精品解析：湖北省咸宁市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2025年春季期末教学质量监测八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 祝考试顺利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 某小组6名学生中考体育分数（单位：分）如下：33，36，36，38，39，40，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. 40，33 B. 36，38 C. 36，37 D. 36，39 7. 如图，矩形的对角线、交于点，点、分别为、的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若，，则的周长为( ) A. 4 B. C. 6 D. 9. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有( ) ①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写一个二次根式，使它与是同类二次根式：_______． 12. 将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 13. 某公司招聘一名英文翻译，某应聘者的听、说、读、写成绩分别为73分、80分、82分、83分．最后成绩中，听、说、读、写成绩按照的比确定，那么该应聘者最后的成绩为______分． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C的坐标分别为，，则顶点A的坐标为_____． 15. 如图，在正方形纸片中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在的中点E处．若，则的面积是______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在中，于点于点F，求证：四边形是矩形． 18. 如图，在中，点E，F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是________． 19. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 型号 14和16 15 型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____，_____； （2）请计算表中的值，（需要写出计算过程） （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． （1）求此一次函数的解析式； （2）求出的面积． 21. 2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． （1）求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ （2）学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 22. 根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． 问题解决 任务1 求解关键数量 填空：滑撑支架中的长度为_______，滑动轨道的长度是_______． 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 23. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是______．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______． （2）点E在边上运动． ①如图2，（1）中猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，若正方形的边长为2，直接写出周长的最小值为______． 24. 如图，直线图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D分别是线段、线段上一动点（点C与点A不重合），且． （1）求点A，B坐标和度数； （2）设的长度为， ①用含m代数式表示的长度； ②过点D作，垂足为点E如图2，当时，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季期末教学质量监测八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 祝考试顺利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式定义．根据二次根式的定义，被开方数必须位非负数，且式子有意义．需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：选项A：，当时是二次根式，但可能为负数，此时无意义，故不一定是二次根式． 选项B：是立方根，不符合题意 选项C：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式． 选项D：，绝对值恒成立，无论取何值，被开方数均非负，故一定是二次根式． 故选D． 2. 四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 3. 如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定定理是解题关键．由作法可知，①可得，②可得，则，即可得到答案． 【详解】解：由作法可知， 则判定四边形是菱形的依据是四条边相等的四边形是菱形， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. 不能合并，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，计算正确； D. ，原计算错误； 故选：C． 5. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握利用数形结合的思想解决一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，结合函数图象即可解决． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围， ∴关于的不等式的解集 故选：A． 6. 某小组6名学生的中考体育分数（单位：分）如下：33，36，36，38，39，40，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. 40，33 B. 36，38 C. 36，37 D. 36，39 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义进行计算，众数是数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大排列后，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：数据中出现次数最多的数是36（出现2次），因此众数为36； 将数据从小到大排列为33，36，36，38，39，40， 共有6个数据，中位数为第3、4个数的平均值，即， 综上，众数为36，中位数为37， 故选：C． 7. 如图，矩形的对角线、交于点，点、分别为、的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得出，然后证明出是的中位线，即可得到． 【详解】∵矩形的对角线、交于点， ∴ ∴ ∵点、分别为、的中点 ∴是的中位线 ∴． 故选：C． 8. 如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若，，则的周长为( ) A. 4 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，与折叠的性质可得，，又由，可证是等边三角形，可得，即可求得的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处， ，，又， 是等边三角形， ， 的周长， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 9. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据题意，分三个阶段分析即可得出答案，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在铁块接触水面前，， ∴此过程中弹簧测力计的读数不变， ∵， ∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小， 当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变， ∴符合题意是选项， 故选：C． 10. 一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有( ) ①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质．①根据函数图象直接得到结论；②根据、的符号即可判断；③当时，；④当时，根据图象得不等式． 【详解】解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而减小，故①正确； 由于，，所以函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为， ， ， ，故③正确； 当时，，， 由图象可知， ， ，故④正确； 综上，①②③④正确， 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写一个二次根式，使它与是同类二次根式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，据此解答即可求解，掌握同类二次根式的定义 是解题的关键． 【详解】解：与是同类二次根式的可以是， 故答案为：． 12. 将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的平移变换，解答本题的关键在于熟练掌握函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”，根据平移的法则即可得出平移后的函数表达式． 【详解】解：直线向下平移2个单位长度后直线的解析式为， 故答案为：． 13. 某公司招聘一名英文翻译，某应聘者的听、说、读、写成绩分别为73分、80分、82分、83分．最后成绩中，听、说、读、写成绩按照的比确定，那么该应聘者最后的成绩为______分． 【答案】80.4 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法代值求解即可得到答案，熟练掌握加权平均数的计算公式是解决问题的关键． 【详解】解：， 应聘者最后的成绩为分， 故答案为：80.4． 14. 如图，在平面直角坐标系中，顶点B，C的坐标分别为，，则顶点A的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、坐标系中点的平移等知识．根据题意得到点C到点B的平移方式和点O到点A的平移方式相同，据此进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点C到点B的平移方式和点O到点A的平移方式相同， ∴顶点B，C的坐标分别为，， ∴点C到点B的平移方式是向右平移1个单位，向上平移2个单位， ∴向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， 故答案为： 15. 如图，在正方形纸片中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在的中点E处．若，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质得，设，在中，利用勾股定理列式计算求得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形纸片，， ∴，， 由折叠的性质知，， 设， ∵点E是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， 解得，即， ∴的面积是， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母有理化，零指数幂公式，绝对值的化简，二次根式的化简解答即可． 【详解】解：原式 . 【点睛】本题考查了分母有理化，零指数幂公式，绝对值的化简，二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17. 如图，在中，于点于点F，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．证明，即可得出结论； 【详解】证明：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 18. 如图，在中，点E，F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是________． 【答案】（1）见解析 （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，，则，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 添加条件：，理由如下： 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 19. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 型号 14和16 15 型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____，_____； （2）请计算表中的值，（需要写出计算过程） （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【答案】（1）20，15 （2）1.4 （3）购买B型机器人，见解析 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数和方差，以及利用相关数据作出决策，熟练掌握统计的基本知识是解题的关键； （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据方差的定义求解即可； （3）从众数、中位数和平均数三个方面进行分析即可得出结论． 【小问1详解】 解：B型号的智能机器人每天可分拣20万件的有5台，数量最多， 所以众数； A型号机器人分拣的快递件数从小到大排列后，最中间的两个数据是15，15， 所以中位数； 故答案：20，15； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为从众数、中位数和平均数来看，B型机器人的相应数据都高于A型机器人， 所以应该购买B型机器人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． （1）求此一次函数的解析式； （2）求出的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、求两条直线的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立两个函数的解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴此一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：解方程组， 得， ∴点C的坐标是， ∴的面积． 21. 2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． （1）求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ （2）学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1）《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元 （2）《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，费用为1095元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，根据《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，由题列出一元一次不等式组，解出未知数范围，设所需费用为W元，则，根据一次函数性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元， 根据题意，得： 解得， 答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元． 【小问2详解】 解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套， 根据题意得， 解得． 设所需费用为W元，则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最小值为（元） 此时，（套）． 答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元． 22. 根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． 问题解决 任务1 求解关键数量 填空：滑撑支架中的长度为_______，滑动轨道的长度是_______． 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 【答案】【任务1】8，41；【任务2】限位器P应装在离A点的位置 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质． （1）根据题意，可得，从而得到结果； （2）作，在中，求出，从而得到长，即可得到结果． 【详解】解：【任务1】∵四边形始终平行四边形， ∵当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上， ， 故答案为：8，41； 【任务2】解：过点C作交于点H， 依题意得， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵，， ∴． 又∵，， ∴根据勾股定理可得． ∴ ∴． ∴限位器P应装在离A点位置． 23. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是______．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______． （2）点E在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接，若正方形的边长为2，直接写出周长的最小值为______． 【答案】（1）， （2）①成立，理由见解析；②的周长的最小值是 【解析】 【分析】（1）取的中点P，连接．先证，再证，然后由证，即可得出结论； （2）①在上取一点P，使，连接，由证，即可得出结论； ②过D作交于点H，连接，证是等腰直角三角形，则点H与D关于对称，得，，当A、F、H三点共线时，即最短，此时，，再由勾股定理得，此时周长最小值． 【小问1详解】 解：如图1，取的中点P，连接． 则， ∵点E是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①成立，理由如下： 如图2，在上取一点P，使，连接， 则， 由（1）得：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②如图3，过D作交于点H，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称， ∴， ∴， 当A、F、H三点共线时，即最短， 此时，， 在中，由勾股定理得：， 此时周长的最小值； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 24. 如图，直线图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D分别是线段、线段上一动点（点C与点A不重合），且． （1）求点A，B坐标和度数； （2）设的长度为， ①用含m的代数式表示的长度； ②过点D作，垂足为点E如图2，当时，求m的取值范围． 【答案】（1）点A的坐标为，点的坐标为， （2）①；②当时m的取值范围为 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标及，的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，由，取的中点K，连接，可得是等边三角形，进而求出的度数； （2）①结合（1）结论可求出 ，证明为等边三角形 ，根据等边三角形性质即可求解； ②根据含的直角三角形的性质求出 ，结合得出 ， 解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ，点A的坐标为， 当时，， 解得：， ， 点的坐标为， 在中，， ， ， 如图，取的中点，连接， ， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 解：①在图中， ，， ， ，， 为等边三角形 ， ； ②， ， 在中，，， ， ， ， 当时，即 ， 解得：， 又， ， ∴当时，m的取值范围为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、解不等式等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$