北京市中央民族大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（附加题）

附加题 一、单选题 1. 正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（ ）cm．（结果保留根式） A. B. C. D. 4 5. 如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（ ） A. B. C. D. 二、填空题 6. 已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为_________. 7. 如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，则该八面体的表面积为________. 8. 我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.已知平面截半球所得截面是半径为1的圆，则平面截新几何体所得截面面积为___________.如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以1为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为___________. 三、解答题 9. 已知正方体的棱长为1，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 10. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： （1） （2）平面EFG∥平面PBC． 附加题 一、单选题 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 二、填空题 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题 【9题答案】 【答案】（1）证明：连接，由正方体的性质易得，， 由面，面，则面， 由面，面，则面， 因为且都在面内，则面面， 由于面，故平面. （2）. 【10题答案】 【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）证明：由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $