精品解析：北京市中央民族大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（附加题）

附加题 一、单选题 1. 正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（ ）cm．（结果保留根式） A. B. C. D. 4 5. 如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（ ） A. B. C. D. 二、填空题 6. 已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为_________. 7. 如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，则该八面体的表面积为________. 8. 我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.已知平面截半球所得截面是半径为1的圆，则平面截新几何体所得截面面积为___________.如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以1为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为___________. 三、解答题 9. 已知正方体的棱长为1，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 10. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： （1） （2）平面EFG∥平面PBC． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 附加题 一、单选题 1. 正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解； 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A 2. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线、线面、面面关系逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，则，或与相交，或与异面，故A错误； 对于B，若，则，或，故B错误； 对于C，若，则，或与相交，故C错误； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：D. 3. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥体积可得圆锥的高，进而可得圆锥母线长，根据扇形面积公式计算即可求解. 【详解】设圆锥的高为，母线长为， 因为圆锥的底面半径为，其体积为， 所以，解得， 所以，故圆锥的侧面积为. 故选：D 4. 如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（ ）cm．（结果保留根式） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 5. 如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的性质，利用线面平行的判断和性质、中位线的性质、异面直线的定义、平面内两直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】连接，正方体中，是线段的中点，所以是线段的中点. 由，平面平面得∥平面所以与不相交，故A不正确； 由、分别是线段、的中点，得∥，故B不正确； 由平面，，平面，得与直线异面，故C不正确； 对于D，因为∥，，所以与直线不平行，又，平面,所以与直线相交，故D正确. 故选：D. 二、填空题 6. 已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为_________. 【答案】 【解析】 【详解】根据题意可得外接球的直径为正方体的体对角线，进而求得球的半径与体积即可 【分析】由题如图正方体的各顶点都在一个球面上， 求得直径为正方体的体对角线， 故答案为： 7. 如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，则该八面体的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】八面体是由八个边长为的等边三角形所组成的，结合等边三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意八面体是由八个边长为的等边三角形所组成的， 故所求为. 故答案为：. 8. 我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.已知平面截半球所得截面是半径为1的圆，则平面截新几何体所得截面面积为___________.如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以1为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空由题意直接计算可得；第二空由图利用几何关系先求截面为的面积为，再求四边形面积为，然后由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积计算即可. 【详解】第一空：； 第二空：设截面与底面的距离为h，在帐篷中的截面为， 设底面中心为O，截面中心为，则， 所以，所以截面为的面积为． 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心O与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即． 故答案为：. 三、解答题 9. 已知正方体的棱长为1，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：连接，由正方体的性质易得，， 由面，面，则面， 由面，面，则面， 因为且都在面内，则面面， 由于面，故平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由正方体的结构特征得到，，再由线面平行及面面平行的判定证面面，最后利用面面平行的性质定理即得结论； （2）利用棱锥的体积公式求体积即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由正方体结构特征，易知三棱锥的底面为等腰且高为， 所以三棱锥的体积. 10. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： （1） （2）平面EFG∥平面PBC． 【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）证明：由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $