的周长． （1）连接，根据正方形的性质得，，再由推出，再根据在四边形中，对角线互相垂直平分，判定四边形是菱形； （2）先由已知得，进而得，即可求出正方形的边长，进而可求正方形的周长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在四边形中，，，， 即在四边形中，对角线互相垂直平分， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，且的面积为12， ∴， ∴， ∵， ∴正方形的边长为12， ∴正方形的周长为． 26. 2025年春节联欢晚会无锡分会场的筹备工作中，物流部门计划采购、两种型号的智能搬运机器人来运输舞台材料．已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨材料，且每台型机器人搬运250吨材料所需天数与每台型机器人搬运300吨材料所需天数相同． （1）求每台型机器人和型机器人每天分别搬运多少吨材料？ （2）每台型机器人售价1万元，每台型机器人售价2万元．筹备组计划采购两种型号机器人共30台，要求每天搬运材料不低于1700吨，且采购总金额不超过55万元．请帮助筹备组求出最省钱的采购方案． 【答案】（1）每台型机器人每天搬运50吨材料，每台型机器人每天搬运60吨材料 （2）采购型机器人10台，采购B型20台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，正确理解题意、列出方程和不等式组是解题的关键； （1）设每台型机器人每天搬运x吨材料，则每台型机器人每天搬运吨材料，根据：每台型机器人搬运250吨材料所需天数与每台型机器人搬运300吨材料所需天数相同，即可列出方程，解方程并检验后即可得解； （2）设采购型机器人m台，则采购B型机器人台，采购总金额为w万元，根据题意可得关于m的不等式组，求出不等式组的解后，再利用一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每台型机器人每天搬运x吨材料，则每台型机器人每天搬运吨材料， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解，； 答：每台型机器人每天搬运50吨材料，每台型机器人每天搬运60吨材料 【小问2详解】 解：设采购型机器人m台，则采购B型机器人台，采购总金额为w万元， 根据题意可得：， 解得：， ∵， 且， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，， ∴最省钱的采购方案是：采购型机器人10台，采购B型机器人20台． 27. 定义：对于正数，把叫做与的算术平均数，叫做与的几何平均数；而且两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即如果，那么，当时，等号成立． （1）2和12的算术平均数和几何平均数分别为___________、___________； （2）①已知，则的最小值是___________； ②已知，且，则的最大值是___________； （3）已知，记，求的取值范围． 【答案】（1）7， （2）①2；②25 （3） 【解析】 【分析】本题以算术平均数和几何平均数为背景，主要考查了二次根式和分式的相关运算，正确理解算术平均数和几何平均数的定义是解题的关键； （1）根据算术平均数和几何平均数的定义求解即可； （2）①根据两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数求解即可； ②根据题意可得，代入后再进一步求解即可； （3）将原式变形为，再利用求解即可． 【小问1详解】 解： 2和12算术平均数是，几何平均数是； 故答案为：7，； 【小问2详解】 解：①根据题意可得：，当且仅当时取“=”； 故答案为：2； ②∵，且， ∴，即， ∴ 则的最大值是25； 故答案为：25； 【小问3详解】 解：∵， ∴，当即时取等号， ∴， ∴的取值范围是． 28. 如图，有直线，与之间的距离为3，交于点，交于点．矩形，点在上且在点的上方，点在上且在点的左侧，，以点为旋转中心，顺时针旋转矩形，点旋转后的对应点分别为，旋转角为．直线、直线分别与直线相交于点． （1）若时， ①当点落在上时，求到的距离； ②当点落在上时，求到的距离； （2）在矩形旋转过程中，若时，请直接写出满足题意的的方程为___________． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，过点作于点E，证明矩形为正方形，得出，证明为等腰直角三角形，求出即可； ②当点在点D左侧时，过点作于点F，交于点E，证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出即可得出答案，当点在点D右侧时，同理可以求出结果； （2）当时，，，此时点B在上，点A与点D重合；分两种情况：当点在上，且在点D左侧时，点P与点重合，当点在上，且在点D右侧时，点P与点重合，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：①连接，过点作于点E，如图所示： 则， 当时，， ∴矩形为正方形， ∴， ∴当点落在上时，旋转角，， ∴此时点在上， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即点到直线距离为； ②当点在点D左侧时，过点作于点F，交于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴根据旋转可知：四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与之间的距离为3， ∴， ∴， ∴， ∴， 即此时到的距离为； 当点在点D右侧时，过点作于点F，延长交于点E，如图所示： 同理可得：，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， 即点到的距离为； 综上分析可知：点到的距离为：或； 【小问2详解】 解：当时，，， ∴此时点B在上，点A与点D重合； 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点P在直线上， ∴点与点P重合； 当点在上，且在点D左侧时，点P与点重合，如图所示： 根据矩形的性质可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，符合题意， 根据勾股定理得：， 即， ∴， 当点在上，且在点D右侧时，点P与点重合，如图所示： 根据矩形的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，符合题意， 根据勾股定理得：， 即， ∴； 综上分析可知：满足题意的的方程为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $