第02讲数轴（8大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（苏科版2024）

第02讲数轴（8大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 数轴的三要素及其画法 典型例题二 用数轴上的点表示有理数 典型例题三 利用数轴比较有理数的大小 典型例题四 数轴上两点之间的距离 典型例题五 数轴上点的平移(动点问题) 典型例题六 数轴上找原点 典型例题七 数轴上整点覆盖 典型例题八 问题数轴上的规律探究 知识点一：数轴的三要素及其画法 1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致． 【即时训练】 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）以下数轴画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键．根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】解：．没有方向，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； ．单位长度不相等，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； ．数轴画法正确，故该选项符合题意； ．没有原点 ，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴的三个要素是：原点、 和单位长度． 【答案】正方向 【分析】本题考查数轴的三要素（原点、正方向和单位长度），解题的关键是熟记数轴的三要素，据此解答即可． 【详解】解：数轴的三个要素是：原点、正方向和单位长度． 故答案为：正方向． 知识点二：用数轴上的点表示有理数 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点表示。例如，数轴上表示数 a（a 为正数）的点在原点右边，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数 - a 的点在原点左边，与原点的距离是 a 个单位长度。 【即时训练】 1．（2025·江苏淮安·一模）如图，数轴上点A表示的数为a，则与a最接近的整数是（  ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点估算代数式，解题的关键是数形结合．由数轴可知，，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，在和之间，且更靠近， ， 与最接近的整数是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知点A，B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为5，则中点C表示的数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查数轴，数轴上的点表示数，根据数轴上线段中点所对应的数的计算方法进行计算即可． 【详解】线段的中点C对应的数为， 故答案为：1． 知识点三：利用数轴比较有理数的大小 利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，数轴上点表示的有理数可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上表示有理数，解题的关键是掌握数轴的性质，根据有理数在数轴的位置，确定有理数的大小，即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，比较大小：a ．（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题考查了利用数轴进行比较大小，根据越在数轴的右边的数越大，即可作答． 【详解】解：由数轴可知 ∴ 故答案为：＜ 知识点四：数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的绝对值4. 若点 A 对应的数是 a，点 B 对应的数是 b，则 A、B 两点之间的距离公式为 AB = |a - b| = |b - a|3。例如，数轴上表示 3 和 8 的两点之间的距离是 | 8 - 3| = 5；表示 - 3 和 - 9 的两点之间的距离是 |-3 - (-9)| = 61. 利用该公式也可以求解一些绝对值方程。如方程 | x - 3| = 15，根据其几何意义，在数轴上表示与点 3 距离是 15 的点，可得 x - 3 = 15 或 x - 3 = -15，解得 x = 18 或 x = -123. 【即时训练】 1．（20-21七年级上·安徽阜阳·阶段练习）点在数轴上表示，点离的距离是3，那么点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，注意数轴上到一个点距离相等的点有两个，要考虑全面． 数轴上与 距离为3的点有两个，一个在左，一个在右，可得点表示的数． 【详解】解：， ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）数轴上与表示的点相距3个单位的点所对应的数是 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查数轴的应用，注意符合条件的有两种情况把问题考虑全面是解题的关键．根据题意得出两种情况：当点在表示的点的左边时，当点在表示的点的右边时，列出算式求出即可． 【详解】当点在表示的点的左边时， 数为， 当点在表示的点的右边时， 数为， 故答案为：1或． 知识点五：数轴上点的平移(动点问题) 在数轴上，点的平移遵循以下规律： 向右平移：点对应的数增大，平移n个单位长度后，新位置的数为原数+n. 向左平移：点对应的数减小，平移n个单位长度后，新位置的数为原数−n. 数学表达式：若点A在数轴上对应的数为a,将点A向右平移k个单位长度,得到点A ′，则A ′对应的数为a−k. 【即时训练】 1．（2025·吉林长春·模拟预测）点为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移个单位到点，则用含有的代数式表示对应的数是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，掌握知识点是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律，向右平移时点的坐标增加，向左平移则减少． 【详解】解：点M对应的数为，向右平移t个单位，即坐标增加t． 因此，点N对应的数为． 故选B． 2．（24-25七年级上·江西九江·期中）数轴上点表示的数是，那么将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是 【答案】 【分析】本题考查数轴，掌握数轴定义及数轴上点的平移是解决问题的关键．利用数轴性质、数轴上点的平移知识即可求解． 【详解】解：∵点表示的数是，点向左移动个单位长度， ∴平移后点表示数为， 故答案为：． 知识点六：数轴上找原点 1）根据定义确定：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。画数轴时，可在直线上任意选取一点作为原点，通常将其标记为 “0”。一般习惯把原点选在直线中间偏左的位置，以便于在原点左右两侧都能方便地表示正负数，但从理论上来说，直线上的任意一点都可以作为原点。 2）根据已知数确定：若数轴上已标明某个数的位置，可根据该数与原点的位置关系及距离来确定原点。因为正数在原点右侧，负数在原点左侧，且数到原点的距离等于该数的绝对值，所以可据此找到原点。例如，若数轴上一点表示的数是 - 3，由于 - 3 到原点的距离是 3 个单位长度，那么将该点向右移动 3 个单位长度的位置就是原点2。 3） 根据相反数确定1：若数轴上有两个互为相反数的点，根据在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且与原点距离相等这一性质，原点就在这两点连线的中点处。例如，已知数轴上两点分别表示 - 2 和 2，那么连接这两点，其中点就是原点。 【即时训练】 1．（2025·福建泉州·模拟预测）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，根据题意可得原点一定在数a和数b之间，则可得到，据此建立关于b的方程，解方程求出b，进而求出a，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：∵有理数的绝对值是的绝对值的3倍，且两个数之间的距离为， ∴当原点在数a左侧或者原点在数b右侧时都不符合题意， ∴原点一定在数a和数b之间， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴a表示的数为，b表示的数为1， ∴只有C可能是数轴的原点， 故答案为：C． 知识点七：数轴上整点覆盖 概念：数轴上表示整数的点称为整点，整点覆盖就是研究数轴上的线段、图形等覆盖这些整点的数量相关问题。 线段覆盖整点个数规律：若数轴的单位长度为 1cm，画一条长为 n cm 的线段 AB，当线段 AB 起点在整点时，盖住的整点有 n + 1 个；当线段 AB 起点不在整点，即在两个整点之间时，盖住的整点有 n 个。例如，长为 2016cm 的线段，盖住的整点可能有 2016 + 1 = 2017 个，也可能有 2016 个。 解题方法：对于简单的线段覆盖整点问题，可通过列举法确定被覆盖的整点。如墨水洒在数轴上，根据露出的数值，写出被墨迹盖住的整数。对于多条线段或较复杂的情况，可先分析每条线段覆盖的整点情况，再考虑线段之间的关系。若线段长为整数 m，则最多可覆盖 m + 1 个整点；若线段长为非整数 s，则最多可覆盖 [s]+1 个整点（[s] 代表小于 s 的最大整数）。例如，三条线段长度之和是 19.99，将三条线段重叠时覆盖整点数最少，约为 7 个；将线段长度定为 1、1、17.9 时，覆盖整点数最多，为 22 个。 【即时训练】 1．（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 知识点八：问题数轴上的规律探究 1)数轴上动点运动规律探究 单个动点规律：通常会研究动点在数轴上按照一定方向和速度运动后对应的数值变化规律。如一个点从数轴上的原点开始，先向右移动 3 个单位长度，再向左移动 5 个单位长度，终点表示的数是 - 2。一般地，若点 A 表示数 a，将点 A 向右移动 m 个单位长度，则到达的点表示的数为 a + m；向左移动 n 个单位长度，则到达的点表示的数为 a - n。 多个动点规律：涉及多个动点时，会探究它们之间的位置关系、距离变化等规律。例如，已知数轴上 A、B 两点对应的数分别为 - 2、3，动点 P、Q 分别从 A、B 出发，以每秒 2 个单位和每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为 t 秒，则 t 秒后点 P 表示的数为 - 2 + 2t，点 Q 表示的数为 3 + t，进而可探究不同时刻两点间的距离等规律。 2)数轴上距离规律探究 两点间距离公式：若数轴上点 A，B 表示的数分别为 a，b，则 A、B 两点之间的距离表示为 | a - b|。如点 A 表示的数为 2，点 B 表示的数为 5，则 AB = |2 - 5| = 3。 距离与动点关系：常探究动点到定点或其他动点的距离满足特定条件时的情况。例如，若点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右运动，点 A 表示的数为 - 1，点 B 表示的数为 4，当 | PA - PB| = 2 时，可设运动时间为 t 秒，此时点 P 表示的数为 - 1 + 3t，根据距离公式列方程 |(-1 + 3t)-(-1)| - |(-1 + 3t)-4| = 2，求解 t 的值，从而确定点 P 的位置。 3)数轴上数字分布规律探究 与图形结合的数字分布5：如将圆的周长分为 4 个单位长度，在圆的等分点处标上数字 0，1，2，3，让圆周上数字 0 所对应的点与数轴上的数 - 1 所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，可发现数轴上的数与圆周上的数字存在周期性的对应关系，通过寻找周期来确定某个数与圆周上的哪个数字重合。 整点分布规律5：研究数轴上线段覆盖整点的个数规律。若数轴的单位长度为 1，画一条长为 n 的线段，当线段起点在整点时，盖住的整点有 n + 1 个；当线段起点不在整点时，盖住的整点有 n 个。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故选：B． 2．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 【典型例题一 数轴的三要素及其画法】 1．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）下列所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的三要素进行判定即可． 【详解】解：A、缺少单位长度，本选项不符合题意； B、缺少正方向，本选项不符合题意； C、三要素具备，本选项符合题意； D、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，本选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）现有下列各数：①，②，③，④，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里 ： 非负数集合：{ 　                       …}； 分数集合：{ 　                       　…}． (2)请把下面不完整的数轴补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 【答案】(1)③④⑥；②③⑤ (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，画数轴并在数轴上表示有理数； （1）根据有理数的分类方法解答即可； （2）补充数轴，然后标出所有的整数，即可求解． 【详解】（1）解：①，②，③，④，⑤，⑥ 非负数集合：{③④⑥…}； 分数集合：{②③⑤…} 故答案为：③④⑥；②③⑤． （2）解：如图所示， 1．（24-25七年级·江苏泰州·阶段练习）图中所画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的三要素，数轴有三要素：原点、单位长度和正方向，任何一个条件都不能少，都必须体现在数轴上，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、该数轴没有正方向，故所画数轴不正确，不符合题意； B、该数轴没有原点，故所画数轴不正确，不符合题意； C、该数轴单位长度不统一，故所画数轴不正确，不符合题意； D、该数轴正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图所示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的表示方法，根据数轴的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：A．不正确，错误原因：数轴单位长度不一致； B．正确； C．不正确，错误原因：缺少正方向； D．不正确，错误原因：缺少了原点． 故本题选：B． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 4．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴的定义，先补全数轴，再表示出各个数即可． 【详解】解：把各数在数轴上表示出来，如图所示： ． 【典型例题二 用数轴上的点表示有理数】 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）A、B是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是（   ） A．互为相反数 B．绝对值相等 C．是符号不同的数 D．都是负数 【答案】C 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解有理数的符号和绝对值是正确表示有理数的两个基本条件．根据数轴表示数的意义和方法，可得出点A、B表示的两个有理数符号相反，但绝对值不一定相等，于是得出答案． 【详解】解： A、B是数轴上原点两旁的点， 点A、B所表示的两个有理数符号是相反的， 即一个正数，另一个为负数，但两个数的绝对值不一定相等， 故只能得出“这两个有理数符号是相反的”， 故选：C． 2．（22-23七年级上·广东湛江·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数：0，，，，，并用“”连接． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查有理数在数轴上的表示及大小比较，熟练掌握利用数轴比较有理数大小的方法是解题关键．直接将各数在数轴上表示出来，然后根据右边的数总是大于左边的数比较大小即可． 【详解】解：将各数在数轴上表示如下： 由图知，． 1．（2025·山西·一模）如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，比较解答即可. 本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数， 故该数可能是. 故选：A. 2．（2022·河北邢台·一模）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（） A．0.5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，理解数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由数轴知：手掌覆盖的数位于和0之间， 而， 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）数轴上将点A向左移动4个单位长度恰好到达原点，则点A表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数．熟练掌握在数轴上表示有理数是解题的关键． 根据原点向右移动4个单位长度到达点A求解作答即可． 【详解】解：由题意知，原点向右移动4个单位长度到达点A， ∴点A表示的数是4， 故答案为：4． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来：，，0，． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是用数轴上的点表示有理数，根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】如图所示，数轴表示如下： 【典型例题三 利用数轴比较有理数的大小】 1．（22-23七年级上·江苏·周测）如图，数轴上点M所表示的数可能是（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，掌握原点左边的点表示负数、右边的点表示正数且右边的大于左边是解题的关键．根据数轴上的点表示数的方法得到点M表示的数大于且小于，然后进行判断即可． 【详解】解：∵点M表示的数大于且小于， ∴A、B、D三选项错误，C选项正确． 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上画出表示，，0，的点，并按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来．    【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查数轴上点的表示与大小判断，先在数轴上表示出各个点，再根据右边的点比坐标的点大直接判断即可得到答案． 【详解】解：， 把各数在数轴上表示出来，   ． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】本题考查了数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．根据数轴上，右边的数总比左边的大得到的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：根据数轴得：， 可以是． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上两点对应的数分别是和，则之间的整数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴．找出大于小于的整数即可． 【详解】解：大于小于的整数有：，0，1，2，3，共有5个 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则关于a，，，1的大小关系按从小到大是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的大小，熟练根据数轴上的位置确定有理数的大小是解题的关键． 在数轴上表示出表示的点，根据有理数在数轴上的位置得出结论即可． 【详解】解：由数轴知，， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）（1）请你在数轴上表示下列各数：，，，， （2）将上列原数按照从小到大的顺序用不等号“＜”连接起来． 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】本题主要考查数轴和有理数的大小： （1），，，按照数轴的定义，即可求得答案； （2）在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． 【详解】（1），，，在数轴上表示各数如下： （2）在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，可得： 【典型例题四 数轴上两点之间的距离】 1．（2025·江苏南通·二模）数轴上，，，四个数对应的点，离原点最近的是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．根据到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴到原点的距离是3个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是1个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是个长度单位， ∵， ∴2到原点的距离是2个长度单位， ∴到原点的距离最近的是． 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在数轴上，点A，B分别表示数，． (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数“”的点C应落在点A左边、点A、B之间还是点B的右边？请说明理由． 【答案】(1) (2)点A、B之间，见解析 【分析】（1）根据数轴上右边的数大于其左边的数列不等式解答即可； （2）根据，得到得到解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故x的取值范围为； （2）解：根据，得到， 得到，在A的右侧； ， 故在B的左侧， 故在点A、B之间． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若数轴上点表示的数是2，点和点之间的距离为5，则点表示的数是（   ） A． B．7 C．或7 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上两点距离的计算是解题的关键． 根据数轴的特点，分类讨论：点在点右边时；点在点左边时；根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：点表示的数是2， 当点在点右边时，点和点之间的距离为5， ∴点表示的数是7； 点在点左边时，点和点之间的距离为5， ∴点表示的数是； 综上所述，点表示的数是或7， 故选：C ． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴的概念，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．先求出，从而可得每一个刻度对应数轴上的单位长度，再列出运算式子，计算有理数的乘除法可得的长，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：由题意得：， 数字对齐数轴上的点，点对齐刻度，点对齐刻度， ， ， 解得， 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上原点的右侧，表示数a的点与原点的距离是6，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了数轴以及数轴上的点表示的数；根据数轴特点可直接得出答案． 【详解】解：∵在数轴上原点的右侧，表示数a的点与原点的距离是6， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)，，， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据“伴侣点”的定义即可求解； 对于（2），分三种情况讨论可求M、N的阶伴侣点所表示的数. 【详解】（1）解：， ∴. 则点C是点A，B的3阶伴侣点. 故答案为：3. （2）解：， M、N的阶伴侣点在的左边时，所表示的数为； M、N的阶伴侣点在和4中间时，所表示的数为或；M、N的阶伴侣点在4的右边时，所表示的数为. 综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为，，，. 【典型例题五 数轴上点的平移（动点问题）】 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将点P向右平移3个单位，对应的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，以及利用数轴表示有理数，根据图像得到点表示的数，再结合题意得到点所表示的数，即可解题． 【详解】解：由图知点表示的数为， 将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为， 故选：B． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：B． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 4．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）点、、在数轴上，且点分别到点、的距离相等．点沿着数轴从数字处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，点沿着数轴从数字处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒个单位长度的速度向左匀速运动 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离等知识点，运用数形结合思想是解题的关键．设运动时间为秒，则秒后，点表示的数为，点表示的数为，由“点分别到点、的距离相等”可得点表示的数为，于是得解． 【详解】解：设运动时间为秒， 则秒后，点表示的数为：， 点表示的数为：， 点分别到点、的距离相等， 点表示的数为：， 从数字处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动， 故选：． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若有理数a，，b在数轴上对应点如图所示，则下列运算结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴和正负数，由数轴得，，，于是得出，，进一步得出，，然后再判断即可作出选择． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故排除选项A、B、C， 故选：D． 4．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）数轴上到原点距离等于4个单位长度的点所表示的数为（   ） A．4 B． C．4或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，在数轴上到原点的距离为4的点表示的数有两个，它们互为相反数，据此即可解答． 【详解】解：数轴上到原点距离等于4个单位长度的点所表示的数为4或． 故选：C 5．（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的定义，掌握数轴的定义是解题的关键； 根据数轴的三要素是原点，单位长度，正方向，分析哪个图形含有这三要素，就是数轴； 【详解】解：A、没有方向，故错误； B、没有原点，故错误； C、单位长度不一样长，故错误； D、符合所有条件，是数轴，故正确； 故选：D 6．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，数轴上有三个数，下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查主要利用数轴判断式子的符号，能根据数轴得出正确的结论是解此题的关键．先根据点在数轴上的位置，判断出数的大小关系，进而判断出式子的符号即可． 【详解】由数轴可知， A．若，则或， 成立，故本选项正确； B．若，则或， ，故本选项错误； C．若，则或， 或，故本选项错误； D．若，则或， 或，故本选项错误． 故选：A． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）在数轴上，将表示的点向左移动3个单位后，对应点表示的数是 （    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，根据数轴上右边的数总大于左边的数，可得对应点表示的数是，进而得出答案． 【详解】将表示的点向左移动3个单位长度对应的数是． 故选：C． 8．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字（　　）重合． A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、规律探究的有关知识，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成． 根据圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则与圆周上的2重合的数是， 即，同理与1重合的数是， 与0重合的数是， 与3重合的数是，其中是正整数． 而，把数和点对应起来， ∴数轴上的数2024将与圆周上的数字1重合． 故选：C． 9．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）在数轴上表示和3.4两点之间的整数有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，画出数轴，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： 在数轴上表示和3.4两点之间的整数，，，，，，共个， 故选：C． 10．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和，若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2018次后，点B为（    ） A．不对应任何数 B．对应的数是2016 C．对应的数是2017 D．对应的数是2018 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，解题的关键是找到其中的变化规律；结合数轴根据翻折的次数，发现点B所对应的数字变化规律是第1次和第2次对应的数字都是1，第4次和第5次对应的数字都是4，第7次和第8次对应的数字都是7，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由数轴及翻转可知：点B所对应的数字变化规律是第1次和第2次对应的数字都是1，第4次和第5次对应的数字都是4，第7次和第8次对应的数字都是7，……；所以是每3次翻转为一个循环， ∵， ∴翻转2018次后点B在数轴上，即点B对应的数是； 故选C． 11．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，若点C所表示的数为a，则点A所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴．将在数轴上表示的点表示出来即可得到答案． 【详解】解：点所表示的数为，且位于原点左侧， 长为． ， 长为． ，且点在原点右侧， 点所表示的数为． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数． 【详解】解：依题意得：两数是关于和8的中点对称，即关于对称， 、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经以上方法折叠后重合，则、关于所表示的点对称， ． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示，则 （用“>”或“<”填空）． 【答案】< 【分析】先比较出的大小，然后在进行移项可得到问题的答案．此题考查了数轴以及有理数的大小比较，弄清题意是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：且， 如图所示： ． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）A、B两点在数轴上，点A表示的数是2，A、B之间的距离为4，则点B表示的数是 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，当点B在点A右侧时，根据两点之间的距离得出答案；当点B在点A左侧时，根据两点之间的距离得出答案． 【详解】当点B在点A右侧时，点B表示的数是； 当点B在点A左侧时，点B表示的数是． 所以点B表示的数是6或． 故答案为：6或． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在数轴上，将表示的点先向左移动3个单位后再向右移动6个单位长度，此时这个点表示的数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴上点的平移规律是解题的关键． 根据“左减右加”列式计算即可求解． 【详解】解：由题意可得，这个点表示的数为： ． 故答案为：1． 16．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的化简，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题关键． 把各点在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来即可． 【详解】解：，， 故 17．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上画出表示、2、、1的点，再把这四个数用“＜”连接起来． 【答案】，详见解析． 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的大小比较，先在数轴上描出相应的点，再根据在数轴上有理数表示的点，右边的总比左边的大的性质解答即可，熟练掌握有理数的大小比较方法是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示， ， 由数轴可知：． 18．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【答案】(1)见解析；4 (2)2或6 【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点，根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （2）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： 点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为2或6． 故答案为：2或6． 19．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）在数轴上分别用点、、、、、、表示下列各数，并用“”号将这些数按从小到大的顺序连接起来， ，，，，，，． 【答案】数轴表示各数见解析，． 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，先化简各数，再在数轴上表示出各数，利用数轴即可用“”号将这些数按从小到大的顺序连接起来，掌握数轴上有理数的表示方法是解题的关键． 【详解】解：，，， 在数轴上表示各数如图所示： 由数轴可得，． 20．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在数轴上画出表示0，，，的点，并按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可． 【详解】解：， ， 按从小到大的顺序排列为:． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲数轴（8大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 数轴的三要素及其画法 典型例题二 用数轴上的点表示有理数 典型例题三 利用数轴比较有理数的大小 典型例题四 数轴上两点之间的距离 典型例题五 数轴上点的平移(动点问题) 典型例题六 数轴上找原点 典型例题七 数轴上整点覆盖 典型例题八 问题数轴上的规律探究 知识点一：数轴的三要素及其画法 1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致． 【即时训练】 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）以下数轴画法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴的三个要素是：原点、 和单位长度． 知识点二：用数轴上的点表示有理数 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点表示。例如，数轴上表示数 a（a 为正数）的点在原点右边，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数 - a 的点在原点左边，与原点的距离是 a 个单位长度。 【即时训练】 1．（2025·江苏淮安·一模）如图，数轴上点A表示的数为a，则与a最接近的整数是（  ） A． B． C． D．0 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知点A，B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为5，则中点C表示的数是 ． 知识点三：利用数轴比较有理数的大小 利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，数轴上点表示的有理数可能是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，比较大小：a ．（填“＞”“＜”“＝”） 知识点四：数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的绝对值4. 若点 A 对应的数是 a，点 B 对应的数是 b，则 A、B 两点之间的距离公式为 AB = |a - b| = |b - a|3。例如，数轴上表示 3 和 8 的两点之间的距离是 | 8 - 3| = 5；表示 - 3 和 - 9 的两点之间的距离是 |-3 - (-9)| = 61. 利用该公式也可以求解一些绝对值方程。如方程 | x - 3| = 15，根据其几何意义，在数轴上表示与点 3 距离是 15 的点，可得 x - 3 = 15 或 x - 3 = -15，解得 x = 18 或 x = -123. 【即时训练】 1．（20-21七年级上·安徽阜阳·阶段练习）点在数轴上表示，点离的距离是3，那么点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或1 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）数轴上与表示的点相距3个单位的点所对应的数是 ． 知识点五：数轴上点的平移(动点问题) 在数轴上，点的平移遵循以下规律： 向右平移：点对应的数增大，平移n个单位长度后，新位置的数为原数+n. 向左平移：点对应的数减小，平移n个单位长度后，新位置的数为原数−n. 数学表达式：若点A在数轴上对应的数为a,将点A向右平移k个单位长度,得到点A ′，则A ′对应的数为a−k. 【即时训练】 1．（2025·吉林长春·模拟预测）点为数轴上表示的点，将点沿数轴向右平移个单位到点，则用含有的代数式表示对应的数是（　　） A． B． C．2 D． 2．（24-25七年级上·江西九江·期中）数轴上点表示的数是，那么将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是 知识点六：数轴上找原点 1）根据定义确定：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。画数轴时，可在直线上任意选取一点作为原点，通常将其标记为 “0”。一般习惯把原点选在直线中间偏左的位置，以便于在原点左右两侧都能方便地表示正负数，但从理论上来说，直线上的任意一点都可以作为原点。 2）根据已知数确定：若数轴上已标明某个数的位置，可根据该数与原点的位置关系及距离来确定原点。因为正数在原点右侧，负数在原点左侧，且数到原点的距离等于该数的绝对值，所以可据此找到原点。例如，若数轴上一点表示的数是 - 3，由于 - 3 到原点的距离是 3 个单位长度，那么将该点向右移动 3 个单位长度的位置就是原点2。 3） 根据相反数确定1：若数轴上有两个互为相反数的点，根据在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且与原点距离相等这一性质，原点就在这两点连线的中点处。例如，已知数轴上两点分别表示 - 2 和 2，那么连接这两点，其中点就是原点。 【即时训练】 1．（2025·福建泉州·模拟预测）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中 可能是数轴的原点. 知识点七：数轴上整点覆盖 概念：数轴上表示整数的点称为整点，整点覆盖就是研究数轴上的线段、图形等覆盖这些整点的数量相关问题。 线段覆盖整点个数规律：若数轴的单位长度为 1cm，画一条长为 n cm 的线段 AB，当线段 AB 起点在整点时，盖住的整点有 n + 1 个；当线段 AB 起点不在整点，即在两个整点之间时，盖住的整点有 n 个。例如，长为 2016cm 的线段，盖住的整点可能有 2016 + 1 = 2017 个，也可能有 2016 个。 解题方法：对于简单的线段覆盖整点问题，可通过列举法确定被覆盖的整点。如墨水洒在数轴上，根据露出的数值，写出被墨迹盖住的整数。对于多条线段或较复杂的情况，可先分析每条线段覆盖的整点情况，再考虑线段之间的关系。若线段长为整数 m，则最多可覆盖 m + 1 个整点；若线段长为非整数 s，则最多可覆盖 [s]+1 个整点（[s] 代表小于 s 的最大整数）。例如，三条线段长度之和是 19.99，将三条线段重叠时覆盖整点数最少，约为 7 个；将线段长度定为 1、1、17.9 时，覆盖整点数最多，为 22 个。 【即时训练】 1．（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 知识点八：问题数轴上的规律探究 1)数轴上动点运动规律探究 单个动点规律：通常会研究动点在数轴上按照一定方向和速度运动后对应的数值变化规律。如一个点从数轴上的原点开始，先向右移动 3 个单位长度，再向左移动 5 个单位长度，终点表示的数是 - 2。一般地，若点 A 表示数 a，将点 A 向右移动 m 个单位长度，则到达的点表示的数为 a + m；向左移动 n 个单位长度，则到达的点表示的数为 a - n。 多个动点规律：涉及多个动点时，会探究它们之间的位置关系、距离变化等规律。例如，已知数轴上 A、B 两点对应的数分别为 - 2、3，动点 P、Q 分别从 A、B 出发，以每秒 2 个单位和每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为 t 秒，则 t 秒后点 P 表示的数为 - 2 + 2t，点 Q 表示的数为 3 + t，进而可探究不同时刻两点间的距离等规律。 2)数轴上距离规律探究 两点间距离公式：若数轴上点 A，B 表示的数分别为 a，b，则 A、B 两点之间的距离表示为 | a - b|。如点 A 表示的数为 2，点 B 表示的数为 5，则 AB = |2 - 5| = 3。 距离与动点关系：常探究动点到定点或其他动点的距离满足特定条件时的情况。例如，若点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右运动，点 A 表示的数为 - 1，点 B 表示的数为 4，当 | PA - PB| = 2 时，可设运动时间为 t 秒，此时点 P 表示的数为 - 1 + 3t，根据距离公式列方程 |(-1 + 3t)-(-1)| - |(-1 + 3t)-4| = 2，求解 t 的值，从而确定点 P 的位置。 3)数轴上数字分布规律探究 与图形结合的数字分布5：如将圆的周长分为 4 个单位长度，在圆的等分点处标上数字 0，1，2，3，让圆周上数字 0 所对应的点与数轴上的数 - 1 所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，可发现数轴上的数与圆周上的数字存在周期性的对应关系，通过寻找周期来确定某个数与圆周上的哪个数字重合。 整点分布规律5：研究数轴上线段覆盖整点的个数规律。若数轴的单位长度为 1，画一条长为 n 的线段，当线段起点在整点时，盖住的整点有 n + 1 个；当线段起点不在整点时，盖住的整点有 n 个。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【典型例题一 数轴的三要素及其画法】 1．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）下列所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）现有下列各数：①，②，③，④，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里 ： 非负数集合：{ 　                       …}； 分数集合：{ 　                       　…}． (2)请把下面不完整的数轴补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 1．（24-25七年级·江苏泰州·阶段练习）图中所画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图所示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 4． （23-24七年级上·吉林·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【典型例题二 用数轴上的点表示有理数】 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）A、B是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是（   ） A．互为相反数 B．绝对值相等 C．是符号不同的数 D．都是负数 2．（22-23七年级上·广东湛江·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数：0，，，，，并用“”连接． 1．（2025·山西·一模）如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 2．（2022·河北邢台·一模）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（） A．0.5 B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）数轴上将点A向左移动4个单位长度恰好到达原点，则点A表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来：，，0，． 【典型例题三 利用数轴比较有理数的大小】 1．（22-23七年级上·江苏·周测）如图，数轴上点M所表示的数可能是（   ） A．1.5 B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上画出表示，，0，的点，并按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来．    1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上两点对应的数分别是和，则之间的整数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则关于a，，，1的大小关系按从小到大是 ． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）（1）请你在数轴上表示下列各数：，，，， （2）将上列原数按照从小到大的顺序用不等号“＜”连接起来． 【典型例题四 数轴上两点之间的距离】 1．（2025·江苏南通·二模）数轴上，，，四个数对应的点，离原点最近的是（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在数轴上，点A，B分别表示数，． (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数“”的点C应落在点A左边、点A、B之间还是点B的右边？请说明理由． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若数轴上点表示的数是2，点和点之间的距离为5，则点表示的数是（   ） A． B．7 C．或7 D．或3 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C．3 D． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上原点的右侧，表示数a的点与原点的距离是6，那么 ． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 【典型例题五 数轴上点的平移（动点问题）】 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将点P向右平移3个单位，对应的数是（   ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 4．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）点、、在数轴上，且点分别到点、的距离相等．点沿着数轴从数字处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，点沿着数轴从数字处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒个单位长度的速度向左匀速运动 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若有理数a，，b在数轴上对应点如图所示，则下列运算结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）数轴上到原点距离等于4个单位长度的点所表示的数为（   ） A．4 B． C．4或 D．以上都不对 5．（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，数轴上有三个数，下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）在数轴上，将表示的点向左移动3个单位后，对应点表示的数是 （    ） A．4 B．2 C． D． 8．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字（　　）重合． A．3 B．0 C．1 D．2 9．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）在数轴上表示和3.4两点之间的整数有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 10．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和，若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2018次后，点B为（    ） A．不对应任何数 B．对应的数是2016 C．对应的数是2017 D．对应的数是2018 11．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，若点C所表示的数为a，则点A所表示的数为 ． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 13．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示，则 （用“>”或“<”填空）． 14．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）A、B两点在数轴上，点A表示的数是2，A、B之间的距离为4，则点B表示的数是 ． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在数轴上，将表示的点先向左移动3个单位后再向右移动6个单位长度，此时这个点表示的数是 ． 16．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，， 17．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上画出表示、2、、1的点，再把这四个数用“＜”连接起来． 18．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 19．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）在数轴上分别用点、、、、、、表示下列各数，并用“”号将这些数按从小到大的顺序连接起来， ，，，，，，． 20．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在数轴上画出表示0，，，的点，并按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来． 学科网（北京）股份有限公司 $$