第二章 一元二次方程第8课　一元二次方程的根与系数的关系 课件 -2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第8课　一元二次方程的根与系数的关系 第二章　一元二次方程 　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为Δ＝b2－ 4ac，当Δ≥0时，方程有两个根：x1＝ ，x2＝ . 一元二次方程的根与系数的关系 　　如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋ x2＝ 　－ 　， x1x2＝ 　 　.该关系式使用的前提条件是 ⁠ ⁠. － 　 　 b2－ 4ac≥0　 1母题演变 (教材P50)求方程2x2－4x－3＝0的两根之和、两根之积. 解：∵a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠， ∴Δ＝b2－4ac＝ ＞0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1＋x2＝－ ＝ ，x1x2＝ ＝ 　－ 　. 2　 －4　 －3　 40　 2　 － 　 2变式训练 若x1，x2是方程2x2＋6x＝8的两个根，求x1＋x2与x1x2 的值. 解：2x2＋6x－8＝0. ∵a＝2，b＝6，c＝－8， ∴x1＋x2＝－ ＝－ ＝－3，x1x2＝ ＝ ＝－4. 4变式训练 若x1，x2是一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根，则(x1－3)(x2－3)的值为 ⁠. 3经典例题 若x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则：(1) ＋＝ ；(2) ＋ ＝ 　 　. 　 31 根与系数的关系的应用 2　 5经典例题 (2023·茂名电白区期末)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有实数根. (1)求m的取值范围； 解：∵关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有实数根， a＝1，b＝－6，c＝2m－1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×(2m－1)≥0. 解得m≤5.∴m的取值范围是m≤5. (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2＝20，求m 的值. 解：∵x2－6x＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2， ∴x1＋x2＝6，x1x2＝2m－1. ∵2x1x2＋x1＋x2＝20， ∴2(2m－1)＋6＝20. 解得m＝4. 6变式训练 关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有两个不相 等的实数根. (1)求m的取值范围； 解：根据题意，得Δ＝(2m)2－4(m2＋m)＞0. 解得m＜0. ∴m的取值范围是m＜0. (2)若x1，x2是该方程的两个实数根，且 ＋ ＝12，求m的值. 解：根据题意，得x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋m. ∵ ＋ ＝12， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝12. ∴(－2m)2－2(m2＋m)＝12，即m2－m－6＝0. 解得m1＝－2，m2＝3(不合题意，舍去). ∴m的值是－2. 常用等式变形： (1) ＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (3) ＋ ＝ ；(4)x1 ＋ x2＝x1x2(x1＋x2)；(5)｜x1－x2｜ ＝ ；(6)(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2. 　基础过关 1. 若x1，x2是一元二次方程x2－5x－6＝0的两个实数根，则x1＋x2 －x1x2的值是(　D　) A. －1 B. 1 C. －11 D. 11 D 2. (2024·广州海珠区月考)若直角三角形的两直角边长分别是方程2x2 －11x＋12＝0的两根，则该直角三角形的面积是(　B　) A. 6 B. 3 C. 4 D. 8 B 3. (2024·日照)已知实数x1，x2(x1≠x2)是关于x的方程kx2＋2kx＋1 ＝0(k≠0)的两个根.若 ＋ ＝2，则k的值为(　B　) A. 1 B. －1 C. D. － 4. (2024·泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数 根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是 ⁠. B 14　 　能力过关 5. 如果关于x的方程x2＋(m＋n)x＋6＝0的一个根是3，那么另一个 根是 ⁠. 拓展提问：m＋n的值为 ⁠. 2　 －5　 6. 在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小红看错了常数项q，得到 方程的两个根是－3，1，小明看错了一次项系数p，得到方程的两个 根是5，－4，则原来的方程是(　B　) A. x2＋2x－3＝0 B. x2＋2x－20＝0 C. x2－2x－20＝0 D. x2－2x－3＝0 B 　思维过关 7. 已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实 数根x1，x2. (1)若m＝5，求此时方程的解； 解：当m＝5时，方程为x2－4x－5＝0. (x－5)(x＋1)＝0. 解得x1＝5，x2＝－1. (2)当x1·x2＞0时，求m的取值范围. 解：∵x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴Δ＝(－4)2－4×1×(－2m＋5)＞0.解得m＞ . ∵x1·x2＞0，∴－2m＋5＞0. 解得m＜ .∴ ＜m＜ . 注意不要忽略“方程有两个不相等的实数根”. $$