精品解析：四川省成都市温江区永宁中学校四校等2024-2025学年下学期期半期质量监测八年级数学试题

2024-2025学年度下期四校半期质量监测 八年级数学试卷 （考试时间120分，全卷满分150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列医疗或救援的标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若成立，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（  ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转的角度是( ) A 15° B. 30° C. 45° D. 75° 6. 将三角形三个顶点的横坐标都减2，纵坐标不变，则所得三角形与原三角形的关系是（ ） A. 将原图向左平移两个单位 B. 关于原点对称 C. 将原图向右平移两个单位 D. 关于y轴对称 7. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（　　）    A. 63° B. 65° C. 75° D. 84° 8. 如图，函数经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：________． 10. 若不等式（1-a）x > 1-a的解集是x< 1，则a的取值范围是________ 11. 如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是__________． 12. 如图，在△ABC中，BC＝5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC＝2cm，则平移的距离为_____cm． 13. 如图，△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．） 14 计算 （1）因式分解：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，，，． （1）在网格中画出向下平移个单位，再向左平移1个单位得到的图形，并写出、、的坐标． （2）在网格中画出绕原点顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标． 16. 新冠疫情爆发以来，人们都自觉减少外出游玩，小区内的运动器材区成了小朋友运动的最佳场所．如图是某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心到地面的距离．在荡秋千过程中（秋千的长度始终保持不变），当秋千摆动到最高点时，测得点到地面的距离，；当从处摆动到处时，有． （1）求秋千到地面的最小距离； （2）求到的距离． 17. 如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F， （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图像相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求一次函数的解析式． （2）请直接写出不等式的解集． （3）若在x轴上存在一点D，且是以为腰等腰三角形时，求此时点D的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若x－y＝3，xy＝10，则______． 20. 若关于的不等式组的有4个整数解，则的取值范围是________． 21. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为_____． 22. 如图，点在直线上，过点作轴交x轴于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和x轴于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则点的坐标为_________；点的坐标为_________（结果用含正整数n的代数式表示）． 23. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_____． 二、解答题（共三题:共30分） 24. 【阅读材料】：将四项及四项以上多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解去，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解： （1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． ①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； ②如图，长方形ABCD，已知，其中，且，求长方形ABCD的边AD，AB的长度．（，用含的式子表示） 25. 为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元． (1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件? (2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元， 且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案? (3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0<a<20)元出售，乙种服装价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货? 26. （1）数学理解：如图①，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交，于点，，求，，之间的数量关系； （2）问题解决：如图②，在任意直角内，找一点，过点作正方形，分别交，于点，，若，求的度数； （3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长，，交于点，，求，，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下期四校半期质量监测 八年级数学试卷 （考试时间120分，全卷满分150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列医疗或救援的标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 若成立，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项正确； B、∵， ∴，故本选项错误； C、∵， ∴， ∴，故本选项错误； D、∵， ∴，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变，熟练掌握性质是解题的关键． 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐项作出判断即可． 【详解】解：A. ,是乘法运算，不是因式分解，不合题意； B. ，变形错误，不是因式分解，不合题意； C. ，是因式分解符合题意； D. ，没有化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及在数轴上表示解集，解题的关键是正确求解两个不等式．分别解出两个不等式再数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，， 由②得 ， 在数轴上表示为： 故选A． 5. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转的角度是( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据旋转的定义可得为旋转角，再根据角的和差即可得． 【详解】由题意得：为旋转角， ，， ， 即旋转的角度是， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转角、角的和差等知识点，正确找出旋转角是解题关键． 6. 将三角形三个顶点的横坐标都减2，纵坐标不变，则所得三角形与原三角形的关系是（ ） A. 将原图向左平移两个单位 B. 关于原点对称 C. 将原图向右平移两个单位 D. 关于y轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标与图形变化，把三角形三个顶点的横坐标都减2，纵坐标不变，就是把三角形向左平移2个单位，大小不变，形状不变． 【详解】解：∵将三角形三个顶点的横坐标都减2，纵坐标不变， ∴所得三角形与原三角形的关系是：将原图向左平移两个单位． 故选：A． 7. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（　　）    A. 63° B. 65° C. 75° D. 84° 【答案】D 【解析】 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵OC=CD=DE， ∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， ∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC， ∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°， ∴∠ODC=24°， ∵∠CDE+∠ODC=180°﹣∠BDE=108°， ∴∠CDE=108°﹣∠ODC=84°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 8. 如图，函数经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的解集，从图象中获取关键信息是解题的关键． 一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值小于2的自变量x的取值范围． 【详解】解：由图中可以看出，当时，， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，直接提公因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 若不等式（1-a）x > 1-a的解集是x< 1，则a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由不等式的性质，判断得到答案即可． 【详解】解：∵不等式（1-a）x > 1-a的解集是x< 1， ∴1-a＜0， 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 11. 如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ， ∴的周长， 故答案为：13． 12. 如图，在△ABC中，BC＝5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC＝2cm，则平移的距离为_____cm． 【答案】3 【解析】 【分析】据平移的性质,结合图形,可知线段BE的长度即是平移的距离. 【详解】据图形可得:线段BE的长度即是平移的距离, ∵BC=5cm，, EC=2cm， ∴BE=5-2=3cm. 故答案为:3. 【点睛】本题考查了平移的性质,解题的关键是理解平移的方向,由图形判断平移的方向和距离.注意结合图形解题的思想. 13. 如图，△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长． 【详解】由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°， AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3， 在Rt△ACE中，CE＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．） 14. 计算 （1）因式分解：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2），数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为：； 在数轴上表示为： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，，，． （1）在网格中画出向下平移个单位，再向左平移1个单位得到的图形，并写出、、的坐标． （2）在网格中画出绕原点顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1）画见解析，，， （2）画见解析，． 【解析】 【分析】本题考查图形的平移和旋转，解题的关键是熟练掌握平移规律和旋转的性质． （1）根据平移规律，可得点平移后的坐标，确定点的位置，连线即可； （2）根据题意，以原点为中心，分别将、、顺时针旋转，可得旋转后的点的位置，连线即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求， ∵向下平移个单位，再向左平移1个单位得到的图形， ∴平移过程中，各点的纵坐标减，横坐标减， ∵，，， ∴，，， 连线即可得， 答：、、的坐标为，，． 【小问2详解】 解：如图，为所求， 绕原点顺时针旋转后的图形， ∵，，， ∴，，， 连线即可得， 答：点的坐标为． 16. 新冠疫情爆发以来，人们都自觉减少外出游玩，小区内的运动器材区成了小朋友运动的最佳场所．如图是某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴中心到地面的距离．在荡秋千过程中（秋千的长度始终保持不变），当秋千摆动到最高点时，测得点到地面的距离，；当从处摆动到处时，有． （1）求秋千到地面的最小距离； （2）求到的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质 ，准确识图，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）先在中求出，即可求出，然后求出即可； （2）过作于M，先求出，然后利用含的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知， 又， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴ 即荡秋到地面的最小距离为； 【小问2详解】 解：过作于M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即到的距离为． 17. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F， （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE＋BE＝1＋2＝3，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵是边上的中线， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图像相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求一次函数解析式． （2）请直接写出不等式的解集． （3）若在x轴上存在一点D，且是以为腰的等腰三角形时，求此时点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， ， 【解析】 【分析】（1）将点C的横坐标为1代入得到点C的坐标，再将点与点C的坐标代入即可得到答案； （2）根据图像找到一次函数图像在上方的部分即可得到答案； （3）根据勾股定理求出，分，两类讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵函数与函数的图像交于点C，且点C的横坐标为1， ∴， ∴， 将点与点代入得， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由图像可得， 当时，函数的图像在函数的图像的上方， ∴解集是； 【小问3详解】 解：由勾股定理可得， ， 当时， ∵点D在x轴上， ∴点D的坐标为：，； 当时，直线是的垂直平分线， ∴, ∴点D的坐标为：； 综上所述点D的坐标为：， ，． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与正比例函数图像交点问题，利用函数图像解不等式，动点组成等腰三角形问题，解题的关键是求出点C的坐标及分类讨论． B卷（共50分） 一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若x－y＝3，xy＝10，则______． 【答案】60 【解析】 【分析】首先把2x2y-2xy2进行因式分解，然后把x-y=3，xy=10代入化简后的算式，即可求解． 【详解】解：2x2y-2xy2=2xy（x-y）， 当x-y=3，xy=10时， 原式=2×10×3=-60． 故答案为：60． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 20. 若关于的不等式组的有4个整数解，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解判断即可． 【详解】解：， 解得：， ∵关于x的不等式组有4个整数解， ∴整数解为3，4，5，6， 即， 故答案为：． 21. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出． 【详解】解：根据平移可得，，， ，， ， ， ， 即平移的距离为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键． 22. 如图，点在直线上，过点作轴交x轴于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和x轴于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则点的坐标为_________；点的坐标为_________（结果用含正整数n的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据点的坐标以及轴，求得的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质得到的坐标，即可求得的坐标，从而求得的坐标，进而得到的坐标，求得的坐标，从而求得的坐标，最后根据根据变换规律，求得的坐标． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，解得：， ∴直线为， ∵过点作轴交x轴于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角， ∴轴， ∴，， 当时，，即， ∴， ∴， ∴以此类推， （，）， … ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 23. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小； 【详解】解：如图,取AB的中点E,连接CE,PE． ∵∠ACB＝90°,∠A＝30°, ∴∠CBE＝60°, ∵BE＝AE, ∴CE＝BE＝AE, ∴△BCE是等边三角形, ∴BC＝BE, ∵∠PBQ＝∠CBE＝60°, ∴∠QBC＝∠PBE, ∵QB＝PBCB＝EB, ∴△QBC≌△PBE（SAS）, ∴QC＝PE, ∴当EP⊥AC时,QC的值最小, 在Rt△AEP中,∵AE＝,∠A＝30°, ∴PE＝AE＝, ∴CQ的最小值为． 【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 二、解答题（共三题:共30分） 24. 【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解去，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解： （1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． ①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； ②如图，长方形ABCD，已知，其中，且，求长方形ABCD的边AD，AB的长度．（，用含的式子表示） 【答案】学以致用：（1）；（2）；拓展延伸：①48或；② 【解析】 【分析】本题考查了分组分解法，等腰三角形的性质，勾股定理． 学以致用： （1）根据提公因式法因式分解，即可求解； （2）先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解； 拓展延伸： ①根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的性质求得的值，进而根据等腰三角形的性质以及勾股定理计算即可求解； ②同（1）的方法因式分解，进而得出，即可求解． 【详解】解：学以致用： （1） ． （2） 拓展延伸： ① 等腰的三边为或 ， ， 等腰的面积为48或． ② 且 ． 25. 为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元． (1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件? (2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元， 且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案? (3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0<a<20)元出售，乙种服装价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货? 【答案】（1）购进甲、乙两种服装80件、120件（2）共有11种方案（3）购进甲种服装70件，乙种服装130件 【解析】 【分析】（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装（200－x）件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解． （2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数整数即可求解． （3）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案． 【详解】解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件， 根据题意得：180x＋150（200－x）=32400， 解得：x=80，200－x=200－80=120． ∴购进甲、乙两种服装80件、120件． （2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据题意得： ，解得：70≤y≤80． ∵y是正整数，∴共有11种方案． （3）设总利润为W元，则W=（140－a）y+130（200－y），即w=（10－a）y+26000． ①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随y增大而增大， ∴当y=80时，W有最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装120件． ②当a=10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以． ③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随y增大而减小， ∴当y=70时，W有最大值，此时购进甲种服装70件，乙种服装130件． 26. （1）数学理解：如图①，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交，于点，，求，，之间的数量关系； （2）问题解决：如图②，在任意直角内，找一点，过点作正方形，分别交，于点，，若，求的度数； （3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长，，交于点，，求，，的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，，由正方形的性质可得，，可求，即可得； （2）延长，使，通过证明，可得，通过，可得，，由三角形内角和定理可求的度数； （3）由正方形的性质可得，，由平行线的性质可得，，可得，，即可求，，的数量关系． 【详解】解：（1） 理由如下：∵是等腰直角三角形 ∴，， ∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）如图，延长，使，连接， ∵四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵，，， ∴，且， ∴ ∴ 同理可得： ∵， ∴ ∴ ∴ （3）∵四边形是正方形 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $