专题13：任意角的三角与诱导公式 （6大考点+15大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题13 任意角的正弦 余弦 正切 余切 知识点一、任意角的三角 1．任意角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为________． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． (4)象限角的集合表示方法： 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． (2)角度制和弧度制的互化：,,． (3)扇形的弧长公式：___________，扇形的面积公式：________________． 知识点二、任意角的正弦、余弦、正切 1．定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． 2.推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 4.同角三角函数基本关系 (1)平方关系：_______________________ (2)商数关系：________________ 知识点三：三角诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 【方法技巧与总结】 1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2．“”方程思想知一求二． 考点一 象限角与终边相同的角 题型01：终边相同的角 【名师点拨】终边在某直线上角的求法4步骤 ①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； ②按逆时针方向写出[0，2π]内的角； ③再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； ④求并集化简集合． 【例1】（2024上海高三阶段练习）给出下列四个命题： ①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 【例2】（2025复旦附中阶段练习）若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　) A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2025复旦附中阶段练习）若角－2 026°是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（       ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025上海高三阶段练习）若设集合M＝，N＝，那么(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 题型02：象限角与区域角的表示 【名师点拨】判断象限角的2种方法 ①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角； ②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． (3)确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤 ①用终边相同角的形式表示出角α的范围； ②再写出kα或的范围； ③然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在的位置． 【易错提醒】终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．　 【例3】（2025闵行中学阶段练习）若角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4】．（2025延安中学高三阶段练习）若集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A． B．C．D． 【跟踪训练】 1.（2024奉贤中学高三月考）已知角第二象限角，且，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 考点二 扇形的弧长与面积问题 题型03：弧长与扇形面积的有关计算 【名师点拨】【题型要点】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．　 【例5】（2023闵行区三模）已知扇形的半径为2，圆心角为，则其弧长为_________. 【例6】（2025七宝中学阶段练习）若已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（    ） A．30 B． C． D． 【例7】（2025上海中学高三阶段练习）若在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【跟踪训练】 1.（2020·上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中）在半径为2米的圆形弯道中，角所对应的弯道长为_________． 2．（2023•徐汇区校级三模）已知扇形圆心角α＝60°，α所对的弧长l＝6π，则该扇形面积为 　54π　． 3.（2024南洋模范中学高三阶段练习）若已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　　) A．2 B．1 C. D．3 题型04：扇形弧长公式与面积公式的应用 【名师点拨】 【例8】（2023•徐汇区校级三模）已知一个半径为4的扇形圆心角为θ（0＜θ＜2π），面积为2π，若tan（θ+φ）＝3，则tanφ＝　　． 【例9】（2023•奉贤区校级模拟）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为　704　cm2． 【跟踪训练】 1.（2025建平中学高三模拟）若《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________． 2.（2025松江二中高三模拟）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________. 考点三 任意角的正弦余弦正切的定义 题型05：利用三角比的定义求值或参数 【名师点拨】 三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 (1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题． (3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值． 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解． 【例10】（2025市北中学高三模拟）已知角的终边经过点，则（       ） A． B． C． D． 【例11】（2023•杨浦区校级三模）已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且，则x的值是　　． 【跟踪训练】 1．（2023•普陀区校级三模）已知角α的终边过点P（﹣1，2），则tanα的值为 　　． 2．（2023•徐汇区二模）若角α的终边过点P（4，﹣3），则＝　　． 3．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 4．（2025市北中学高三模拟）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（    ） A． B． C． D． 题型06：由单位圆求角的正弦余弦正切 【名师点拨】【题型要点】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 ①用边界值定出角的终边位置； ②根据不等式(组)定出角的范围； ③求交集，找单位圆中公共的部分； ④写出角的表达式．　 【例12】（黄浦2023一模7）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为 . 【例13】（2025市西中学高三模拟）如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　) 【跟踪训练】 1．（2024·上海松江·二模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 2.（2025徐汇中学高三模拟）设a＝sin1，b＝cos1，c＝tan1，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 题型07：三角比的符号确定 【名师点拨】1.三角函数值符号的记忆口诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦 2.判断三角函数值符号及角位置的方法 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况． 【例14】（2023高三专题训练）若，则（    ） A． B． C． D． 【例15】（2025杨浦中学高三模拟）若是第三象限角，则下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023高三专题训练）已知是第二象限角，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（2022·全国·高三专题练习）若是第二象限角，则下列不等式正确的是（       ） A． B． C． D． 3.（2022·全国·高三专题练习（理））已知，则（       ） A． B． C． D． 考点四 同角三角比的关系 题型08：化简与求值 【名师点拨】 【题型要点】1．应用同角三角函数关系式化简、求值的方法 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化. (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 【例16】（2025上海高三模拟）若，则的值为___________. 【跟踪训练】 1.（2025上海高三模拟）已知，则___________． 2（2025上海高三模拟）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)，则cosα＝(　　) A. B．－ C. D．－ 题型10：正余弦齐次式的计算 【名师点拨】sinα，cosα的齐次式的解法 (1)常见的结构 ①sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； ②sinα，cosα的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． (2)巧用“1”的变换：1＝sin2α＋cos2α.　 　　　　　　　 【例17】（2025上海高三模拟）已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是　(　　) A. B．－ C．－3 D．3 【跟踪训练】 1．（2025上海高三模拟）已知，计算下列各式的值： (1)； (2)． 2．（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知＝2，计算下列各式的值． (1)tan α； (2)sin2α－2sinαcosα＋1. 题型11：之间的关系 【名师点拨】sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα之间的关系问题 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．　 (1)方法：利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二． (2)关注点：根据角α终边的位置确定sinα＋cosα，sinα－cosα的符号. 【例18】（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知，，则 ________. 【例19】（2025上海高三模拟）已知，，则（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·山西阳泉·统考二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025上海高三模拟）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型12：利用同角三角函数的基本关系化简与证明 【名师点拨】 【例20】（2023·高三课时练习）求证：＝. 【跟踪训练】 1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足． (1)证明：； (2)求的最大值． 考点五 诱导公式 题型13：利用诱导公式化简与求值 【名师点拨】【题型要点】(1)诱导公式的两个应用方向与原则 ①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程 (3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限． (4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为的整数倍，可考虑诱导公式.　 【例21】（2021·上海海洋大学附属大团高级中学高三期中）若角的终边过点，则_________． 【例22】（2025上海高三模拟）已知. (1)化简f(α)； (2)若－<α<，且f(α)<，求α的取值范围． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______． 2（2022·上海奉贤区致远高级中学高三阶段练习）若，，则_____. 3.（2022·上海·高三专题练习）已知，且，则的值是_________. 4.（2021·上海市金山中学高三期中）若＝，则的值是________． 5．（2023·上海青浦·统考一模）已知满足，则 ．（结果用含有的式子表示）． 6．（2023·上海嘉定·统考一模）已知，则 ． 7．（2022·上海·高三专题练习）已知，且，则的值是_________. 题型14：同角关系与诱导公式的综合应用 【名师点拨】求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求 基本思路 ①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数； ③整理得最简形式 化简要求 ①化简过程是恒等变换； ②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值 【例23】（2023·全国·高三专题练习）已知，，则_________． 【例24】（2023·四川绵阳·统考三模）已知，，则______. 【例25】（2023春·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知，则____________. 【跟踪训练】 1（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为______. 2．（2023·广东·高三专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 考点六 解三角方程 题型15：解三角方程 【例26】（2021·上海海洋大学附属大团高级中学高三期中）方程的解集为_____________． 【例27】（2007·上海·高考真题（理））三角方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【例28】（2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【跟踪训练】 1.方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 2.已知tan x＝，则x的取值集合为 3.已知，则＝（ ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题13 任意角的三角与诱导公式 知识点一、任意角的三角 1．任意角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． (4)象限角的集合表示方法： 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． (2)角度制和弧度制的互化：,,． (3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 知识点二、任意角的正弦、余弦、正切 1．定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． 2.推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 4.同角三角函数基本关系 (1)平方关系：． (2)商数关系：； 知识点三：三角诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 【方法技巧与总结】 1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2．“”方程思想知一求二． 考点一 象限角与终边相同的角 题型01：终边相同的角 【名师点拨】终边在某直线上角的求法4步骤 ①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； ②按逆时针方向写出[0，2π]内的角； ③再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； ④求并集化简集合． 【例1】（2024上海高三阶段练习）给出下列四个命题： ①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】：－是第三象限角，故①错误； ＝π＋，所以是第三象限角，故②正确； －400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故③正确； －315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故④正确，故选C. 【例2】（2025复旦附中阶段练习）若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为，故选D. 【跟踪训练】 1．（2025复旦附中阶段练习）若角－2 026°是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　B 解析　∵－2 026°＝－6×360°＋134°， ∴它是第二象限角． 2．（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】 【分析】 要写出与的终边相同的角，只要在该角上加的整数倍即可． 【详解】 首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误； 又与的终边相同的角可以写成， 所以正确． 故选：． 3．（2025上海高三阶段练习）若设集合M＝，N＝，那么(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 答案　B 解析　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B. 题型02：象限角与区域角的表示 【名师点拨】判断象限角的2种方法 ①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角； ②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． (3)确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤 ①用终边相同角的形式表示出角α的范围； ②再写出kα或的范围； ③然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在的位置． 【易错提醒】终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．　 【例3】（2025闵行中学阶段练习）若角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可. 【详解】 ∵角的终边在第一象限， ∴，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限， 当时，此时的终边落在第二象限， 当时，此时的终边落在第三象限， 综上，角的终边不可能落在第四象限， 故选：D. 【例4】．（2025延安中学高三阶段练习）若集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时的终边和π≤≤π＋的终边一样． 故选：B． 【跟踪训练】 1.（2024奉贤中学高三月考）已知角第二象限角，且，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限． 【详解】因为角第二象限角，所以， 所以， 当是偶数时，设，则， 此时为第一象限角； 当是奇数时，设，则， 此时为第三象限角.； 综上所述：为第一象限角或第三象限角， 因为，所以，所以为第三象限角． 故选：C 2.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案　C 解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C. 考点二 扇形的弧长与面积问题 题型03：弧长与扇形面积的有关计算 【名师点拨】【题型要点】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．　 【例5】（2023闵行区三模）已知扇形的半径为2，圆心角为，则其弧长为_________. 【答案】/ 【分析】根据扇形弧长公式进行求解 【详解】若扇形的圆心角为，半径为， 则扇形弧长公式，代入， 得：. 故答案为：. 【例6】（2025七宝中学阶段练习）若已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（    ） A．30 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积公式求得结果. 【详解】已知扇形圆心角为30°，即，扇形半径为1， 所以扇形的面积. 故选：B. 【例7】（2025上海中学高三阶段练习）若在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式将用表示，再根据扇形的弧长和周长公式结合基本不等式即可得解. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，所以， 则扇形的周长为， 当且仅当，即时，取等号，此时， 所以周长最小时半径的值为. 故选：C. 【跟踪训练】 1.（2020·上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中）在半径为2米的圆形弯道中，角所对应的弯道长为_________． 【答案】 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为. 故答案为：. 2．（2023•徐汇区校级三模）已知扇形圆心角α＝60°，α所对的弧长l＝6π，则该扇形面积为 　54π　． 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解． 【解答】解：由弧长公式可得， 所以扇形面积为． 故答案为：54π． 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题． 3.（2024南洋模范中学高三阶段练习）若已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　　) A．2 B．1 C. D．3 【答案】A 【解析】解法一：设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大， 这时l＝4－2r＝2.从而α＝＝＝2. 解法二：设扇形圆心角的弧度数为α， 弧长为l，则l＋＝4.故l＝. 又S＝lr＝＝2＝≤＝1. 当且仅当α＝，即α＝2时，S取最大值． 题型04：扇形弧长公式与面积公式的应用 【名师点拨】 【例8】（2023•徐汇区校级三模）已知一个半径为4的扇形圆心角为θ（0＜θ＜2π），面积为2π，若tan（θ+φ）＝3，则tanφ＝　　． 【分析】由扇形面积公式先求θ，再根据两角和差的正切公式求得结果． 【解答】解：已知扇形半径为r＝4，圆心角为θ， ∵扇形面积， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，考查了两角和的正切公式，属于基础题． 【例9】（2023•奉贤区校级模拟）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为　704　cm2． 【分析】设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得：，解得r，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r， 由题意可得：， 解得：r＝， 所以，S扇面＝S扇形OCD﹣S扇形OAB＝×64×（+16）﹣×24×＝704cm2． 故答案为：704． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题． 【跟踪训练】 1.（2025建平中学高三模拟）若《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________． 【答案】：4＋2 【解析】：由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin ＝4×＝2，可得弦AB＝2AD＝4.所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2. 2.（2025松江二中高三模拟）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，根据扇形ABC的面积S为，由得到，然后由纸叠扇的周长，利用基本不等式求解. 【详解】 解：设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，则扇形面积. 由题意得，所以. 所以纸叠扇的周长， 当且仅当即，时，等号成立， 所以.又， 所以， 所以， 故. 故答案为： 考点三 任意角的正弦余弦正切的定义 题型05：利用三角比的定义求值或参数 【名师点拨】 三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 (1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题． (3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值． 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解． 【例10】（2025市北中学高三模拟）已知角的终边经过点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求. 【详解】 由题设，而. 故选：A 【例11】（2023•杨浦区校级三模）已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且，则x的值是　　． 【分析】利用余弦函数的定义，建立方程，结合α是第二象限角，可求x的值． 【解答】解：由题意，， ∴cosα＝＝ ∴x2＝3 ∵α是第二象限角， ∴x＝ 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题． 【跟踪训练】 1．（2023•普陀区校级三模）已知角α的终边过点P（﹣1，2），则tanα的值为 　　． 【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，可得结论． 【解答】解：∵角α的终边过点P（﹣1，2），∴tanα＝＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 2．（2023•徐汇区二模）若角α的终边过点P（4，﹣3），则＝　　． 【分析】利用三角函数的诱导公式以及三角函数的定义进行转化求解即可． 【解答】解：＝﹣sin（+α）＝﹣cosα， ∵角α的终边过点P（4，﹣3）， ∴cosα＝＝， 则＝﹣cosα＝﹣， 故答案为：﹣ 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式以及三角函数 的定义是解决本题的关键． 3．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数特殊值求出点的坐标，由正弦函数定义即可求解. 【详解】依题意， 因为，所以终边经过的点为， 所以终边在第四象限，所以. 故选：B. 4．（2025市北中学高三模拟）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义先解得，再求正切值即可. 【详解】由三角函数定义可知：，又α是第二象限角， 故，所以. 故选：B 题型06：由单位圆求角的正弦余弦正切 【名师点拨】【题型要点】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 ①用边界值定出角的终边位置； ②根据不等式(组)定出角的范围； ③求交集，找单位圆中公共的部分； ④写出角的表达式．　 【例12】（黄浦2023一模7）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为 . 【答案】 【解析】 【例13】（2025市西中学高三模拟）如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　) 【答案】C 【解析】因为P0(，－)，所以∠P0Ox＝－. 因为角速度为1，所以按逆时针方向旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－. 由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin， 因此. 令t＝0，则. 当t＝时，d＝0，故选C. 【跟踪训练】 1．（2024·上海松江·二模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】由题意可求，，利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】因为点的坐标为，可得， 所以， 可得，， 所以点的坐标为， 故答案为：. 2.（2025徐汇中学高三模拟）设a＝sin1，b＝cos1，c＝tan1，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 【答案】C 【解析】如图 设∠BOC＝1，由于<1<，结合三角函数线的定义有cos1＝OC，sin1＝CB，tan1＝AD，结合几何关系可得cos1<sin1<tan1，即b<a<c. 题型07：三角比的符号确定 【名师点拨】1.三角函数值符号的记忆口诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦 2.判断三角函数值符号及角位置的方法 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况． 【例14】（2023高三专题训练）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定出的范围，从而可求得答案 【详解】因为， 所以为第一象限的角， 所以， 故选：A 【例15】（2025杨浦中学高三模拟）若是第三象限角，则下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所在象限，确定的三角函数值的正负，然后逐一判断选项的正误即可. 【详解】因为是第三象限角 ， ，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误. 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2023高三专题训练）已知是第二象限角，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解. 【详解】因为是第二象限角，所以，， 进而硧定，. 所以点在第四象限. 故选：D 2.（2022·全国·高三专题练习）若是第二象限角，则下列不等式正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解. 【详解】 对于A：因为，所以， 所以是第三象限角，所以，故选项A不正确； 对于B：因为，所以，当时，，此时是第一象限角， 当时，，此时是第三象限角， 所以是第一或第三象限角，所以，故选项B正确； 对于C：因为，所以，所以是第三或第四象限角或终边落在轴非正半轴，所以，故选项C不正确； 对于D：因为，所以，所以是第三象限角，所以，故选项D不正确； 故选：B. 3.（2022·全国·高三专题练习（理））已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件得到角所在的象限，从而得到所在的象限，这样就可以得到答案. 【详解】 由知，为第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以． 故选：C. 考点四 同角三角比的关系 题型08：化简与求值 【名师点拨】 【题型要点】1．应用同角三角函数关系式化简、求值的方法 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化. (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 【例16】（2025上海高三模拟）若，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可构造正余弦齐次式，分子分母同除，代入即可得到结果. 【详解】 . 故答案为：. 【跟踪训练】 1.（2025上海高三模拟）已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可. 【详解】 解：． 故答案为： 2（2025上海高三模拟）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)，则cosα＝(　　) A. B．－ C. D．－ 【答案】A 【解析】由任意角三角函数的定义得tanα＝，即＝，所以3cosα＝2sin2α＝2(1－cos2α)．整理得2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝或cosα＝－2(舍去)． 题型10：正余弦齐次式的计算 【名师点拨】sinα，cosα的齐次式的解法 (1)常见的结构 ①sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； ②sinα，cosα的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． (2)巧用“1”的变换：1＝sin2α＋cos2α.　 　　　　　　　 【例17】（2025上海高三模拟）已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是　(　　) A. B．－ C．－3 D．3 【答案】A　 【解析】由＝5得＝5，可得tan α＝2，则cos2 α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝.故选A. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三模拟）已知，计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，显然，于是，解得， 所以. （2）由（1）知，所以 . 2．（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知＝2，计算下列各式的值． (1)tan α； (2)sin2α－2sinαcosα＋1. 【答案】(1)tan α＝3 (2) 【详解】（1）由，显然不等于0，所以分子和分母同时除以， 可得，解得. （2） 题型11：之间的关系 【名师点拨】sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα之间的关系问题 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．　 (1)方法：利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二． (2)关注点：根据角α终边的位置确定sinα＋cosα，sinα－cosα的符号. 【例18】（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知，，则 ________. 【答案】 【分析】根据已知条件求得的值，由此求得的值. 【详解】依题意，两边平方得 ， 而，所以， 所以. 由解得， 所以.故答案为： 【点睛】知道其中一个，可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个，在求解过程中要注意角的范围. 【例19】（2025上海高三模拟）已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】 ，，，，， ，所以. 故选：C 【跟踪训练】 1．（2023·山西阳泉·统考二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数基本关系式，以及三角函数在各个象限内的正负，可得，从而求出的值. 【详解】因为，所以，即，所以. 因为，所以，所以. 因为， 所以. 故选：B. 2．（2025上海高三模拟）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断. 【详解】由题意可得：，整理得， 且，可得， 即，可得， 因为，可得， 所以. 故选：D. 题型12：利用同角三角函数的基本关系化简与证明 【名师点拨】 【例20】（2023·高三课时练习）求证：＝. 【答案】证明见解析 【分析】分子分母同乘以，再利用商数关系和平方关系即可得证. 【详解】证明：∵右边＝ ＝ ＝ ＝＝＝左边， ∴＝. 【跟踪训练】 1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足． (1)证明：； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由两角和的余弦公式展开后变形，再由商数关系可证； （2）由（1）利用平方关系化右侧为关于的二次齐次式，再弦化切，然后利用基本不等式得最大值． 【详解】（1）由已知， ， ∴； （2），则，， 由（1）得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是． 考点五 诱导公式 题型13：利用诱导公式化简与求值 【名师点拨】【题型要点】(1)诱导公式的两个应用方向与原则 ①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程 (3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限． (4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为的整数倍，可考虑诱导公式.　 【例21】（2021·上海海洋大学附属大团高级中学高三期中）若角的终边过点，则_________． 【答案】 【分析】先将通过诱导公式和二倍角公式化简，通过角的终边过点求出，再代入化简式中即可得出答案. 【解析】， 角的终边过点， ， ， 故答案为：. 【例22】（2025上海高三模拟）已知. (1)化简f(α)； (2)若－<α<，且f(α)<，求α的取值范围． 【解析】　(1)f(α)＝＝＝＝－sinα. (2)由已知得－sinα<，∴sinα>－， ∴2kπ－<α<2kπ＋，k∈Z. ∵－<α<，∴－<α<. 故α的取值范围为. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______． 【答案】7 【分析】由已知条件利用同角三角函数关系式求出，从而得出，再利用诱导公式，弦化切即可得结果. 【详解】因为，且， 所以， 所以． 所以 ． 故答案为：7. 2（2022·上海奉贤区致远高级中学高三阶段练习）若，，则_____. 【答案】 【分析】利用诱导公式求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，进而求得. 【解析】， 由于，所以， 所以. 故答案为： 3.（2022·上海·高三专题练习）已知，且，则的值是_________. 【答案】 【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得. 【解析】，因为，所以，所以，所以，所以. 故答案为：. 4.（2021·上海市金山中学高三期中）若＝，则的值是________． 【答案】 【分析】利用三角函数的诱导公式即解． 【详解】 ∵＝， ∴. 故答案为：. 5．（2023·上海青浦·统考一模）已知满足，则 ．（结果用含有的式子表示）． 【答案】 【分析】根据诱导公式化简求值. 【详解】有诱导公式可知， 故答案为：. 6．（2023·上海嘉定·统考一模）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】因为，根据三角函数的诱导公式， 可得. 故答案为：. 7．（2022·上海·高三专题练习）已知，且，则的值是_________. 【答案】 【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得. 【解析】，因为，所以，所以，所以，所以. 故答案为：. 题型14：同角关系与诱导公式的综合应用 【名师点拨】求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求 基本思路 ①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数； ③整理得最简形式 化简要求 ①化简过程是恒等变换； ②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值 【例23】（2023·全国·高三专题练习）已知，，则_________． 【答案】 【分析】先利用诱导公式求出，再通过平方关系求出，最后利用诱导公式化简计算. 【详解】， ，即， ， . 故答案为：. 【例24】（2023·四川绵阳·统考三模）已知，，则______. 【答案】/ 【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解. 【详解】由得， 由可得，故. 故答案为： 【例25】（2023春·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知，则____________. 【答案】 【分析】利用诱导公式、二倍角正弦公式和同角三角函数平方关系直接求解即可. 【详解】，， . 故答案为：. 【跟踪训练】 1（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为______. 【答案】 【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解. 【详解】由可得， 故答案为： 2．（2023·广东·高三专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切化弦，结合得出，然后根据诱导公式及二倍角公式求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，即， 所以， 故选：D． 考点六 解三角方程 题型15：解三角方程 【例26】（2021·上海海洋大学附属大团高级中学高三期中）方程的解集为_____________． 【答案】 【分析】由已知可得，然后利用正切函数的性质可求得结果. 【解析】因为， 所以， 所以， 所以方程的解集为， 故答案为： 【例27】（2007·上海·高考真题（理））三角方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用诱导公式变形后，由余弦函数性质得结论． 【解析】，，， 故选：C． 【例28】（2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的的值，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，， 由，即，则或， 由，则， 所以“”是“”的必要非充分条件． 故选：C. 【跟踪训练】 1.方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D； 【解析】由，可得，或，， 即，，故选：D. 2.已知tan x＝，则x的取值集合为 【答案】； 【解析】由正切函数的性质可知，由tan x＝，得x＝kπ＋，即方程的根为，k∈Z.] 3.已知，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】由已知，得，得，即方程的根为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$