江苏省苏州市吴江区、吴中区、相城区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年江苏省苏州市吴江区、吴中区、相城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款常用的人工智能大模型的图标中，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为(    ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下列方程中，一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在四边形ABCD中，，添加下列条件后，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形的是(    ) A. B. C. D. 6.反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是(    ) A. B. C. D. 2 7.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，，过点A作的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为求xy的值(    ) A. 2 B. C. 1 D. 没法求出 8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点D是AB边上的一个点不与A、B重合，过点D的反比例函数图象交BC于点E，连接CD并延长交y轴于F，连接BF，则的值为(    ) A. 7 B. 4 C. D. 3 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.二次根式有意义，则x的取值范围是______. 10.计算：______ 11.若代数式的值与的值相等，则______. 12.某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，设平均每月利润增长的百分率为x，则可列方程为______. 13.如图，A，B两地被建筑物遮挡，为测量A，B两地的距离，在地面上选一点C，连结CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，若DE的长为36m，则A，B两地距离为______ 14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点E是AB的中点，连接OE，，，则AC的长为______. 15.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，两条平行线相交于C，且，则______. 16.如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱的位置，使点落在BC上，与CD交于点E，若，，，则DE的长为______. 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.已知：关于x的方程 求证：方程总有两个实数根； 如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值． 四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题8分 计算： ； 19.本小题8分 解方程： ； 20.本小题5分 先化简，再求值：，其中 21.本小题6分 方寸之间，一览千年.博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化和艺术熏陶的重要课堂.为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信.苏州某中学初二历史组开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目讲述博物馆馆藏文物的故事；制作博物馆专题手抄报；制作博物馆系列文创产品；挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项.为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题： 参与此次抽样调查的学生人数是______人，并补全条形统计图； 在扇形统计图中，扇形D对应的圆心角度数是______； 若该校初二年级共有学生1500人，试估计参与A和B项目的学生共有多少人？ 22.本小题6分 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，网格中每个小正方形的边长为 以点B为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出的位似图形和，使得画出的图形与的相似比为1： 在的作图下，连接和： ①直接写出四边形的形状. ②求四边形的面积. 23.本小题6分 某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为根据图象，回答下列问题： 当时，求眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； 如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求t的值． 24.本小题7分 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，交AB的延长线于点 求证：； 若，求矩形的面积. 25.本小题8分 直线与双曲线交于点并分别与x轴、y轴交于点C、 直接写出______，______； 根据图象直接写出不等式的解集为______； 若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 26.本小题10分 定义：我们将与称为一对“对偶式”. 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决. 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： 已知：，则______； 化简：______；______； 计算： 27.本小题12分 如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO中，，，动点P从点B出发沿BA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作，交AC于点D，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动. 求PD、AD的长用x的代数式表示； 如图2，当Q在D的左侧时，若动点Q的运动速度是每秒a个单位长度，无论x为何值时反比例函数的图象始终同时经过点Q和点D，求a的值； 若动点Q的运动速度是每秒1个单位长度，在P、Q运动过程中，平面内是否存在这样一点E，使P、Q、E、D为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的E的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； B.绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故此图形是中心对称图形，符合题意； C.绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； D.绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选： 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，根据中心对称图形的概念求解即可． 本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学4页， 他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 故选： 根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率 3.【答案】B  【解析】解：与不能合并，所以A选项不符合题意； B.，所以B选项符合题意； C.，所以C选项不符合题意； ，所以D选项不符合题意； 故选： 根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； B.该方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； C.方程是一元二次方程，该选项符合题意； D.方程整理可得，是一元一次方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选： 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可求解． 本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：A、，， 四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由，，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意； C、，， 四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、， ， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选： 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：由条件可知，， ，， ， 代数式的值是， 故选： 根据反比例函数和一次函数交点坐标的性质，得到，，利用整体代入法求代数式的值即可． 本题考查根据函数图象上点的坐标求代数式的值，解题的关键是熟练掌握整体代入法． 7.【答案】A  【解析】解：过D作，交BC延长线于H， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ， 故选： 过D作，交BC延长线于H，由平行四边形当性质推出，，得到，判定，得到，由勾股定理得到，得到 本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由，得到，由勾股定理得到 8.【答案】C  【解析】解：设， 四边形ABCO是矩形， ，， ，， 点D的纵坐标为n，则横坐标为，即，点E的横坐标为m，则纵坐标为，即， ， 设直线CD的解析式为， 把，的坐标代入得， 解得，， 直线CD的解析式为， 当时，， ， ， ， 故选： 设，则，，，，，运用待定系数法得到直线CD的解析式为，则，，由三角形面积的计算即可求解． 本题考查了反比函数与矩形，三角形面积的计算，掌握反比函数图形的性质，几何图形面积的计算是关键． 9.【答案】  【解析】解：二次根式有意义， 则， 解得： 故答案为： 直接利用二次根式的定义，得出，进而得出答案． 此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 10.【答案】  【解析】解：故答案为 先通分再进行计算，分母不变分子相加． 归纳提炼： 分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 11.【答案】，  【解析】解：代数式的值与的值相等， ， ， 即， 或， 解得：， 故答案为：， 由代数式的值与的值相等，可得，然后利用十字相乘法求解即可求得答案． 此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，注意掌握十字相乘法分解因式的知识是关键． 12.【答案】  【解析】解：设平均每月利润增长的百分率是x，依题意，得： 故答案为： 如果设平均每月利润增长的百分率是x，那么7月份的利润是元，8月份的利润是元，而此时利润是3600元，列出方程即可． 本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程-平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量平均增长率增长后的量． 13.【答案】72  【解析】解：点D，E分别为CA，CB的中点， ， 故答案为： 根据三角形中位线定理计算即可． 本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 14.【答案】8  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ，，， 点E是AB的中点， ， ， ， ， 故答案为： 由菱形的性质可得，，由三角形中位线定理可得，即可求解． 本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：由题意可设， ， ，B在一次函数上， ， 上式减下式得：， ， ， ， ， ， ， ，舍， 由条件可知， ， ， 由得：， ， 解得：， 故答案为： 由题意可设，根据三角形面积公式得到，将A，B代入一次函数解析式得到，求出，再求出，继而得到，最后再根据完全平方公式变形求值即可． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用完全平方公式变形求值．熟练掌握以上知识点是关键． 16.【答案】  【解析】解：延长、DC，它们相交于点G，如图， 四边形ABCD为平行四边形， ，，， 四边形ABCD绕点A逆时针旋转到▱的位置， ，，，， ，， ∽， ，即， 解得， ， ， ∽， ， 即， 解得， ， ∽， ， 即， 解得 延长、DC，它们相交于点G，如图，先利用平行四边形的性质得，，，再根据旋转的性质得到，，，，接着证明∽，利用相似比求出，所以，然后证明∽，则可求出，最后证明∽，根据相似三角形的性质得到，即，从而根据比例的性质可求出DE的长． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 17.【答案】证明：， 方程是关于x的一元二次方程， ， ，即， 方程总有两个实数根； 解：， ，， 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或  【解析】先计算判别式得到，利用非负数的性质得到，然后根据判别式的意义即可得到结论； 利用公式法可求出，，然后利用整除性即可得到m的值． 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 18.【答案】；     【解析】 ； 先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； 利用完全平方公式进行计算，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19.【答案】，；     【解析】， ， ，即， ， ，； ， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 利用解一元二次方程-配方法进行计算，即可解答； 去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程和解分式方程的方法是解题的关键． 20.【答案】，  【解析】解： ， 当时，原式 先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将m的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 21.【答案】100；补全条形统计图见解答；   54；   900人．  【解析】人， 样本中参与“制作博物馆专题手抄报”的人数为人， 补全统计图如下： 故答案为：100； ， 故答案为：54； 人， 答：估计参与A和B项目的学生共有900人． 从两个统计图中得到信息进行求解； 求出扇形D对应的百分比即可得到答案； 用样本估计总体进行计算即可． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 22.【答案】解：如图，和即为所求． ①由题意得，，， 四边形为平行四边形． 由勾股定理得，，，， ， ， 即， 四边形为菱形． ②由题意得，，， ， 四边形为菱形， 四边形的面积为  【解析】根据位似的性质作图即可． ①根据位似的性质和菱形的判定可得结论． ②由题意可得，，结合菱形的性质可得四边形的面积为，进而可得答案． 本题考查作图-位似变换、菱形的判定与性质，熟练掌握位似的性质、菱形的判定与性质是解答本题的关键． 23.【答案】解：当时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数， 设这个反比例函数为， 它经过点， ， 眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； 根据题意，设当时，眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式为： 它经过点和， ， 解得， 当睡眠时间不少于4小时，眼疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式是， 某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时眼睛疲劳系数恰好减少了3， ， 整理得：， 解得：，， 经检验：，是原方程的解，不符合题意舍去， 的值是  【解析】根据函数图象求出反比例函数解析式； 首先利用待定系数法确定一次函数的解析式，根据“某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时眼睛疲劳系数恰好减少了3”列方程求解． 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是仔细读题，并从中整理出解决问题的函数模型，难度不大． 24.【答案】见解析；    【解析】证明：在矩形ABCD中，， ， 四边形DCEB是平行四边形， ， ， ； 解：四边形ABCD是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， 矩形的面积 根据矩形的性质的，根据平行四边形的判定定理得到四边形DCEB是平行四边形； 根据平行四边形的性质即可得到结论． 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到四边形DCEB是平行四边形． 25.【答案】，     或  ; ， 在中，令，解得，则B的坐标是 令，解得：，则C的坐标是 故，，， ，即是等腰直角三角形， ， 过A作轴于点则是等腰直角，， 当D在线段不与O重合上时，两个三角形一定不能相似； 当D在线段OC的延长线上时，设D的坐标是，则， ， 当∽时，，即， 解得：， 则D的坐标是； 当∽时，，即， 解得：， 则D的坐标是 则D的坐标是或  【解析】解：把代入得：，解得： 把代入，得： 故答案是：，5； 解集为：或， 故答案是：或； 见答案. 【分析】把A的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，即可求得b和m的值； 根据图象即可直接写出，即反比例函数的图象在一次函数的图象上部的部分x的取值； 求得的边长，点D在x轴的正半轴上，可以分D在线段OC上不在O点或线段OC的延长线上两种情况讨论，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得． 本题是一次函数、反比例函数与相似三角形的判定与性质的综合应用，注意到是本题的关键． 26.【答案】2； ，；    【解析】由题意，，且， 故答案为： 由题意得，， 故答案为：， 由题意， … 依据题意，由，且，从而计算可以得解； 依据题意得，，，进而计算可以得解； 依据题意，由…，进而计算可以得解． 本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的计算是关键． 27.【答案】，；   ；   存在，点E的坐标为或或或  【解析】由题意得：，则， 矩形ABCO中，，， ， ， ， 如图，连接BD， ， ， 即， ， 在中，； 由题意得：， 如图，过点B作于H，过点Q作于K， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 又，且反比例函数的图象始终同时经过点Q和点D， ， 整理得：， 无论x为何值时反比例函数的图象始终同时经过点Q和点D， ， 解得：， ， ； 存在， 如图，设，过点B作于H，过点Q作于K，连接BQ，CP， 动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为x秒， ， 则，又， ， ，即， 在中，， ， 当时，， 解得：， 当时， 若QD为菱形PDEQ对角线时，则于L，PE与QD的中点重合，轴，过点L作于J， ， ， ， ，即， ， ， 同理可得：， ， 解得：， ； 若PQ为菱形PDQE对角线时，，， ， ， ， 解得：， ，，， ； 若PD为菱形PQDE对角线时，，点Q与PD的中点纵坐标相等， ， 解得：， ； 当时，如图， 则，，， 四边形PDQE为菱形， ，， 即， 解得：， ，，， ； 综上所述，存在，点E的坐标为或或或 连接BD，利用矩形的性质和面积法即可求得答案； 过点B作于H，过点Q作于K，利用面积法和勾股定理即可求得答案； 设，过点B作于H，过点Q作于K，连接BQ，CP，当时，若QD为菱形PDEQ对角线时，若PQ为菱形PDQE对角线时，若PD为菱形PQDE对角线时，当时，四边形PDQE为菱形，分别利用菱形性质即可求得答案． 本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，面积法的应用，矩形和菱形的性质以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$