精品解析：北京市海淀区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

海淀区八年级练习 数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，26道小题．满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名． 3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，请将本试卷交回． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数概念，对函数概念的理解要注意：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应． 根据函数的定义逐项判定即可． 【详解】解：A．对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数，符合题意； B．对于自变量x的任何值，y都有两个值与之相对应，y不是x的函数，不符合题意； C．存在y有2个或3个值与自变量x相对应，y不是x的函数，不符合题意； D．当时，y有两个值与之相对应， y不是x的函数，不符合题意． 故选A． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号，掌握以上知识是解答本题的关键； 本意根据了最简二次根式的定义知识，进行作答，逐一验证各选项即可求解； 【详解】解：选项A：，被开方数为，分母含根号，需有理化为，故不是最简二次根式； 选项B：，被开方数9为完全平方数，可化简为整数3，故不是最简二次根式； 选项C：，分母含根号，需有理化为，故不是最简二次根式； 选项D：，被开方数3为质数，无平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式的条件； 故选：D； 3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 1，1，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据勾股定理逆定理，若三边长满足“较小两边的平方和等于最长边的平方”，则可作为直角三角形的三边长，需逐一验证各选项是否满足该条件，然后即可求解； 【详解】解：选项A：1，2，3， 最长边为3，验证，不满足勾股定理， 且，无法构成三角形； 排除A； 选项B：2，3，4， 最长边为4，验证，不满足勾股定理， 虽能构成三角形，但非直角三角形； 排除B； 选项C：1，1，， 最长边为，验证，满足勾股定理， 且，能构成三角形， 选项C正确； 选项D：1，1，1， 三边相等，为等边三角形，各角均为60°，非直角三角形， 排除D； 故选：C； 4. 若一次函数的图象由函数的图象平移得到，则该一次函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数平移后其解析式中的一次项系数不变，仅改变常数项，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴四个选项中只有D选项中的函数解析式符合题意， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据二次根式的运算的知识进行作答，需逐一验证各选项的正确性，然后即可求解； 【详解】选项A：， 合并同类项，系数相加：，但结果误写为，故错误； 选项B：， 化简：，但结果误写为，故错误， 选项C：， 利用根式除法法则：，计算正确， 选项D：， 被开方数为，故，但结果误写为，故错误， 故选：C； 6. 如图，的对角线交于点O，E是的中点，连结，若，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键． 7. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名学员十次射击成绩的平均环数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均环数 9.3 9.6 9.6 9.4 方差 0.41 0.24 0.44 0.24 在这四名学员中，成绩好且发挥稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平均数和方差做决策，根据平均环数判断成绩优劣，方差衡量发挥稳定性，需两者兼顾．根据平均数的高低结合方差的大小进行判定即可得． 【详解】解：成绩比较：平均环数越高，成绩越好．乙和丙的平均环数均为9.6环，高于甲的9.3环和丁的9.4环，故成绩最优为乙、丙． 稳定性比较：方差越小，发挥越稳定．乙的方差为0.24，丙的方差为0.44，乙的稳定性更优． 综合判断：乙的平均环数最高且方差最小，满足“成绩好且发挥稳定”．丁虽方差小，但平均环数较低；甲、丙均存在明显劣势． 故选B． 8. 在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形的面积为16，正方形的面积为4，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、二元一次方程组的应用等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据正方形的性质得到，然后根据勾股定理列方程组求得a、b，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵正方形的面积为16，正方形的面积为4， ∴， 由题意可得：，解得：， ∴． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形内角和定理、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明得到，再结合坐标与图形以及垂线的定义即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点D在直线图象上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，分别在x轴、y轴上，且相交于点O，，．直线与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论：①当时，；②当d取最大值时，b的值一定为0；③函数d的图象是一个轴对称图形．上述结论中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，一次函数的应用等知识，学会数形结合的思想是解题的关键．由菱形的性质得出，，，当时，直线与菱形的交点E、F，画出图形结合图形可知，根据题意画出图2，证明四边形，，都是平行四边形，可得出，即可判断②，结合图2可得出③． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ①当时，直线与菱形的交点E、F如图1所示． 过点E作垂直y轴，垂足为M． 很显然，， ∵， ∴， ∴．故结论①错误． ②如图2所示，、、互相平行， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形，，都是平行四边形， ∴， ∴当d取最大值时，b的值不一定为0．故结论②错误． ③结合图2可以看到，随着b从正往负的变化，会呈现出斜着向下平移的变化，在运动到的位置之前的长度(也就是d的大小)会从0逐渐增大，在到达的位置之后，的长度保持不变，直至到达的位置，然后的长度逐渐减小为0．整个变化过程具有对称性，因此函数d的图象也会是一个轴对称图形． 故结论③正确． 故选：B 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，为对角线的中点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，根据矩形的性质可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：． 【详解】解：四边形是矩形， ， 点是的中点， ． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象经过P1（﹣1，y1），P2（2，y2）两点，则y1_____y2（填“＞”或“”或“＜”）． 【答案】＞． 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和性质得出即可． 【详解】∵y=-2x+b中-2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵-1＜2， ∴y1＞y2， 故答案为＞． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，能熟记一次函数的性质的内容是解此题的关键． 14. 某工厂第一季度采购某种原材料的数量和单价如下表所示： 数量（吨） 单价（元/吨） 1月份 3 5000 2月份 3 5100 3月份 4 4800 则该工厂第一季度采购这种原材料的平均单价为______元/吨． 【答案】4950 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，根据平均数的公式求解即可． 【详解】解：该工厂第一季度采购这种原材料的平均单价为：（元/吨）． 故答案为： 4950． 15. 如图是函数和的示意图，这两个函数的自变量x的取值范围都是，且它们的图象相交于点，，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数图象与不等式解集关系，当时，x的取值范围是函数的图象在函数的图象上方对应的自变量x的值，据此求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点，，且当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为： 16. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为整点．若一条线段的两个端点均为整点，且该线段的长为整数，则称这条线段为“理想线段”，已知点． （1）线段的长为______； （2）将点O与点Q用若干条“理想线段”首尾相连，得到一条折线，则该折线长度的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 46 【解析】 【分析】本题考查了新定义，勾股定理的应用． （1）直接根据距离公式计算即可； （2）由题意可知，“理想线段”可以是水平线段，可以是垂直线段，也可以是勾股数组成的直角三角形的斜边线段．因为是一条斜的线段，因此将点O与点Q用若干条“理想线段”首尾相连，要求所得折线长度最小，那么一定要用到斜线段，并且这些斜线段要尽可能贴着，因此直角三角形的锐角度数越接近越好，即勾股数三角形的两条直角边长越接近越好，在所有的勾股数之中，只有3、4、5 的两个较小数是连续自然数．因此，我们要用若干个3、4、5 的直角三角形首尾相连组成折线段． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）如图折线所示每2个直角三角形的斜边组成一组折线，每组折线向上、向右移动7个单位长度．首尾相连四组之后，折线向上、向右各移动了 28 个单位长度，两个方向离点Q都还差 4个单位长度．最后再用一个直角三角形的斜边和一条1个单位长度的水平线段与点Q连接，此时折线长度取最小值，最小值为． 故答案为：46． 三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18-19题，每小题4分，第20-24题，每小题5分，第25题7分，第26题6分），解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）结合多项式除以单项式法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 如图，在中，D，E分别是，的中点，连接，延长到点F，使得，连接交于点O．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的性质与判定，掌握中位线定理，平行四边形的性质与判定是解本题的关键． 首先连接，，由中位线定理得到，，再由题干，可证得四边形是平行四边形，即可得证． 详解】证明：连接，， D，E分别是，的中点， 且， ， 且， 四边形是平行四边形， ． 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是对代数式进行因式分解后再代入计算． 先对代数式因式分解，再代入、的值计算． 【详解】解：， 当，时， 原式 ． 20. 中，．求作：的边上的高． 下面是小明设计的尺规作图过程： ①以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点D； ②分别以点C和点D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点E； ③连接，交线段于点H．线段即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，． ∵______， ∴四边形是菱形．（______）（填推理的依据） ∴______． ∴． 【答案】（1）见解析 （2）；四条边都相等的四边形是菱形；． 【解析】 【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，三角形的高的定义，菱形的判定与性质； （1）根据题干提示逐步完成作图即可； （2）先证明，可得四边形是菱形，再利用菱形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：补全图形如下： 【小问2详解】 证明：连接，，． ∵， ∴四边形是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形） ∴． ∴． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与x轴交于点C． （1）若，求这个一次函数的解析式和点C的坐标； （2）若线段的长度小于5，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，两点距离计算公式，解不等式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出点A坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而求出点C的坐标即可； （2）把点B坐标代入一次函数解析式求出b的值，再求出点C的坐标，利用两点距离计算公式用含k的式子表示出，再根据线段的长度小于5建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，点A的坐标为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴； 【小问2详解】 解；∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵线段的长度小于5， ∴， ∴， ∴或． 22. 中，，点F在上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练以上知识点是解题的关键． （1）根据已知条件先证明四边形为平行四边形，再根据即可得证； （2）由平分，可求得，再根据，则，根据含角的直角三角形的性质，求得，再求出，由进而即可求得，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，． ， ，即． 又， 四边形是平行四边形， ， ． 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：，， ． 又， ，． 平分， ． 又， ． ， ． 又， ． 的面积为：． 23. 某市举办“人工智能创新挑战赛”，比赛分为模拟比赛和正式比赛两个阶段，共有100个团队参赛． （1）模拟比赛阶段，评委随机抽取25个团队进行综合打分（十分制，分值均为整数）．被抽取的团队得分结果如下： 得分 6 7 8 9 10 频数 2 5 9 8 1 将模拟比赛中得分为9分或10分团队视为高水平团队，估计全体参赛团队中高水平团队的个数为______； （2）正式比赛阶段，评委对参赛团队进行综合打分（百分制，分值均为整数）．对各团队的得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．各团队得分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： b．各团队得分在这一组的是： 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 82 83 83 83 84 84 根据以上信息，解决下列问题： 补全频数分布直方图； 各团队得分的中位数是______； 各团队得分的众数所在组的组号可能是______． 【答案】（1）36； （2） ①补全频数分布直方图见解析；83；2或4 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，利用样本估计总体、中位数、众数，从图表中获取信息等知识点，从统计图表中获取信息是解题的关键． （1）总个数乘以样本中9分和10分个数所占比例即可； （2）根据各组频数之和等于总数即可求出第一组频数，补全图即可； 根据中位数定义求解即可； 根据众数定义求解即可． 【小问1详解】 估计全体参赛团队中高水平团队的个数为：（个）； 故答案为：36； 【小问2详解】 第1组频数为：， 补全图形如下： 中位数为； 故答案为：83； 从频数分布直方图可以看出，第2组和第4组频数较多，所以各团队得分的众数所在组的组号可能是2或4． 故答案为：2或4． 24. 北京体育中考现场考试包括两个项目：素质项目和运动能力项目．在素质项目中，女子的评分标准如表1所示： 时间 分值 8 75 7 6 5 4 时间 分值 3 2 1 0 在女子的考试现场，两名同学被分到同一个小组．她们同时出发，当跑步的时间为t（单位：s）时，A同学跑步的路程为（单位：m），B同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略，A同学的策略是先加速跑再匀速跑，最后加速冲刺；B同学的策略是先加速跑再匀速跑．A，B两名同学现场考试的部分数据如表2所示： 时间 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 260 路程（） 0 25 100 225 400 500 600 650 800 路程（） 0 50 200 450 550 600 650 a 800 （1）a的值为______． （2）请根据表2中的数据在下面的平面直角坐标系中补全的图象． （3）根据以上信息，给出下面三个结论： ①当时，A同学一直在B同学的前面； ②B同学可以得到分； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． （4）假如B同学的匀速跑速度不变，且在时恰好跑了，则B同学可以得到______分． 【答案】（1）700 （2）见详解 （3）①③ （4） 【解析】 【分析】（1）从表中可知在这一时间段内呈现匀速变化，先算出这一时间段的速度，再根据的间隔，结合已求出的速度算出这段时间增加的路程，最后加上时的路程，即可求出的值； （2）在平面直角坐标系中准确找出这些点的位置，然后按照顺序用平滑的曲线将这些点连接起来，就可以完成图像的补全； （3）①对于判断同学位置关系，我们只需在这个时间段内，对比和每个时刻对应的路程大小判断即可；②判断同学跑得分，需要先从表格中找出同学跑对应的时间，再对照评分标准确定相应的分值判断即可；③判断同学匀速跑步阶段速度是否相同，我们分别计算出同学在各自匀速跑步阶段的路程和时间，然后根据速度公式算出速度，最后比较两个速度是否相等即可； （4）利用已知的跑这一条件，通过比例关系求出跑所用的时间，再依据评分标准确定同学的得分即可． 本题考查了数据的分析与解读和应用能力，函数的图像与描点以及对评分标准的理解，对数据表的解读是解本题的关键． 【小问1详解】 解:观察的数据规律，发现从到，路程从增加到，根据匀速部分的规律,从到,时间经过了,路程增加了,则每秒跑了，到经过，增加的路程是，故， 故答案为:700； 【小问2详解】 根据表2中的的时间和路程数据，在平面直角坐标系中依次找出对应点，然后用平滑的曲线连接起来，如图所示， 【小问3详解】 当时,同学的路程始终大于同学的路程,从表中还可以看出同学在每个时间点的路程都超过同学的路程,因此①正确； 同学完成的时间为，即4分20秒；根据评分标准，4分25秒对应6分，4分16秒对应6.5分，因此4分20秒对应6分，结论②错误； 同学在匀速阶段阶段的速度为：从到，跑了，速度为；同学在匀速阶段的速度为：从到，跑了，速度为； 因此，两名同学在匀速跑阶段速度相同，结论③正确； 故答案为：①③； 【小问4详解】 同学在时跑了，匀速速度为，剩余的路程为，以匀速速度完成需要，因此同学完成的总时间 为4分0秒，根据评分标准，4分01秒对应分； 综上分析，同学可以得到7.5分， 故答案为： 25. 已知E为正方形内部一点，且满足，连接、、． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，射线交线段于点M． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，推出是等边三角形，得到，再结合等边对等角的性质，得到，即可求出的大小； （2）①根据题意补全图形即可； ②连接、，过点作交的延长线于点，由旋转的性质易证，得到，．根据等边对等角的性质，得到，进而得出，再证明出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，． ∵，， ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：①依题意补全图2如图所示： ②，证明如下： 如图，连接、，过点作交的延长线于点， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，． ∴，即． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴， ． ∴． ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 26. 在平面直角坐标系中，对于图形M，线段和点C，若在图形M上存在点P，使线段的中点在线段上，则称C为图形M关于线段的“扩充点”． （1）如图1，点，，在点，，中，关于线段的“扩充点”是______； （2）已知点，，，，其中，直线：． ①H是直线l上的一个动点，当，，时，若H为四边形关于线段的“扩充点”，直接写出点H的横坐标的取值范围； ②连接，为线段的中点，当，时，若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）结合图形，可知，的中点在原点，符合题意；求得点，的中点为，接着求得与的中点并发现这个中点落在线段上，从而得出答案； （2）①当，，时，那么，，，，直线：，可判断四边形是矩形，在矩形上存在点，使线段的中点在线段上，那么可知，可落在线段，，上，然后分别求得当在线段，，上时，的范围即可；②当，时，，，直线：，通过为线段的中点，得到，接着判断四边形是正方形，当时，设点关于点的对称点为， 那么点， 那么当直线l过点时，直线的斜率最大，即取得最大值， 当时，设点关于点的对称点为，那么点，那么当直线l过点时，直线的斜率最小，取得最小值，当时，也符合题意，最后求得答案． 【小问1详解】 解：，， 和的中点为，符合题意； 点，， 点，的中点为， 与的中点为，即， 在线段上， 关于线段的“扩充点”是，， 故答案：，； 【小问2详解】 解：已知点，，，，其中，直线：，其中，，， ，，，，直线：， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 直线：，代入，；代入，， 由题意可知，在矩形上存在点，使线段的中点在线段上，那么可知，可落在线段，，上，如图所示： 不妨设， 当在线段上，当的中点为点时，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 在线段上， 纵坐标为2，即， ，，， ， ， 在第三象限， ， ； 当的中点为点时，如图所示： 此时在第二象限，，解得， 那么当在线段上，； 当在线段上，使线段的中点落在线段，如图所示： 那么； 同理可求得落在线段上，， 综上， ； ②当，时，，，直线：， ， ，，为线段的中点， ， ， ，， ， ，，，， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， 直线：，时， 直线一定过， 当时，设点关于点的对称点为， 那么点， 如图所示： 若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，那么当直线l过点时，直线的斜率最大，即取得最大值， 将代入，得，解得，（舍去）； 当时，设点关于点的对称点为，那么点，如图所示： 若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，那么当直线l过点时，直线的斜率最小，取得最小值， 将代入，得，解得，（舍去）； 当时，，，，，直线为，如图所示： 借助图象，可知在可找到与的中点落在点上，那么满足题意； 综上，． 【点睛】本题考查了一次函数几何综合，一次函数的图象与性质，中点坐标，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并理解“扩充点”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海淀区八年级练习 数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，26道小题．满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名． 3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，请将本试卷交回． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 1，1，1 4. 若一次函数的图象由函数的图象平移得到，则该一次函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，对角线交于点O，E是的中点，连结，若，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名学员十次射击成绩的平均环数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均环数 9.3 9.6 9.6 94 方差 0.41 0.24 0.44 0.24 在这四名学员中，成绩好且发挥稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形的面积为16，正方形的面积为4，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，分别在x轴、y轴上，且相交于点O，，．直线与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论：①当时，；②当d取最大值时，b的值一定为0；③函数d的图象是一个轴对称图形．上述结论中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 如图，在矩形中，为对角线的中点，若，则______． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣2x+b图象经过P1（﹣1，y1），P2（2，y2）两点，则y1_____y2（填“＞”或“”或“＜”）． 14. 某工厂第一季度采购某种原材料的数量和单价如下表所示： 数量（吨） 单价（元/吨） 1月份 3 5000 2月份 3 5100 3月份 4 4800 则该工厂第一季度采购这种原材料的平均单价为______元/吨． 15. 如图是函数和的示意图，这两个函数的自变量x的取值范围都是，且它们的图象相交于点，，当时，x的取值范围是______． 16. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为整点．若一条线段的两个端点均为整点，且该线段的长为整数，则称这条线段为“理想线段”，已知点． （1）线段的长为______； （2）将点O与点Q用若干条“理想线段”首尾相连，得到一条折线，则该折线长度的最小值为______． 三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18-19题，每小题4分，第20-24题，每小题5分，第25题7分，第26题6分），解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，D，E分别是，的中点，连接，延长到点F，使得，连接交于点O．求证：． 19. 已知，，求代数式的值． 20. 中，．求作：的边上的高． 下面是小明设计的尺规作图过程： ①以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点D； ②分别以点C和点D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点E； ③连接，交线段于点H．线段即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，． ∵______， ∴四边形是菱形．（______）（填推理的依据） ∴______． ∴． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与x轴交于点C． （1）若，求这个一次函数的解析式和点C的坐标； （2）若线段的长度小于5，直接写出k的取值范围． 22. 中，，点F在上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，，，求的面积． 23. 某市举办“人工智能创新挑战赛”，比赛分为模拟比赛和正式比赛两个阶段，共有100个团队参赛． （1）模拟比赛阶段，评委随机抽取25个团队进行综合打分（十分制，分值均为整数）．被抽取的团队得分结果如下： 得分 6 7 8 9 10 频数 2 5 9 8 1 将模拟比赛中得分为9分或10分的团队视为高水平团队，估计全体参赛团队中高水平团队的个数为______； （2）正式比赛阶段，评委对参赛团队进行综合打分（百分制，分值均为整数）．对各团队的得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．各团队得分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： b．各团队得分在这一组的是： 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 82 83 83 83 84 84 根据以上信息，解决下列问题： 补全频数分布直方图； 各团队得分的中位数是______； 各团队得分的众数所在组的组号可能是______． 24. 北京体育中考现场考试包括两个项目：素质项目和运动能力项目．在素质项目中，女子的评分标准如表1所示： 时间 分值 8 7.5 7 6 5 4 时间 分值 3 2 1 0 在女子的考试现场，两名同学被分到同一个小组．她们同时出发，当跑步的时间为t（单位：s）时，A同学跑步的路程为（单位：m），B同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略，A同学的策略是先加速跑再匀速跑，最后加速冲刺；B同学的策略是先加速跑再匀速跑．A，B两名同学现场考试的部分数据如表2所示： 时间 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 260 路程（） 0 25 100 225 400 500 600 650 800 路程（） 0 50 200 450 550 600 650 a 800 （1）a的值为______． （2）请根据表2中的数据在下面的平面直角坐标系中补全的图象． （3）根据以上信息，给出下面三个结论： ①当时，A同学一直在B同学的前面； ②B同学可以得到分； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论序号是______． （4）假如B同学的匀速跑速度不变，且在时恰好跑了，则B同学可以得到______分． 25. 已知E为正方形内部一点，且满足，连接、、． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，射线交线段于点M． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于图形M，线段和点C，若在图形M上存在点P，使线段的中点在线段上，则称C为图形M关于线段的“扩充点”． （1）如图1，点，，在点，，中，关于线段的“扩充点”是______； （2）已知点，，，，其中，直线：． ①H是直线l上的一个动点，当，，时，若H为四边形关于线段的“扩充点”，直接写出点H的横坐标的取值范围； ②连接，为线段的中点，当，时，若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$