福建省厦门市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

厦门市2024一2025学年第二学期高二年级质量检测 数学试题 本试卷共4页，考试时长120分钟，满分150分。 注意事项： 1考生将自己的姓名、准考证号、答案填写在答题卡上。考试结束后，须将“答题卡”交回。 2答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.若y轴与圆(x一1)2+(y一2)2=r2(r>0)相切，则r= A.1 B.2 C.5 D.3 2,已知变量x,y的4组相关数据分别为(1,8)，（2,7)，(3,5)，(4,4)，则y关于x的线性回归 直线必经过点 A.(2,7) B.(2.5,6) C.(3,5) D.(3.5,4.5) 3.记正项等比数列{an)的前n项和为Sn,若a1a1a5=64,S,=7,则a1= A安 a号 c.1 D.2 4若(2x一)”的展开式中二项式系数之和为32，则该展开武中三的系数为 A.-48 B.48 C.-80 D.80 5.为考察药物A对预防疾病B的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种 群一的试验结果得到如下列联表： 疾病B 药物A 合计 未患病 患病 未服用 28 22 50 服用 34 16 50 合计 62 38 100 计算得到y2≈1.528.假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对 应单元格数据的5倍，则根据小概率值α的独立性检验， 高二数学试题第1页（共4页） A当a=0.05时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过5% B.当α=0.05时，种群一中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过10% C,当a=0.01时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1% D.当a=0.005时，种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过0.S% n(ad-bc)2 0.1 0.05 0D1 0.005 附：x2=a+b)(c+d)(a十c)b+d巧 2.706 3.841 6.635 7879 6,在正四面体ABCD中，3AE=AB,则直线CE与直线AD所成角的余弦值为 A号 c号 n 1已知双画线C层茶=1a>0,b>0)的左，右焦点分别为F,R,A是C上的-点，日为 线段AF,的中点.若|F,F2=|AFz一万BF2l,则C的离心率为 A,5 B.2 C.2+1 D.V2+2 8.已知函数f(x)=一x十3x2在区间(a,b)上存在最大值与最小值，则b一a的取值范围为 A.(0,2) B2,4] C.[-1,3] D.(0,4] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知函数f(x)的定义域为[一2,5]，其导函数f'(x)的图象如图所示，则 '(x) Af(x)在区间(0,2)上单调递增 bf(x)的极小值点为2 C.f(x)恰有2个极值点 D.f(x)的图象与x轴至多有2个公共点 10.某人从一座9层大楼的第1层进人电梯，在第m(2≤m≤9)层离开电梯，假设自第2层开始 等可能地在每一层离开电梯，记审件A=“m为偶数”，事件B=“m≤5”，事件C=“m为 质数”，则 &PABC)=号 B.P(AUB)=号 C P(A B)=P(A) P(A C)+P(BIC)=1 高二数学试题第2页（共4页） 山已知数列a宁京寻京是急了其中第1项为时接下来的2项为京景接下来 ,1357 的4项为g分常，g,依此类推，设S为o的前n项和，则 15 Aab一i6 B.5g-S,=4 C有且仅有-个正整数m,使得a.十a+1-沿 32 D,存在无数个正整数，使得S,=号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上，过M作y轴的垂线，垂足为N,若1MF|=5, 则△MNF的面积为 13.从4名同学中选择3人分别去A,B,C三地调研，每个地方安排一人，其中要求A地不安 排甲同学，则安排方案共有种.（用数字作答） 14.设函数f(x)=(e一ax)(2lnx一ax2-1),若f(x)≤0，则a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知等差数列{an)的各项均为正数，且a4=a1十a2=a1aag (1)求{an}的通项公式； (2)若bn=(一1)am,且b1十b2十…十bn=10,求正整数m的值. 16.(15分) 某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件， 乙生产线每天产量为10000件.其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.81乙生产线的一 等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱. (1)质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； (2)已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元/件，若要使得每箱产品销售额的 期望不低于400元，一等品应该如何定价 高二数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在四棱锥M一ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=6O', AM⊥CM,MB=MD,点E为MC的中点. (1)证明：AM∥平面BDE; (2)证明：CML平面BDE, (3)若CM=√3AM,求平面ABM与平面BDE夹角的余弦值. 18.(17分) 已知函数f(x)=ae-h三 (1)当a=一1时，求曲线y=f(x)在点（一1，f(一1）)处的切线方程： (2)若f(x)是增函数，求a的取值范围； (3)证明，当a>1时，fx)> 19.(17分) 在平面直角坐标系中，定义A(x1,y1),B(x2y2)两点的“M距离”为M(A,B),其中 M(A,B)=|x1-x2十|y1一y2l.已知定点L(一d,0),R(d,0)(d>0),动点P满足 M(P,L)十M(P,R)=2m,其中m>d,记P的轨迹为M一椭四”，L,R为“M一焦点”. (1)当m=2d=2时，写出“M一椭圆”的轨迹方程并直接画出相应曲线， ②E知数列a,小ha,h以，尚为正灭数现，a,>s,精圆B萄+管-，记以L.(一do, R.(d.,0)为M一焦点”"的M一椭四"为M.,M的边均与E。相切，且M,的顶点均在E.+1上 ()设M。的面积为T.,证明：T.=2(2aa+1一b.)b。i ()若a.}是等比数列，求E的离心率. 高二数学就题第4页（共4页） 厦门市2024一2025学年第二学期高二年级质量检测 数学参考答案及评分参考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C D B 1,答案：A 解析：圆心(1,2)到y轴的距离为1，所以P=1,故选A. 2.答案：B 解析：线性回归直线必经过样本中心点(25,6)，故选B. 3.答案：C 解析：aa,4=43=64,所以a=4,a,}的公比为9， 44 则S3=a1+a2+a3= +4=7,解得9=2或g=（舍).所以4=%=1，放选C 4.答案：D 解析：二项式系数和为2”=32，解得n=5,的系数为C2=80,故选D. 5.答案：C mad-be)' 解析：对于X= (a+6c+da+cb+d0,将各项数据变为原来的5倍， 则x2= 525cad-25bc)2 5(ad-be)2 (5a+5bX(Se+5dX5a+5c)(5b+5d)(a+bc+dd5x7.64. 所以若a=0.01,则种群二中药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过1%，故选C. 6.答案：D 解析：EC=4C-E=AC-,设正四面体的棱长为3，则EC日4C_西 5. 3 直线CE与直线AD夹角的余弦值为c0s<EC,D牛EC,D=3=V万 EC1D万x3=7,放选D. 7.答案：C 解析：记C的焦距为2c,依题意，|AE=2c,|BE=√2c, 因为△AF耳为等腰三角形，所以|BE=√2c,所以|AE=2引BF=2√2c, 故41-425c-2c=2a,所以e-=后5+1.故选C. -1a0 2b3 8.答案：B 解析：∫(x)=-3x2+6x=3x(2-x),易知f(x)在区间(-0,0)上单调递减，在区间(0,2)上单调递增， 在区间(2，+∞)上单调递减，∫(x)的极小值为f(0)=0,极大值f(2)=4,所以b-a>2-0=2,由 f(x)=-x3+3x2=4可得，(x-2)}(x+1)=0,解得x=-1或x=2,由fx)=-x3+3x2=0可得，x=0 或x=3,所以-1≤a<0,2<b≤3，所以2<b-a≤4故选B. 答案第1页，共8页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AD BCD ABD 9.答案：AD 解析：考察A选项：当x∈(0,2)时，f(x)>0,所以f(x)在区间(0,2)上单调递增， A选项正确： 考察B选项：当x∈(L,3)时，f(x)≥0，所以2不是(x)的极小值点，B选项错误： 考察C选项：当x∈(-2,4)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(4,5)时，f(x)<0,f(x)单调递 减，所以x=4为(x)的极大值点，f(x)恰有1个极值点，C选项错误： 考察D选项，∫(x)在(-2,4)上递增，在(4,5)递增，每个单调区间最多一个零点，所以图象与x轴至 多有2个公共点，当且仅当f(-2)≥0，f(4)<0,f(5)≥0时两个，D选项正确： 故选AD. 10.答案：BCD 解析：易知2=2,3,9外，己知事件A包含的样本点为亿，4,68，则P)=,事件B包含的样本 点为234，则X趴=号事件C包含的样本点为2357乃，PC)= 考察A选项：事件ABC包含的样本点为2②，所以P(48C)=后，A选项错误： 考察B选项：事件AUB包含的样本点为2,3,45,68}，所以P(4UB)=三，B选项正确： 考察C选项：事件B包含的样本点为24，P心)-片 所以PAB)B=,所以P(AB)=P),C选项正确： 考察D选顶：事件AC包含的样本点为{2}，BC的样本点为{2,3,5}， 所以4O-片rBC)-景所以P41O+e1O-号，g1,D选项正 P(C)P(C) 故选BCD. 11.答案：ABD 解析：考察A选项：易知接下米的8项为，三，三，2,9，山，3.5 16’16'16’16’16'16’16'161 所以as= ,故A选项正确： 15 考察B选项：S6-S,1+3++5=4,故B选项正确： 16 考察C选项：情形-：a,0在不同组。设a,为第k组最后-个数。则0，-2 a为第k+l组第-个数，则a1=2河，所以am+01= 2*-1,131 2+ 2阿32 解得k=4,即m=15 情形二：0，a为第表组第1和第+1个，则a+0-2-+2+-=3别 2 2232 取i=31,k=7,即m=94符合题意，故C选项错误： 考察D选项：因为S1-S4 +3++21--24, 24刊 答案第2页，共8页 所以s1=S+S-S++5-5w +1++2m-2-2 -2 所以4 2二2，故D选项正确：故选ABD, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 题号 12 13 14 答案 8 18 宁网 12.答案：8 解析：不纺设M冬%)位于第一象限，则证牙+1=5，解得y=4, 4 故M(4,4),N(0,4),所以△NF的面积为二×4×4=8，故填8. 13.答案：18 解析：情形一：甲同学不被选中，则共有=6种： 情形二：甲同学被选中，则共有CC4=12种：所以安排方案共有18种.故填18. 14.答案： 解析：依题意，即(-a-o)s0恒成立 设g()=￡(x>0),求导易知g(m)=￡≥c, e 设-血三，则-2-血r,令，解得x=e, x2 所以)的最大值为Me)-,所以ae日，故填。， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解法一：(1)设{an}的公差为d.由a4=4+a可得，a1+3d=2a1+d,所以a1=2d.…2分 因此an=(n+1)d,… …3分 由a,=aa,o,可得，5d=2d×4d×10d,所以d= 16 …5分 由于a,}各项均为正数，故d=},a,}的通项公式为a,=”生 …6分 4 2)6=r"”生.由于6+b=-2装+2， 4中4=4' …8分 ①当m=2k,keN时，么+b,+…+bn=+6)++(6+b)=4 …10分 若么+b2+…+b。=10,则k=40,m=80,…1山分 ②当m=2k+1,k∈N时， 么+6++6=么+6+么)+…+低+b)=- <0, 24 因此不存在这样的m使得b+b+…+b。=10. 综上所述，训=80。…13分 解法二：（们）同解法一：…6分 (2)6=(←y”+9 …7分 4 答案第3页，共8页 0当m为奇数时，么+6++6.=寻-2+6-4)+6-6)+…+(m-m-明<0，…9分 ②则m为偶数， 么+b2+…+bn=-2+3)+(-4+5)+…+(←m+m+1月，…11分 1.H 一X …12分 428 所以”=10，解得m=80. 8 综上所述，川=80.…13分 解法三：（们）同解法一：…6分 (2)6-(←yn+ 4 …7分 设7，=么+么+…+6，则工=-2+3_4 444 …+←)+ 4 4 则x-子-m- 2 1-(-1) 2+(*”+1, 化简可得7=2m+3-1)”-3 …9分 16 当m为奇数时，工=-2m+3)-3 <0,T=10无解， ……10分 16 当m为偶数，工-2m+3)-3 =10,解得川=80.… …12分 168 综上所述，m=80.… 13分 16.解：(1)设从待装箱的产品中随机抽取一件，其为甲、乙两条生产线的产品分别记为事件A和事件B, 记其为一等品的为事件C, 依题意可得C=ACUBC,且AC,BC互斥，…2分 P(C)-P(AC)+P(BC)P(A)P(C+()P(CIB)-2xx31 35353' …5分 所以抽取到的产品为一等品的概率} 小小小…6分 (2)由(1)从混合后的产品中随机抽取一件，抽到一等品的概率为；， …7分 设每箱中3件产品中一等品的数量为随机变量X,则X~B(3,) …8分 1 (X)=3=1，… …9分 3 设每箱产品销售额为随机变量Y,一等品定价为口元/件， 则Y=aX+(3-X)100=300+(a-100)X,…11分 所以E(Y)=E300+(a-100)X门=300+(a-100)E(X)=a+200,…13分 依题意，E()≥400，解得a≥200， 所以若要使得每箱产品销售额的期望不低于800元，一等品定价至少200元/件.4…15分 17.解法一：(1)证明：连接AC,交BD于点O,连接OE, 因为O,E分别为CA,CM的中点，所以AM∥OE,…2分 又OEC平面DBE,AM文平面DBE,所以AM∥平面BDE,…4分 (2)因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以AC⊥BD,且O既是AC的中点，也是BD的中点， 又MB=MD,所以OM⊥BD, 答案第4页，共8页 连接OM,又AC∩OM=O,AC、OMc平面MAC,所以BD⊥平面MAC, 因为CC平面MAC,所以BD⊥C.…6分 又因为OE/AM,AM⊥CM,所以OE⊥CM.…7分 又BD∩OE=O,BD,OEC平面BDE,所以CM⊥平面BDE.…8分 (3)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，所以AC=2√5， 在R△MAC,CM-√5AM,则有∠MOA=60°，CM=3,AM=OM=√5，…9分 以O为原点，OA,OB所在直线分别为x,y轴，作O:⊥平面ABCD,建立如图所示的空间直角坐 标系， 因为BD⊥平面MAC,BDC平面MAC,所以平面MAC⊥平面ABCD,…10分 即M在底面BCD的射影在AC上，所以M50,, …1分 易知5a0,L0,Ga0,所以西=0，N=(50,CM=90, 2 由(2)知CM1平面BDE,所以平面BDE的-个法向量为%=名C=(W5,0,),…12分 3 [m,·店=-√5x+y=0, 设平面ABM的法向量为%=(x,y,),则 2 2 取x=5,则y=3,=1,得%=(5,3，)，…14分 则cos<h,h= 42W13 23=13 所以平面ABM与平面BDE夹角的余弦值为2E …15分 13 解法二（们）同解法一…4分 (2)同解法一…8分 (3)在边长为2的菱形ABCD中，∠B4D=60°，所以AC=2√5， 在R△MAC,CM=√5AM,∴.∠MOA=60°，CM=3,AM=OM=√5， …9分 由(2)知CM⊥平面BDE,则平面ABM与平面BDE夹角的余弦值即为CM与平面ABM所成角的 正弦值，… …11分 易知B=8M=2.4M=5.所以Sw5xy2-(=国 4 因为BD⊥平面MAC,BDC平面MAC,所以平面MAC⊥平面ABCD, 所以M在底面ABCD的射影在AC上，…12分 所以M到底面ABCD的距离为MOsin60°=三' 3 答案第5页，共8页 设M到底面ABM的距离为d,由Vc-w=VM-Bc可知， 写X5.av×d=写×SOMsin60°，解得d= 6 …14分 3 13 所以CM与平面ABM所成角的正弦值为，d_2E MC 13 所以平面ABM与平面BDE夹角的余弦值为2W厅 …15分 13 18.解法一：(1)当a=-1时，fx)=-e-ln(-x), …1分 则f=-e1-,f-=0,f-=-1,… …3分 所以曲线y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程为y=-1. …4分 (2)fm)=ea_1, ①当a>0时，(x)的定义域为(0，+河），…5分 因为y=心和y=-均为增函数，所以∫)在区间(0，切)单调递增， 当0<as1时，fo)=a-<0,所以，当xe0,a)时，f)<0,不符题意 当a>1时，白=ae-a<ae-a<0,所以，当e0,时，<0，不特影意，…6分 (f0-。只-1≤。11=0，所以，当xe0)时，f<0,不符影意) a-1+1 ②当a<0时，f(x)的定义域为(-，0)， 若f)是增函数则f)=心-≥0恒成立，即e之e …8分 设g(x)=e(r<0),则g'(x)=(x+1)e*, 当x∈(-0，-)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(-1,0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g2g-12二.即-之二，即e2+g之0，…9分 a e a e 设(x)=e+,易知()为增函数，因为M-)=0,所以(a)之(-)=0， 综上，a的取值范围是{a-1sa<0 …10分 (3)由(2)可知，当a>1时，存在x0∈(0，+)， 使得f(o)=0,即ae4“=1 …11分 且当x∈(0，xo)时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(x,+o)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 所以了的最小值为f,)=ae-0-h0+na=-n6+na…13分 要证四>名即旺名ha>君期旺安-hs>片na, a 设F-士血x,是然F)单调港流，又了@=ae-。-0=了6，则6<a, aa 所以F(x0)>F(0),即花%<a,…15分 所以-h6>。ha,即)2)>日 .0.... …16分 答案第6页，共8页