精品解析：江苏省淮安市淮安经济技术开发区开明中学2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中考试 初一数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案涂在答题纸上） 1. 在现实生活中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组数值中，是二元一次方程组的解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点O按顺时针方向旋转至，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一个长方体箱子的长、宽、高分别为：2、x、，则这个箱子的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 7. 如果关于x的多项式是一个完全平方的展开形式，那么常数k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8. 如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24 分；请将答案写在答题纸上） 9. 嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、融化、经高科技拉成直径约为0.0000167米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据用科学记数法表示为________． 10. 八边形的内角和为________度． 11. 若，，则的值是_________． 12. 命题“如果互为相反数，那么”的逆命题为_________________． 13. 如图，将沿方向平移之后得到，若，则_____． 14. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为______． 15. A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为：_____（填“”、“”或“”）． 16. 如图，在和中，，，且点B、C、E在同一条直线上．点P是边上的一个动点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共72分；请将解答过程写在答题纸上） 17. 计算： （1） ； （2）． 18. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 19. 先化简再求值：，其中． 20. 填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（ ① ）， ∴（ ② ）． ∵（已知）， ∴（ ③ ）， ∴（平行于同一条直线两条直线平行）， ∴（ ④ ）． 21. 定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）写出的值为 ； （2）若，求的值． 22. 如图，已知． （1）用直尺和圆规按下列要求作图：作交于点D，作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的度数． 23. 如图，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，请利用无刻度直尺完成画图． （1）将向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，画出； （2）将绕点A顺时针旋转得到，画出； （3）点M是边上一点，且不在格线上，画出点M关于直线l对称点． 24. 观察下列各式： …………第1个等式 …………第2个等式 …………第3个等式 … 探索以上式子规律： （1）写出第4个等式 ； （2）①填空，写出第n个等式： ； ②请说明①中的等式成立． 25. 若将关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程“相伴系数对”为 ； （2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为 ； （3）已知关于x、y的二元一次方程的“相伴系数对”为，请求出的值． 26. 小初同学围绕“三角形三个内角的和等于”进行了一系列探究，过程如下： （1）【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形三个内角的和等于． 请完成上述说理过程． （2）【应用】如图2，在中，的平分线与的平分线交于点P，过点A作，点M在射线上，连接并延长，交的延长线于点D，且满足． ①的度数为 ； ②设，则 （用含的代数式表示）． （2）【拓展】在（2）的条件下，若，，如图3，将（2）中的绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时两个三角形同时停止旋转．设旋转的时间为t秒（），在旋转过程中，当t的值为多少时，的边所在的直线与的某一边所在的直线垂直？请直接写出t的值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期中考试 初一数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将答案涂在答题纸上） 1. 在现实生活中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方 ）和合并同类项法则，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．本题需依据幂的运算性质（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方 ）以及合并同类项法则，对每个选项逐一判断． 【详解】解：，故A错误． ，故B错误． ，故C正确． ∵合并同类项时，只有所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项才能合并，与所含字母不同，不是同类项，无法合并， ∴，故D错误． 故选：C ． 3. 下列四组数值中，是二元一次方程组的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法求出方程组的解，进行判断即可． 【详解】解： ，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； 故选D． 4. 如图，将绕点O按顺时针方向旋转至，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵将绕点O按顺时针方向旋转至， ∴，又， ∴， 故选：C． 5. 一个长方体箱子的长、宽、高分别为：2、x、，则这个箱子的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用．先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【详解】解：这个箱子的体积为： ， 故选：D． 6. 能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查举反例，证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．根据题目的要求举一个反例即可． 【详解】解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：， ∵，但是， ∴B正确； 故选：B． 7. 如果关于x的多项式是一个完全平方的展开形式，那么常数k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．本题要依据完全平方公式的结构特征，把给定多项式与公式对比，从而确定的值． 【详解】解：完全平方公式为 ． 对于多项式，其中相当于，则；相当于， ∵，， ∴或 ． 当时，中间项，而中间项是， ∴或，即 ． 故选：D ． 8. 如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理得到的度数，进而得到的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24 分；请将答案写在答题纸上） 9. 嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、融化、经高科技拉成直径约为0.0000167米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 10. 八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【解析】 【详解】解：八边形的内角和=， 故答案为：1080． 11. 若，，则的值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了逆用同底数幂除法法则，掌握逆用同底数幂法则成为解题的关键． 直接逆用同底数幂除法法则即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为3． 12. 命题“如果互为相反数，那么”的逆命题为_________________． 【答案】如果，那么互为相反数 【解析】 【分析】把原命题的条件作为逆命题的结论，把原命题的结论作为逆命题的条件，即可． 【详解】“如果互为相反数，那么”的逆命题为：“如果，那么互为相反数”． 故答案是：如果，那么互为相反数． 【点睛】本题主要考查逆命题的定义，掌握逆命题与原命题的关系，是解题的关键． 13. 如图，将沿方向平移之后得到，若，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 先利用平移的性质得，然后利用，即可求出答案． 【详解】解：沿方向平移得到， ， ． 故答案为：7． 14. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数，将两个方程相加，变形后，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】解： ，得：， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：1． 15. A，B两张长方形纸片如图所示，设纸片A，B的面积分别为，比较 的大小关系为：_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式与多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，，再利用作差法求出，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在和中，，，且点B、C、E在同一条直线上．点P是边上的一个动点，连接，则的最小值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接，由平角的定义可得，则，证明得到，则，根据即可得到答案． 详解】解：如图所示，连接， ∵，且点B、C、E在同一条直线上． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为16，即的最小值为16， 故答案为：16． 三、解答题（本大题共10小题，共72分；请将解答过程写在答题纸上） 17. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，单项式乘以单项式，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）利用积的乘方，单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （2）利用乘方，零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 19. 先化简再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 详解】解： ， 当时，原式． 20. 填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（ ① ）， ∴（ ② ）． ∵（已知）， ∴（ ③ ）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（ ④ ）． 【答案】①垂线的定义；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，由垂线的定义可得，则可证明，再证明，进而证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂线的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 21. 定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）写出的值为 ； （2）若，求的值． 【答案】（1）64 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，幂乘方计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据题意结合幂的乘方计算法则可得，再由新定义即可得到． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴． 22. 如图，已知． （1）用直尺和圆规按下列要求作图：作交于点D，作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的度数． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角，熟掌握尺规作图的方法，是解题的关键： （1）根据尺规作图—作垂线和作角平分线的方法作图即可； （2）三角形外角的性质结合角平分线的定义求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，请利用无刻度直尺完成画图． （1）将向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，画出； （2）将绕点A顺时针旋转得到，画出； （3）点M是边上一点，且不在格线上，画出点M关于直线l的对称点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画平移图形，画旋转图形，画轴对称图形，轴对称的性质，全等三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据所给平移方式确定的位置，描出并顺次连接即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出并顺次连接即可； （3）作线段关于直线l的对称线段，连接交直线l于O，连接并延长交线段于，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，作线段关于直线l的对称线段，连接交直线l于O，连接并延长交线段于，点即为所求． 由轴对称的性质可得， 则，可证明得到． 24. 观察下列各式： …………第1个等式 …………第2个等式 …………第3个等式 … 探索以上式子的规律： （1）写出第4个等式 ； （2）①填空，写出第n个等式： ； ②请说明①中的等式成立． 【答案】（1） （2）①，；②见解析 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式规律探究，完全平方公式，解题的关键是推出式子规律： （1）仿照题干式子，进行作答即可； （2）①根据已知等式，推出第n个等式即可；②利用多项式乘以多项式的法则展开即可得证． 【小问1详解】 解：由题意，第4个等式为； 故答案为：； 【小问2详解】 ①由题意，可得：第n个等式为：； ②∵， ， ∴． 25. 若将关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程的“相伴系数对”为 ； （2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为 ； （3）已知关于x、y的二元一次方程的“相伴系数对”为，请求出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，二元一次方程的解，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，得到，把代入，求出的值即可； （3）根据新定义，得到，进而求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为； 【小问2详解】 由题意可知：，把代入，得： ，解得：， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵“相伴系数对”为， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 小初同学围绕“三角形三个内角的和等于”进行了一系列探究，过程如下： （1）【论证】如图1，延长至点D，过点A作，就可以说明成立，即：三角形三个内角的和等于． 请完成上述说理过程． （2）【应用】如图2，在中，的平分线与的平分线交于点P，过点A作，点M在射线上，连接并延长，交的延长线于点D，且满足． ①度数为 ； ②设，则 （用含的代数式表示）． （2）【拓展】在（2）的条件下，若，，如图3，将（2）中的绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时两个三角形同时停止旋转．设旋转的时间为t秒（），在旋转过程中，当t的值为多少时，的边所在的直线与的某一边所在的直线垂直？请直接写出t的值 ． 【答案】（1）见解析（2）①②（3）或或 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； （2）①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得，再推出，再利用平角的定义即可求解；②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论即可求解． （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）延长至D，过点A作， ∴， ∵， ∴， 即三角形的内角和为． （2）如图， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ①当时，如图，则：， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：； ②当时，如图，作，则：， ∴， ∴， ∴，解得：； ③当时，如图，则：， ∴， 作，则：， ∴， ∴， ∴，解得：； 综上：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$