广东省东莞市2024-2025学年高一下学期期末质量检查数学试题

2024—2025学年度第二学期教学质量检查 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ） A. 互斥 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 相等 4. 在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（ ） A. B. C. D. 5. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 7. 甲、乙两人组成“莞队”参加答题活动，每轮活动甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对题目的概率为，乙每轮答对题目的概率为．在每轮活动中，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“莞队”在两轮活动中答对3道题目的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（ ） A. m B. 15m C. m D. 30m 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 已知随机事件与，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列有关向量与复数的结论正确的有（ ） A. 若非零向量满足，则 B. 若非零复数满足，则 C. 若非零向量满足，则 D. 若非零复数满足，则 11. 在直三棱柱中，，则下列结论正确的有（ ） A. 若点在线段上，则的最小值为 B. 该三棱柱可完全放入体积为的球中 C. 表面积为的球可以完全放入该三棱柱中 D. 若动点满足，则动点在侧面形成的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 从某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为__________（单位：分）． 13. 在长方形中，，为的中点，为边上靠近的三等分点，与交于点，则__________． 14. 已知正四棱柱中，，在的中点各有一个孔，．若在此四棱柱内装水，当水面恰好经过三个孔时，可装水的最大体积为__________；若此四棱柱可以任意放置，可装水的最大体积为__________． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 某班级举办“以赛促学，挑战自我”数学竞赛活动，活动后将参赛的40名学生成绩分成5组：①，②，③，④，⑤．通过统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，已知①组、②组的频率之和为，①组和⑤组的频率相同． （1）估计此次考试成绩的众数、平均数； （2）已知②组学生成绩的平均数和方差分别为64和50，④组学生成绩的平均数和方差分别为84和70，据此计算②组和④组所有学生成绩的方差． 参考公式：，其中为总样本平均数． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 18. 现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到． （1）当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，以骰子与桌面接触的面上的数字的乘积为游戏结果．甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜． ①试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ②若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金．当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人，请应用概率知识设计合理的奖金分配方案； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果．请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立． 19. 如图一，在矩形中，．将沿折起，得到三棱锥． （1）当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离； （2）当二面角的大小为时，求； （3）如图二，在三棱锥中，已知，其中、、．若二面角的大小为，试利用的三角函数值表示，请写出你的结论，并给出证明． 2024—2025学年度第二学期教学质量检查 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 【12题答案】 【答案】92 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）众数的估计值为75，平均数的估计值为73 （2）②组和④组所有学生成绩的方差为140． 【17题答案】 【答案】（1） 如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1）①公平，理由如下： 当时，任意抛掷两次这个骰子的样本空间， 所以， 记“游戏结果大于5”为事件， 则事件包含的样本点包括， 所以， 由古典概型得 同理“游戏结果小于5”的概率也是， 所以甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的. ②甲分配奖金元，乙分配奖金． （2） 当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间， 所以， 构造事件， 则， 由古典概型得， 所以，满足题意． 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）结论：． 证明：如图，过上一点作交于点，作交于点， 连接，则即二面角的平面角， 方法一：设，则在中，得， 同理在中，得 在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得 方法二：在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② ②①，得， 则， 即， 两边同除以，得， 所以， 所以，即，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $