精品解析：湖南省怀化市芷江侗族自治县洞下场乡学区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

期中测试 (时间:120分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，记住直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角可用减去已知锐角计算得出． 【详解】解：在直角三角形中，直角为，两个锐角的和为， 已知其中一个锐角是， 则另一个锐角的度数为：， 因此，另一个锐角的度数是， 对应选项B． 2. 春节期间，贴春联、送祝福一直是我们的优良传统．下列用篆书书写的春联中“五福临门”四个字，其中可以看成中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：A． 3. 如图，在中，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行线的性质，掌握平行四边形的性质以及平行线的性质是解本题的关键． 首先根据题意得到，则，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故选：B． 4. 菱形的两条对角线分别是12和16，则该菱形的边长是(　　) A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分别为12和16，求得OA与OB，再由勾股定理即可求得菱形的边长． 【详解】如图， ∵菱形ABCD中，AC=12，BD=16， ∴OA=AC=6，OB=BD=8，AC⊥BD， ∴AB==10． 即菱形的边长是10. 故选：A. 【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．掌握菱形的对角线互相平分且垂直是解题的关键． 5. 在△ABC内取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点 （ ） A. 高 B. 角平分线 C. 中线 D. 垂直平分线 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点， ∴点P应是△ABC的三条角平分线的交点． 故选B． 6. 下列说法正确的是（　　） A. 顺次连接任意一个四边形四边的中点，所得到的四边形一定是平行四边形 B. 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 只要是证明两个直角三角形全等，都可以用“HL”定理 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可判定出顺次连接任意一个四边形四边的中点，所得到的四边形一定是平行四边形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；对角线相等的平行四边形是矩形；证明两个直角三角形全等的方法不只有HL，还有SAS，AAS，ASA． 【详解】A．顺次连接任意一个四边形四边的中点，所得到的四边形一定是平行四边形，说法正确； B．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，原说法错误； C．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误； D．已知两个直角三角形斜边和直角边对应相等，可以用“HL”定理证明全等，原说法错误． 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形、直角三角形全等的判定、矩形的判定、中点四边形，关键是熟练掌握各知识点． 7. 如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是 ( ) A. BD=CE B. DA=DE C. ∠EAC=90° D. ∠ABC=2∠E 【答案】A 【解析】 【分析】依题意推出∠OAD+∠ODA=90°，四边形ABDE是平行四边形，然后基于推论得出AB=DA=DE，∠E=∠ABD，∠EAD+∠ODA=90°，则∠EAC=90°，∠ABC=2∠E． 【详解】如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CE，AB=DA=DC=BC，∠ABC=2∠ABD，BD⊥AC， ∴∠OAD+∠ODA=90°， 又∵BD∥AE， ∴四边形ABDE是平行四边形，∠EAD=∠OAD， ∴AB=DA=DE，∠E=∠ABD， ∴∠EAD+∠ODA=90°， 即∠EAC=90°，∠ABC=2∠E，故不成立的是A． 故选A． 【点睛】此题主要考查菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角． 8. 如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】沿长与交于点D，利用等腰三角形的三线合一快速得到点P是线段中点，利用中线平分面积的性质解题即可． 【详解】解：沿长与交于点D， ∵平分，， ∴点P是线段中点， ∴，， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及中线的性质，能够熟练的构造等腰三角形是解题关键． 9. 如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质以及勾股定理，由折叠的性质得出，设，再根据勾股定理得出，代入数值求解得出x的值，进而即可得出的值． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为3， ∴， 根据折叠的性质得：， 设， 则，，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选B 10. 如图，点P是正方形的对角线上的一点，，，连接，以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理．综合运用以上知识点是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，根据正方形对角线的性质以及题目中的已知条件，利用“边角边”证明即可证明结论①、结论③正确；通过角的等量代换可以得出，即，结论②正确；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质与勾股定理，可以得出以下关系：在中，，在中，， 在中，，通过等量代换即可得出，即结论④正确． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 四边形是正方形， ，，，, , ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，，，即， ，， 在中，， ， ， ， ，， ， （故①正确），， （故③正确）， ， ，， ， ，即（故②正确）． ， ， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ，故④正确； 综上所述，①②③④均正确，正确结论的个数为4个， 故选D． 二、填空题(本大题有8个小题，每小题3分，共24分) 11. 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使，，测得，则A，B间的距离为_________m． 【答案】100 【解析】 【详解】解：∵点A，B分别是CM，CN的中点， ∴AB是△AMN的中位线， ∴AB=MN， ∵MN=200， ∴AB=100. 故答案为：100. 12. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面密铺的问题．正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故答案为：． 13. 如图，在和中，，，，若，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查直角三角形全等的判定：，还有直角三角形两锐角互余的性质．根据“”可以证明，则，根据余角的性质即可求得的度数． 【详解】解：在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 14. 等腰三角形的顶角为，底边上的高为，则它的周长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角定理，得出，，再根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，计算得出，进而得出从而不难求得三角形的周长． 【详解】解：如图， 等腰中， ∵，，于点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴周长． 故答案为:． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为_____度． 【答案】32 【解析】 【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上， ∵∠BAD=58°， ∴∠DEB=116°， ∵DE=BE=AC， ∴∠EBD=∠EDB=32°， 故答案为：32． 16. 如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝_______． 【答案】120． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得，AB和菱形的两边构成的三角形是等边三角形，可得∠A=60°，所以，∠1=120° 解：如图，连接AB． ∵菱形的边长=15cm，AB=BC=15cm ∴△AOB是等边三角形 ∴∠ABO=60°， ∴∠AOD="120°" ∴∠1=120°． 故答案为120． 考点：菱形的性质． 17. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是_____． 【答案】①③④ 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形， 又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD， ∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误； ∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， 又OB⊥OC，即对角线互相垂直， ∴平行四边形ABCD是正方形，③正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形， 又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形， ∴平行四边形ABCD是正方形，④正确； 故答案为①③④． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________cm． 【答案】3． 【解析】 【分析】根据题意得到，当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，从而求得CF的长． 【详解】当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，CF=AC﹣AF，当点F不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC﹣AF＜CF＜AC+AF， ∴当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小， ∴CF=AC﹣AF=4﹣=cm． 故答案为． 考点：正方形的性质；旋转的性质． 三、解答题(本大题有8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 19. 如图,△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=12cm，BC=16cm．求AD、CD的长． 【答案】CD =9.6cm，AD=7.2cm 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高，进一步根据勾股定理即可求得AD的长． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16cm， ∴AB=20cm. 根据直角三角形的面积公式,得CD= =9.6cm. 在Rt△ACD中,AD=cm. 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于求得直角三角形的斜边 20. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC上的中点，AB＝5，CD＝7．求四边形EFGH的周长． 【答案】12 【解析】 【分析】根据E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，可得出EF∥AB，GH∥AB，同理EH∥CD，FG∥CD，则四边形EFGH为平行四边形，由三角形的中位线定理得出EF，EH，从而求出四边形EFGH的周长． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB=5，CD=7． ∴EF∥AB，GH∥AB，EF=2.5，EH=3.5， 同理EH∥CD，FG∥CD， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=2×6=12． 21. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥DC， ∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB， ∵AB=CD，FD=BE， ∴CF=AE， 在△COF和△AOE中， ∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB， ∴△COF≌△AOE， ∴OE=OF． 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论． 【详解】略 22. 如图，点P是中一点，于A，于B，连接，． （1）求证：平分． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵于A，于B， ∴平分（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及等边对等角 （1）根据，得出，即可求证； （2）先求出，再利用三角形的内角和定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，于A，于B，， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，已知，对角线相交于点O，． （1）求证：是矩形； （2）请添加一个条件使矩形为正方形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为矩形； （2）添加（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的性质，等角对等边，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对角线互相平分可得，再证明，得到，则由对角线相等的平行四边形是矩形可证明结论； （2）根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：添加条件，理由如下： ∵四边形是矩形，且， ∴矩形是正方形． 24. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长． 【答案】 （1）证明：∵AE∥BF， ∴∠ADB=∠CBD， 又∵BD平分∠ABF， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， 同理：AB=BC，∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是菱形，BD=6， ∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3， ∵∠ADB=30°， ∴cos∠ADB=， ∴AD=． 25. 如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）连接，试判断的度数，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） ，理由如下： 连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质四条边都相等可得，对角线平分一组对角线可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后等量代换即可得证； （2）根据全等三角形对应角相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据，求出，然后根据四边形的内角和定理求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 定义：若某三角形的三边长a，b，c满足 则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义，解决下列问题： （1）判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； （2）如图，在中，，且．证明：为“类勾股三角形” 【答案】（1） 解：等边三角形不是“类勾股三角形”， 理由：设等边三角形的三边长分别为，，， 则， ， 等边三角形不是“类勾股三角形”； （2） 证明：过点作，垂足为，在上截取，连接，     是的垂直平分线， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 为“类勾股三角形”． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）先设等边三角形的三边长分别为，，，则，然后进行计算可得：，即可解答； （2）过点作，垂足为，在上截取，连接，可得是的垂直平分线，设，从而可得，进而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，，然后利用线段的和差关系可得，最后分别在和中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中测试 (时间:120分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 春节期间，贴春联、送祝福一直是我们的优良传统．下列用篆书书写的春联中“五福临门”四个字，其中可以看成中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则 （ ） A. B. C. D. 4. 菱形的两条对角线分别是12和16，则该菱形的边长是(　　) A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 5. 在△ABC内取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点 （ ） A. 高 B. 角平分线 C. 中线 D. 垂直平分线 6. 下列说法正确的是（　　） A. 顺次连接任意一个四边形四边的中点，所得到的四边形一定是平行四边形 B. 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 只要是证明两个直角三角形全等，都可以用“HL”定理 7. 如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是 ( ) A. BD=CE B. DA=DE C. ∠EAC=90° D. ∠ABC=2∠E 8. 如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是正方形的对角线上的一点，，，连接，以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题有8个小题，每小题3分，共24分) 11. 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使，，测得，则A，B间的距离为_________m． 12. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 13. 如图，在和中，，，，若，则 _____． 14. 等腰三角形的顶角为，底边上的高为，则它的周长为_____________． 15. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为_____度． 16. 如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝_______． 17. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是_____． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________cm． 三、解答题(本大题有8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 19. 如图,△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=12cm，BC=16cm．求AD、CD的长． 20. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC上的中点，AB＝5，CD＝7．求四边形EFGH的周长． 21. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF． 22. 如图，点P是中一点，于A，于B，连接，． （1）求证：平分． （2）若，求的度数． 23. 如图，已知，对角线相交于点O，． （1）求证：是矩形； （2）请添加一个条件使矩形为正方形． 24. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长． 25. 如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）连接，试判断的度数，并证明你的结论． 26. 定义：若某三角形的三边长a，b，c满足 则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义，解决下列问题： （1）判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； （2）如图，在中，，且．证明：为“类勾股三角形” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $